Obiekt hopfiański
W gałęzi matematyki zwanej teorią kategorii obiekt hopfiański jest obiektem A takim, że każdy epimorfizm A na A jest koniecznie automorfizmem . Pojęcie dualne dotyczy przedmiotu kohopfiańskiego , który jest przedmiotem B takim, że każdy monomorfizm z B do B jest z konieczności automorfizmem. Te dwa warunki zostały zbadane w kategoriach grup , pierścienie , moduły i przestrzenie topologiczne .
Terminy „hopfian” i „cohopfian” powstały od lat sześćdziesiątych XX wieku i podobno są na cześć Heinza Hopfa i wykorzystania przez niego koncepcji grupy hopfiańskiej w jego pracy nad podstawowymi grupami powierzchni. ( Hazewinkel 2001 , s. 63)
Nieruchomości
Oba warunki można postrzegać jako typy warunków skończoności w swojej kategorii. Na przykład, zakładając teorię mnogości Zermelo-Fraenkla z aksjomatem wyboru i pracując w kategorii zbiorów , obiekty hopfiańskie i kohopfiańskie są właśnie zbiorami skończonymi . Z tego łatwo zauważyć, że wszystkie skończone grupy, skończone moduły i skończone pierścienie są hopfiańskie i cohopfiańskie w swoich kategoriach.
Obiekty hopfiańskie i obiekty kohopfiańskie mają elementarną interakcję z obiektami projekcyjnymi i obiektami iniekcyjnymi . Dwa wyniki to:
- Iniekcyjny obiekt hopfiański to cohopfiański.
- Rzutowy obiekt kohopfiański jest obiektem hopfiańskim.
Dowód pierwszego stwierdzenia jest krótki: Niech A będzie iniekcyjnym obiektem hopfiańskim i niech f będzie morfizmem iniekcyjnym od A do A . Poprzez iniekcję, f rozkładają mapę identyczności I A na A , dając morfizm g taki, że gf = I A . W rezultacie g jest morfizmem suriekcyjnym, a zatem automorfizmem, a wtedy f jest koniecznie automorfizmem odwrotnym do g . Dowód ten można dualizować, aby udowodnić drugie stwierdzenie.
Grupy hopfiańskie i kohopfiańskie
Moduły hopfiańskie i cohopfiańskie
Oto kilka podstawowych wyników w kategorii modułów. Szczególnie ważne jest, aby pamiętać, że RR będąc hopfianem lub cohopfianem jako modułem różni się od R będącego hopfianem lub cohopfianem jako pierścieniem.
- Moduł Noetherowski jest hopfiański, a moduł artyński jest kohopfiański.
- Moduł R R jest hopfiański wtedy i tylko wtedy, gdy R jest bezpośrednio skończonym pierścieniem . Symetrycznie, te dwa są również równoważne z modułem R R będącym hopfianem.
- W przeciwieństwie do powyższego, moduły R R lub R R mogą być kohopfiańskie lub nie w dowolnej kombinacji. Przykład pierścienia cohopfiańskiego z jednej strony, ale nie z drugiej, podano w ( Varadarjan 1992 ). Jeśli jednak którykolwiek z tych dwóch modułów jest kohopfiański, R jest hopfiański po obu stronach (ponieważ R jest rzutowy jako moduł lewy lub prawy) i bezpośrednio skończony.
Pierścienie hopfiańskie i kohopfiańskie
Zupełnie inaczej wygląda sytuacja w kategorii pierścieni niż w kategorii modułów. Morfizmy w kategorii pierścieni o jedności są wymagane do zachowania tożsamości, to znaczy do wysłania 1 do 1.
- Jeśli R spełnia warunek łańcucha rosnącego na ideałach, to R jest hopfiańskie. Można to udowodnić przez analogię z faktem dla modułów noetherowskich. Idea odpowiednika „cohopfian” nie istnieje jednak, ponieważ jeśli f jest homomorfizmem pierścienia z R do R zachowującym tożsamość, a obraz f nie jest R , to z pewnością nie jest ideałem R . W każdym razie pokazuje to, że jednostronny pierścień noetherowski lub artyński jest zawsze hopfiański.
- Każdy prosty pierścień jest hopfiański, ponieważ jądro każdego endomorfizmu jest ideałem, który w prostym pierścieniu jest koniecznie zerem. Natomiast w ( Varadarajan 1992 ) podano przykład pola niekohopfowskiego .
- Pełny pierścień liniowy Koniec D (V) policzalnej wymiarowej przestrzeni wektorowej jest pierścieniem hopfia, który nie jest hopfianem jako moduł, ponieważ ma tylko trzy ideały, ale nie jest bezpośrednio skończony. Artykuł ( Varadarajan 1992 ) podaje również przykład pierścienia cohopfiańskiego, który nie jest kohopfiański jako moduł.
- Również w ( Varadarajan 1992 ) pokazano, że dla pierścienia logicznego R i związanej z nim przestrzeni Stone'a X , pierścień R jest hopfiański w kategorii pierścieni wtedy i tylko wtedy, gdy X jest kohopfiański w kategorii przestrzeni topologicznych, a R jest cohopfian jako pierścień wtedy i tylko wtedy, gdy X jest hopfianem jako przestrzenią topologiczną.
Hopfiańskie i kohopfiańskie przestrzenie topologiczne
- W ( Varadarajan 1992 ) zawarto serię wyników dotyczących zwartych rozmaitości. Po pierwsze, jedynymi zwartymi rozmaitościami , które są hopfiańskie, są skończone przestrzenie dyskretne . Po drugie, zwarte rozmaitości bez brzegów są zawsze kohopfiańskie. Wreszcie, zwarte rozmaitości z niepustą granicą nie są kohopfiańskie.
- Baumslag, Gilbert (1963), „Hopficity and abelian groups”, Topics in Abelian Groups (Proc. Sympos., New Mexico State Univ., 1962) , Chicago, Illinois: Scott, Foresman and Co., s. 331–335 , MR 0169896
- Hazewinkel, M., wyd. (2001), Encyklopedia matematyki. Suplement. Tom. III , Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, s. VIII+557, ISBN 1-4020-0198-3 , MR 1935796
- Varadarajan, K. (1992), "Hopfian i co-Hopfian obiekty" , Publicacions Matemàtiques , 36 (1): 293-317, doi : 10.5565/PUBLMAT_36192_21 , ISSN 0214-1493 , MR 1179618
- Varadarajan, K. (2001), „Niektóre ostatnie wyniki dotyczące Hopficity, co-Hopficity i właściwości pokrewnych”, International Symposium on Ring Theory , Trends Math., Birkhäuser Boston, s. 371–392, MR 1851216