Integracja przez operatora części

W matematyce całkowanie przez operatora części jest operatorem liniowym używanym do formułowania całkowania przez części ; najciekawsze przykłady całkowania przez operatorów części występują w ustawieniach nieskończenie wymiarowych i znajdują zastosowanie w analizie stochastycznej i jej zastosowaniach.

Definicja

Niech E będzie taką przestrzenią Banacha , że ​​zarówno E, jak i jej ciągła przestrzeń dualna E ^∗ są przestrzeniami separowalnymi ; niech μ będzie miarą borelowską na E . Niech S będzie dowolnym (stałym) podzbiorem klasy funkcji zdefiniowanych na E . Operator liniowy A : S → L ² ( E , μ ; R ) mówi się, że jest całkowaniem przez operatora części dla μ if

${\ Displaystyle \ int _ {E} \ operatorname {D} \ varphi (x)h(x)\,\mathrm {d} \mu (x)=\int _{E}\varphi (x)(Ah)(x)\,\mathrm {d} \mu (x) }$

dla każdej funkcji C ¹ φ : E → R i wszystkich h ∈ S , dla których każda strona powyższej równości ma sens. W powyższym D φ ( x ) oznacza pochodną Frécheta φ w x .

Przykłady

• Rozważmy abstrakcyjną przestrzeń Wienera i : H → E z abstrakcyjną miarą Wienera γ . Przyjmijmy S jest zbiorem wszystkich funkcji C ^{1 od} E do E ^∗ ; E ^∗ można traktować jako podprzestrzeń E ze względu na inkluzje

${\ Displaystyle E ^ {*} {\ xrightarrow {i ^ {*}}} H ^ {*} \ cong H {\ xrightarrow {i}} E.}$

Dla h ∈ S zdefiniuj Ah przez

${\ Displaystyle (Ah) (x) = h (x) x - \ operatorname {ślad} _ {H} \ operatorname {D} h (x).} Ten$

operator A jest całkowaniem przez operatora części, znanego również jako operator dywergencji ; dowód można znaleźć w Elworthy (1974).

• ₀ Klasyczna przestrzeń Wienera C ciągłych ścieżek w R ⁿ rozpoczynająca się od zera i zdefiniowana na przedziale jednostkowym [0, 1] ma inne całkowanie przez operatora części. Niech S będzie zbiorem

${\ Displaystyle S = \ lewo \ {\ lewo.h \ dwukropek C_ {0} \ do L_ {0} ^ {2,1} \ prawo | h {\ mbox {jest ograniczony i nie przewiduje}} \ right\},}$

₀ tj. wszystkie ograniczone , dostosowane procesy z absolutnie ciągłymi ścieżkami próbkowania. Niech φ : C → R będzie dowolną funkcją C ¹ taką, że zarówno φ , jak i D φ są ograniczone. Dla h ∈ S i λ ∈ R , twierdzenie Girsanowa implikuje, że

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {0}} \ varphi (x + \ lambda h (x)) \ \ operatorname {d} \ gamma (x) = \ int _ {C_ {0}} \ varphi (x) \exp \left(\lambda \int _{0}^{1}{\dot {h}}_{s}\cdot \mathrm {d} x_{s}-{\frac {\lambda ^{2} }{2}}\int _{0}^{1}|{\kropka {h}}_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s\right)\,\mathrm {d} \gamma (x).}$

Różniczkując względem λ i przyjmując λ = 0 otrzymujemy

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {0}} \ operatorname {D} \ varphi (x) h (x) \, \ mathrm {d} \gamma (x)=\int _{C_{0}}\varphi (x)(Ah)(x)\,\mathrm {d} \gamma (x)} gdzie ($

Ah ) ( x ) jest całką Itō

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ kropka {h}} _ {s} \ cdot \ operatorname {d} x_ {s}.} Ta sama$

relacja obowiązuje dla bardziej ogólnego φ przez argument przybliżenia; zatem całka Itō jest całkowaniem przez operatora części i może być postrzegana jako nieskończenie wymiarowy operator rozbieżności. Jest to ten sam wynik, co formuła całkowania przez części wyprowadzona z twierdzenia Clarka-Ocone'a .

•   Dzwon, Denis R. (2006). Rachunek Malliavina . Mineola, NY: Dover Publications Inc. s. x+113. ISBN 0-486-44994-7 . MR 2250060 (Patrz sekcja 5.3)
• Elworthy, K. David (1974). „Miary gaussowskie w przestrzeniach i rozmaitościach Banacha”. Globalna analiza i jej zastosowania (Wykłady, Internat. Sem. Course, Internat. Center Theoret. Phys., Triest, 1972), tom. II . Wiedeń: międzynarodowy. Agencja Energii Atomowej. s. 151–166. MR 0464297