Czynnik hiperskończony typu II

W matematyce istnieją co do izomorfizmu dokładnie dwa oddzielnie działające hiperskończone czynniki typu II ; jeden nieskończony i jeden skończony. Murray i von Neumann dowiedli, że aż do izomorfizmu istnieje jednoznaczna algebra von Neumanna , która jest czynnikiem typu II ₁ i zarazem hiperskończonym ; nazywa się to czynnikiem hiperskończonym typu II ₁ . Istnieje niezliczona liczba innych czynników typu II ₁ . Connes udowodnił, że nieskończoność jest również wyjątkowa.

Konstrukcje

• Algebra grup von Neumanna grupy dyskretnej z właściwością klasy koniugacji nieskończonej jest czynnikiem typu II ₁ , a jeśli grupa jest podatna i policzalna , to czynnik jest hiperskończony. Istnieje wiele grup o tych właściwościach, ponieważ każda lokalnie skończona grupa jest podatna. Na przykład algebra grupowa von Neumanna nieskończonej symetrycznej grupy wszystkich permutacji przeliczalnego nieskończonego zbioru, która ustala wszystkie elementy oprócz skończonej liczby, daje współczynnik hiperskończoności typu II ₁ .
• hiperskończony typu II ₁ wynika również z konstrukcji przestrzeni grupowo-miarowej dla ergodycznych działań zachowujących miarę swobodną przeliczalnych grup możliwych do zastosowania w przestrzeniach prawdopodobieństwa.
• Nieskończony iloczyn tensorowy przeliczalnej liczby czynników typu I _n w odniesieniu do ich stanów śledzenia jest czynnikiem hiperskończonym typu II ₁ . Gdy n = 2, jest to również czasami nazywane algebrą Clifforda nieskończenie rozdzielnej przestrzeni Hilberta.
• Jeśli p jest dowolną niezerową projekcją skończoną w hiperskończonej algebrze von Neumanna A typu II, to pAp jest czynnikiem hiperskończonym typu II ₁ . Równoważnie podstawową grupą A jest grupa dodatnich liczb rzeczywistych . Często trudno to zobaczyć bezpośrednio. Jest jednak oczywiste, gdy A jest nieskończonym iloczynem tensorowym czynników typu I _n , gdzie n przechodzi przez wszystkie liczby całkowite większe od 1 nieskończenie wiele razy: po prostu weź p równoważne do nieskończonego iloczynu tensorowego rzutów p _n , na których stan śledzenia jest albo ${\ displaystyle 1}$ albo ${\ displaystyle 1-1/n}$ .

Nieruchomości

Hiperskończony II ₁ czynnik R jest unikalnym najmniejszym nieskończonym czynnikiem wymiarowym w następującym sensie: jest zawarty w każdym innym nieskończonym czynniku wymiarowym, a każdy nieskończony czynnik wymiarowy zawarty w R jest izomorficzny z R .

Zewnętrzna grupa automorfizmu R jest nieskończoną grupą prostą z policzalnymi klasami koniugacji, indeksowanymi parami składającymi się z dodatniej liczby całkowitej p i zespolonego pierwiastka p z 1.

Rzuty czynnika hiperskończonego II ₁ tworzą geometrię ciągłą .

Nieskończony hiperskończony czynnik typu II

Chociaż istnieją inne czynniki typu II _∞ , istnieje unikalny hiperskończony, aż do izomorfizmu. Składa się z tych nieskończonych macierzy kwadratowych z wpisami w czynniku hiperskończonym typu II ₁ , które definiują operatory ograniczone .

Zobacz też

• Podczynniki

• A. Connes, Klasyfikacja czynników iniekcyjnych The Annals of Mathematics 2nd Ser., Cz. 104, nr 1 (lipiec 1976), s. 73–115
• FJ Murray, J. von Neumann, O pierścieniach operatorów IV Ann. z matematyki. (2), 44 (1943) s. 716–808. Pokazuje to, że wszystkie w przybliżeniu skończone czynniki typu II ₁ są izomorficzne.