Grupa Co-Hopfian

W matematycznym przedmiocie teorii grup grupa współhopfiańska to grupa , która nie jest izomorficzna z żadną z jej właściwych podgrup . Pojęcie to jest podwójne do pojęcia grupy hopfiańskiej , nazwanej na cześć Heinza Hopfa .

Definicja formalna

Grupa G $suriekcją$ jest $kiedykolwiek$ Hopfian , jeśli jest homomorfizmem ${\ Displaystyle \ varphi (G) = G}$ iniekcyjnej to jest czyli .

Przykłady i nie-przykłady

• Każda skończona grupa G jest ko-hopfiańska.
• ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ nie jest ko-Hopfianem, ponieważ ${\ Displaystyle f: \ mathbb {Z} \ do \ mathbb {Z} ,f(n)=2n}$ jest homomorfizmem iniekcyjnym, ale niesuriekcyjnym.
• Addytywna grupa liczb rzeczywistych $nie$ jest ko-Hopfiańska, ponieważ jest nieskończenie wymiarową przestrzenią wektorową nad ${\$$} }$ i dlatego jako grupa ${\ Displaystyle \ mathbb {R} \ cong \ mathbb {R} \ razy \ mathbb {R}}$ .
• Addytywna grupa liczb wymiernych $współ$$ilorazowa$ są -
• Grupa multiplikatywna niezerowych liczb wymiernych nie jest co-Hopfian, ponieważ $\$$→$ niesuriekcyjnym . $.$ grupa dodatnich liczb wymiernych nie jest co-Hopfian
• Grupa multiplikatywna niezerowych liczb zespolonych nie jest co $-$
• Dla $abelowa$ grupa nie $jest$ ko
• Dla każdego wolna grupa $}$ jest co-Hopfian. $displaystyle n \ geq 1$
• Istnieje skończenie generowana nieelementarna (to znaczy nie praktycznie cykliczna) praktycznie swobodna grupa , która jest ko-hopfiańska. Zatem podgrupa o skończonym indeksie w skończenie wygenerowanej grupie ko-Hopfiańskiej nie musi być ko-Hopfianem, a bycie ko-Hopfianem nie jest niezmiennikiem quasi- izometrii dla grup skończenie generowanych.
• $_$$,$ – , _
• Jeśli G jest podstawową grupą zamkniętej rozmaitości asferycznej o niezerowej charakterystyce Eulera (lub o niezerowej objętości symplicalnej lub niezerowej liczbie L ² -Bettiego ), to G jest ko-Hopfianem.
• Jeśli G jest podstawową grupą zamkniętej, połączonej, zorientowanej, nieredukowalnej 3-rozmaitości M , to G jest ko-hopfiańskie wtedy i tylko wtedy, gdy żadne skończone pokrycie M nie jest wiązką torusów nad kołem lub iloczynem koła i zamkniętej powierzchni.
• Jeśli G jest nieredukowalną siatką w rzeczywistej półprostej grupie Liego i G nie jest praktycznie swobodną grupą, to G jest ko-Hopfianem. $n$$n$ dotyczy grupy }
• Jeśli G jest jednozakończoną, pozbawioną skrętu grupą hiperboliczną, to G jest ko-Hopfianem, w wyniku Sela .
• Jeśli G jest podstawową grupą pełnej skończonej objętości gładkiej rozmaitości riemannowskiej n (gdzie n > 2) o ściśniętej ujemnej krzywiźnie, to G jest ko-Hopfianem.
• Grupa klas odwzorowania zamkniętej powierzchni hiperbolicznej jest co-Hopfian.
• Grupa Out( F _n ) (gdzie n > 2) jest ko-hopfiańska.
• $Polyagailo$ podali charakterystykę ko-Hopficity dla geometrycznie skończonych grup izometrii bez 2-skrętu
• Prostokątna grupa Artina $jest$ gdzie skończonym niepustym wykresem) nie $jest$ wysyłanie każdego generatora standardowego do potęgi $definiuje$$A (\ Gamma)}$ , $Displaystyle$ iniekcyjny, ale nie surjekcja.
• Skończenie generowana, pozbawiona skrętu grupa nilpotentna G może być ko-Hopfianem lub nie-Hopfianem, w zależności od właściwości powiązanej z nią wymiernej algebry Liego .
• Jeśli G jest $G,$ hiperboliczną grupą i jest iniekcyjnym, ale nie suriekcyjnym endomorfizmem to albo $(G)}$$varphi: G \$ } jest paraboliczne dla niektórych podziałów k > 1 lub G w praktycznie cyklicznej lub parabolicznej podgrupie.
• Grupa G Grigorczuka o średnim wzroście nie jest ko-Hopfianem.
• Thompson grupa F nie jest współ-Hopfianem.
• Istnieje skończenie generowana grupa G , która nie jest ko-hopfiańska, ale ma własność Kazhdana (T) .
• Jeśli G jest uniwersalną skończenie przedstawioną grupą Higmana, to G nie jest ko-Hopfianem, a G nie może być osadzony w skończenie generowanej rekurencyjnie prezentowanej grupie ko-Hopfiańskiej.

Uogólnienia i pojęcia pokrewne

• Grupa G nazywana jest skończenie ko-hopfiańską , jeśli kiedykolwiek jest endomorfizmem iniekcyjnym, którego obraz ma skończony indeks w $displaystyle$$to$ φ . $Na$ przykład dla $wolnej$ grupy - Hopfian ale jest skończenie współ-
• Skończenie generowana grupa G nazywana jest niezmienną w skali , jeśli istnieje zagnieżdżona sekwencja podgrup o skończonym indeksie G , z których każda jest izomorficzna z G , i której przecięcie jest grupą skończoną.
• Grupa G nazywa się dis-cohopfian , jeśli istnieje endomorfizm iniekcyjny ${\ Displaystyle \ varphi: G \ do G}$ taki, że ${\ Displaystyle \ bigcap _{n=1}^{\infty}\varphi ^{n}(G)=\{1\}}$ .
• W geometrii zgrubnej przestrzeń metryczna X nazywana jest quasi-izometrycznie ko-Hopf ${\ Displaystyle f: X \ do X}$ jeśli każde quasi-izometryczne osadzenie z grubsza suriekcyjne (to znaczy jest quasi-izometrią) fa : . Podobnie, $z$ nazywa z grubsza co-Hopf , jeśli każde zgrubne osadzenie suriekcyjne
• W geometrii metrycznej przestrzeń metryczna K nazywana jest $osadzenie$ Hopf , jeśli każde quasi-symetryczne jest na

Zobacz też

• Obiekt hopfiański

Dalsza lektura

• K. Varadarajan, Hopfian and co-Hopfian Objects , Publicacions Matemàtiques 36 (1992), no. 1, s. 293–317