Grupa Baumslaga-Gerstena

W matematycznym przedmiocie geometrycznej teorii grup , grupa Baumslaga-Gerstena , znana również jako grupa Baumslaga , jest szczególną grupą z jednym relatorem, wykazującą pewne niezwykłe właściwości dotyczące jej skończonych grup ilorazowych , funkcji Dehna i złożoności problemu tekstowego .

Grupa jest podawana przez prezentację

${\ Displaystyle G = \ langle a, t\mid a^{a^{t}}=a^{2}\rangle =\langle a,t\mid (t^{-1}a^{-1}t)a(t^{-1 }at)=a^{2}\rangle }$

Tutaj notacja wykładnicza dla elementów grupowych oznacza koniugację, to znaczy ${\ displaystyle g ^ {h} = h ^ {- 1} gh}$ dla ${\ displaystyle g, h \ w G}$ .

Historia

Grupa G Baumslaga-Gerstena została pierwotnie przedstawiona w artykule Gilberta Baumslaga z 1969 r . Jako przykład nieresztkowo skończonej grupy z jednym relatorem z dodatkową niezwykłą właściwością, że wszystkie skończone grupy ilorazowe tej grupy są cykliczne. Później, w 1992 roku, Stephen Gersten wykazał, że G , pomimo tego, że jest grupą jednorelatorową wynikającą z dość prostej prezentacji, ma funkcję Dehna rosnącą bardzo szybko, a mianowicie szybciej niż jakakolwiek ustalona iteracja funkcji wykładniczej. Ten przykład pozostaje najszybszym znanym wzrostem funkcji Dehna wśród grup z jednym relatorem. W 2011 roku Alexei Myasnikov, Alexander Ushakov i Dong Wook Won udowodnili, że G ma problem tekstowy rozwiązywalny w czasie wielomianowym.

Grupa Baumslag-Gersten jako rozszerzenie HNN

Grupa Baumslag – Gersten G może być również zrealizowana jako rozszerzenie HNN grupy Baumslag – Solitar ${\ Displaystyle BS (1,2) = \ langle a, b \ mid a ^ {b} = a ^ {2} \ rangle}$ ze stabilną literą t i dwiema cyklicznymi powiązanymi podgrupami ${\ Displaystyle \ langle a \ rangle, \ langle b \ rangle }$ :

${\ Displaystyle G = \ langle a, t \ mid a ^ {a ^ {t}} = a ^ {2} \ rangle = \ langle a, b, t \ mid a ^ {b} = a ^ {2} ,a^{t}=b\rangle .}$

Właściwości grupy Baumslag-Gersten G

• Każda skończona grupa ilorazowa G jest cykliczna . W szczególności grupa G nie jest rezydualnie skończona .
• Endomorfizm G jest albo automorfizmem, albo jego obrazem jest cykliczna podgrupa G . W szczególności grupa G jest hopfiańska i co-hopfiańska .
• Zewnętrzna grupa automorfizmu Out ( G ) z G jest izomorficzna z addytywną grupą wymiernych diadycznych ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} \ lewo [{\ Frac {1} {2}} \ prawej]}$ i w szczególności nie jest generowany w sposób skończony.
• Gersten udowodnił, że funkcja Dehna f ( n ) G rośnie szybciej niż jakakolwiek ustalona iteracja potęgi wykładniczej. Następnie AN Płatonow udowodnił, że f(n) jest równoważne

${\ Displaystyle \ exp ^ {\ circ \ log n} (1) = (\ exp \ underbrace {\ circ \cdots \circ } _{\log n{\text{ razy}}}\exp )(1)}$

• Myasnikov, Ushakov i Won, stosując metody kompresji arytmetyki „obwodów mocy”, udowodnili, że problem słowny w G jest rozwiązywalny w czasie wielomianowym. Zatem grupa G wykazuje dużą lukę między wzrostem jej funkcji Dehna a złożonością jego problem ze słowami.
• problem koniugacji w G jest rozstrzygalny, ale jedyne znane oszacowanie złożoności problemu koniugacji w najgorszym przypadku, ze względu na Janis Beese, jest elementarnie rekurencyjne . Przypuszcza się, że to oszacowanie jest ostre, oparte na pewnych redukcjach problemów z podziałem obwodów mocy. Istnieje silnie ogólnie wielomianowe rozwiązanie problemu koniugacji w czasie dla G .

Uogólnienia

• Andrew Brunner rozważał grupy jednorelatorowe postaci

${\ Displaystyle \ langle a, t \ mid (a ^ {p}) ^ {(t ^ {-1} a ^ {k} t)} = a ^ {m} \ rangle,} gdzie$ p $\ Displaystyle p, k, m \ neq 0}$

i uogólnił wiele oryginalnych wyników Baumslaga w tym kontekście.

• Mahan Mitra rozważał słowo-hiperboliczny odpowiednik G grupy Baumslag-Gersten, gdzie grupa Mitry posiada wolną podgrupę trzeciego stopnia, która jest silnie zniekształcona w G , a mianowicie gdzie zniekształcenie podgrupy jest większe niż jakakolwiek stała iterowana potęga wykładnicza.

Zobacz też

• Zniekształcenie podgrupy

Linki zewnętrzne

• Zniekształcenie skończonych podgrup grup o krzywych nie dodatnich , blog z seminarium Bersteina z wiosny 2011 r. W Cornell, w tym diagramy van Kampena przedstawiające zniekształcenie podgrup w grupie Baumslaga – Gerstena oraz omówienie przykładów podobnych do Mitry