Indeks mocy Banzhafa

W przypadku innych zastosowań zobacz Indeks mocy .
Model komputerowy indeksu mocy Banzhafa z Wolfram Demonstrations Project

Indeks mocy Banzhafa , nazwany na cześć Johna F. Banzhafa III (pierwotnie wynaleziony przez Lionela Penrose'a w 1946 r. I czasami nazywany indeksem Penrose-Banzhafa ; znany również jako indeks Banzhafa-Colemana od nazwiska Jamesa Samuela Colemana ), jest indeksem mocy zdefiniowanym przez prawdopodobieństwo zmiany wyniku głosowania , w którym prawa głosu niekoniecznie są równo podzielone między wyborców lub akcjonariuszy .

Aby obliczyć siłę wyborcy za pomocą indeksu Banzhafa, wypisz wszystkie zwycięskie koalicje, a następnie policz wyborców krytycznych. Wyborca ​​krytyczny to wyborca, który gdyby zmienił swój głos z tak na nie, spowodowałby niepowodzenie środka. Siła wyborcy jest mierzona jako ułamek wszystkich głosów wahadłowych, które mógłby oddać. Istnieje kilka algorytmów obliczania indeksu potęgowego, np. programowania dynamicznego , metody wyliczeniowe i metody Monte Carlo .

Przykłady

Gra w głosowanie

Prosta gra w głosowanie

Prosta gra polegająca na głosowaniu, zaczerpnięta z Teorii gier i strategii autorstwa Philipa D. Straffina:

[6; 4, 3, 2, 1]

Liczby w nawiasach oznaczają, że środek wymaga 6 głosów, aby przejść, a wyborca ​​A może oddać cztery głosy, B trzy głosy, C dwa, a D jeden. Zwycięskie grupy, z podkreślonymi wyborcami swingowymi, to:

AB , AC , A BC , AB D , AC D , BCD , ABCD

Łącznie jest 12 głosów wahadłowych, więc według indeksu Banzhafa władza jest podzielona w następujący sposób:

ZA = 5/12, B = 3/12, C = 3/12, D = 1/12

Amerykańskie Kolegium Elektorów

Weźmy pod uwagę Kolegium Elektorów Stanów Zjednoczonych . Każdy stan ma większą lub mniejszą władzę niż stan następny. W sumie jest 538 głosów elektorskich . Głos większościowy to 270 głosów. Indeks siły Banzhafa byłby matematycznym przedstawieniem prawdopodobieństwa, że ​​jeden stan byłby w stanie zmienić wynik głosowania. Stan taki jak Kalifornia , któremu przydzielono 55 głosów elektorskich, byłby bardziej skłonny do zmiany wyniku głosowania niż stan taki jak Montana , który ma 3 głosy elektorskie.

Załóżmy, że w Stanach Zjednoczonych odbywają się wybory prezydenckie między Republikaninem (R) a Demokratą (D). Dla uproszczenia załóżmy, że uczestniczą tylko trzy stany: Kalifornia (55 głosów elektorskich), Teksas (38 głosów elektorskich) i Nowy Jork (29 głosów elektorskich).

Możliwe wyniki wyborów to:

Kalifornia (55) Teksas (38) Nowy Jork (29) głosów R głosów D stany, które mogą wpłynąć na wynik głosowania
R R R 122 0 nic
R R D 93 29 Kalifornia (D wygrałby 84-38), Teksas (D wygrałby 67-55)
R D R 84 38 Kalifornia (D wygrałby 93-29), Nowy Jork (D wygrałby 67-55)
R D D 55 67 Teksas (R wygrałby 93-29), Nowy Jork (R wygrałby 84-38)
D R R 67 55 Teksas (D wygrałby 93-29), Nowy Jork (D wygrałby 84-38)
D R D 38 84 Kalifornia (R wygrałby 93-29), Nowy Jork (R wygrałby 67-55)
D D R 29 93 Kalifornia (R wygrałby 84-38), Teksas (R wygrałby 67-55)
D D D 0 122 nic

Indeks siły Banzhafa stanu to odsetek możliwych wyników, w których to państwo mogłoby wpłynąć na wybory. W tym przykładzie wszystkie trzy stany mają ten sam indeks: 4/12 lub 1/3.

Jeśli jednak Nowy Jork zostanie zastąpiony przez Gruzję, z zaledwie 16 głosami elektorskimi, sytuacja diametralnie się zmieni.

Kalifornia (55) Teksas (38) Gruzja (16) głosów R głosów D stany, które mogą wpłynąć na wynik głosowania
R R R 109 0 Kalifornia (R wygrałby 109–0)
R R D 93 16 Kalifornia (R wygrałby 93-16)
R D R 71 38 Kalifornia (R wygrałby 71-38)
R D D 55 54 Kalifornia (R wygrałby 55-54)
D R R 54 55 Kalifornia (D wygrałby 55-54)
D R D 38 71 Kalifornia (D wygrałby 71-38)
D D R 16 93 Kalifornia (D wygrałby 93-16)
D D D 0 109 Kalifornia (D wygrałby 109-0)

W tym przykładzie indeks Banzhaf daje Kalifornii 1, a innym stanom 0, ponieważ sama Kalifornia ma ponad połowę głosów.

Gra kartelowa

Pięć firm (A, B, C, D, E) podpisuje umowę o utworzeniu monopolu . Wielkość rynku wynosi X = 54 miliony sztuk rocznie (np. baryłek ropy naftowej) dla monopolisty. Maksymalne zdolności produkcyjne tych firm to A = 44, B = 32, C = 20, D = 8 i E = 4 mln sztuk rocznie. Istnieje zatem zbiór koalicji zdolnych zapewnić 54 miliony jednostek niezbędnych dla monopolu oraz zbiór koalicji, które nie są w stanie zapewnić takiej liczby. W każdej z wystarczających koalicji można mieć członków niezbędnych (aby koalicja zapewniła wymaganą produkcję) i zbędnych (podkreślono w poniższej tabeli). Nawet gdy jeden z tych zbędnych członków wypadnie z wystarczającej koalicji, koalicja ta jest w stanie zapewnić wymaganą produkcję. Jednak gdy jeden niezbędny członek, wystarczająca koalicja staje się niewystarczająca. Zysk monopolisty do podziału między członków koalicji wynosi 100 milionów dolarów rocznie.

Wystarczające koalicje ABCDE , ABCD , ABCE , A BDE , A CDE , A BC , AB D , AB E , AC D , AC E , BC DE , BCD, BCE, ADE, AB i AC
Niewystarczające koalicje CDE, BDE, AD, AE, pne, BD, BE, CD, CE, DE, A, B, C, D i E

Indeks Penrose'a-Banzhafa można zastosować do obliczenia wartości Shapleya , która stanowi podstawę do podziału zysku dla każdego gracza w grze proporcjonalnie do liczby wystarczających koalicji, w których ten gracz jest niezbędny. Gracz A jest niezbędny dla 10 z 16 wystarczających koalicji, B jest niezbędny dla 6, C również dla 6, D dla 2, a E dla 2. Zatem A jest niezbędny w 38,5% wszystkich przypadków (26 = 10 + 6 + 6 + 2 + 2, więc 10/26 = 0,385), B w 23,1%, C w 23,1%, D w 7,7% i E w 7,7% (są to indeksy Banzhafa dla każdej spółki). Podział 100 milionów zysków monopolistów według kryterium wartości Shapleya musi być zgodny z tymi proporcjami.

Historia

To, co jest dziś znane jako indeks siły Banzhafa, zostało pierwotnie wprowadzone przez Lionela Penrose'a w 1946 roku i zostało w dużej mierze zapomniane. Został wymyślony na nowo przez Johna F. Banzhafa III w 1965 roku, ale musiał zostać ponownie wynaleziony przez Jamesa Samuela Colemana w 1971 roku, zanim stał się częścią literatury głównego nurtu.

Banzhaf chciał obiektywnie udowodnić, że system głosowania zarządu hrabstwa Nassau był niesprawiedliwy. Jak podano w Teorii gier i strategii , głosy zostały rozdzielone w następujący sposób:

  • Hempstead nr 1: 9
  • Hempstead nr 2: 9
  • Północne Hempstead: 7
  • Zatoka Ostryg: 3
  • Glen Cove: 1
  • Długa plaża: 1

To łącznie 30 głosów, a do przyjęcia środka wymagana była zwykła większość 16 głosów.

W notacji Banzhafa [Hempstead # 1, Hempstead # 2, North Hempstead, Oyster Bay, Glen Cove, Long Beach] to AF w [16; 9, 9, 7, 3, 1, 1]

Istnieją 32 zwycięskie koalicje i 48 głosów wahadłowych:

AB AC BC ABC AB D AB E AB F AC D AC E AC F BC D BC E BC F ABCD ABCE ABCF AB DE AB DF AB EF AC DE AC DF AC EF BC DE BC DF BC EF ABCDE ABCDF ABCEF AB DEF AC DEF BC DEF ABCDEF

Indeks Banzhafa podaje następujące wartości:

  • Hempstead nr 1 = 16/48
  • Hempstead nr 2 = 16/48
  • North Hempstead = 16/48
  • Zatoka Oyster = 0/48
  • Glen Cove = 0/48
  • Długa plaża = 0/48

Banzhaf argumentował, że układ głosowania, który daje 0% władzy 16% populacji, jest niesprawiedliwy.

Dzisiaj, [ kiedy? ] indeks siły Banzhafa jest akceptowanym sposobem pomiaru siły głosu, wraz z alternatywnym wskaźnikiem siły Shapleya-Shubika . Obie miary zastosowano do analizy głosowania w Radzie Unii Europejskiej .

Jednak analiza Banzhafa została skrytykowana jako traktowanie głosów jak rzut monetą, a empiryczny model głosowania, a nie model głosowania losowego, stosowany przez Banzhafa, przynosi różne wyniki.

Zobacz też

Notatki

przypisy

Bibliografia

Linki zewnętrzne

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Banzhaf_power_index&oldid=1138477425 ”