Twierdzenie Clarka-Ocone'a

W matematyce twierdzenie Clarka – Ocone (znane również jako twierdzenie lub wzór Clarka – Ocone – Haussmanna ) jest twierdzeniem analizy stochastycznej . Wyraża wartość pewnej funkcji F zdefiniowanej w klasycznej przestrzeni Wienera ciągłych ścieżek rozpoczynających się w początku jako sumę jej wartości średniej i całki Itô względem tej ścieżki. Jej nazwa pochodzi od wkładu matematyków JMC Clarka (1970), Daniela Ocone (1984) i UG Haussmanna (1978).

Stwierdzenie twierdzenia

₀₀₀₀₀ Niech C ([0, T ]; R ) (lub po prostu C w skrócie) będzie klasyczną przestrzenią Wienera z miarą Wienera γ . Niech F : C → R będzie funkcją BC ¹ , tj. F jest ograniczona i różniczkowalna Frécheta z ograniczoną pochodną DF : C → Lin( C ; R ). Następnie

${\ Displaystyle F (\ sigma) = \ int _ {C_ {0}} F (p) \, \ operatorname {d} \ gamma (p) + \ int _ {0} ^ {T} \ mathbf {E} \left[\left.{\frac {\częściowy }{\częściowy t}}\nabla _{H}F(-)\right|\Sigma _{t}\right](\sigma )\,\mathrm { d} \sigma _{t}.}$

W powyższym

• F ( σ ) jest wartością funkcji F na jakiejś określonej ścieżce zainteresowania, σ ;
• pierwsza całka,

${\ Displaystyle \ int _ {C_ {0}} F (p) \ \ operatorname {d} \ gamma (p) = \ mathbf {E} [F]}$

₀ jest oczekiwaną wartością F w całej przestrzeni Wienera C ;

• druga

$_$

_ _ _

• Σ _∗ jest naturalną filtracją ruchu Browna B : [0, T ] × Ω → R : Σ _t jest najmniejszą algebrą σ zawierającą wszystkie B _s ⁻¹ ( A ) dla czasów 0 ≤ s ≤ t i zbiorów Borela A ⊆ R ;
• E [·|Σ _t ] oznacza oczekiwanie warunkowe względem algebry sigma Σ _t ;
• ^∂ / _{∂ t} oznacza różniczkowanie po czasie t ; ∇ _H oznacza gradient H ; stąd ^∂ / _{∂ t} ∇ _H jest pochodną Malliavina .

₀ Bardziej ogólnie, wniosek dotyczy dowolnego F w L ² ( C ; R ), które jest różniczkowalne w sensie Malliavina.

Całkowanie przez części w przestrzeni Wienera

Twierdzenie Clarka – Ocone prowadzi do formuły całkowania przez części w klasycznej przestrzeni Wienera i do zapisania całek Itô jako rozbieżności :

₀₀₀₀ Niech B będzie standardowym ruchem Browna i niech L ^2,1 będzie przestrzenią Camerona-Martina dla C (patrz abstrakcyjna przestrzeń Wienera . Niech V : C → L ^2,1 będzie polem wektorowym takim, że

${\ Displaystyle {\ kropka {V}} = {\ Frac {\ częściowe V} {\ częściowe t}}: [0, T] \ razy C_ {0}\do \mathbb {R}}$

₀ jest w L ² ( B ) (tj. jest Itô całkowalne , a zatem jest procesem dostosowanym ). Niech F : C → R będzie BC ¹ jak wyżej. Następnie

${\ Displaystyle \ int _ {C_{0}}\mathrm {D} F(\sigma )(V(\sigma ))\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )=\int _{C_{0}}F(\sigma )\left(\int _{0}^{T}{\dot {V}}_{t}(\sigma )\,\mathrm {d} \sigma _{t}\right)\,\mathrm { d} \gamma (\sigma ),}$

tj

${\ Displaystyle \ int _{C_{0}}\left\langle \nabla _{H}F(\sigma ),V(\sigma )\right\rangle _{L_{0}^{2,1}}\,\mathrm { d} \gamma (\sigma )=-\int _{C_{0}}F(\sigma )\nazwa operatora {dział} (V)(\sigma )\,\mathrm {d} \gamma (\sigma )}$

₀ lub zapisując całki po C jako oczekiwania:

${\ Displaystyle \ mathbb {E} {\ duży [} \ langle \ nabla _ {H} F, V \ rangle {\ duży] }=-\mathbb {E} {\big [}F\operatorname {div} V{\big ]},}$

₀ gdzie „rozbieżność” div( V ) : C → R jest zdefiniowana przez

${\ Displaystyle \ operatorname {div} (V) (\ sigma): = - \ int _ {0} ^ {T} {\ kropka {V}} _ {t} (\ sigma) \, \ operatorname {d} \sigma _{t}.}$

Interpretacja całek stochastycznych jako rozbieżności prowadzi do koncepcji takich jak całka Skorochoda i narzędzia rachunku Malliavina .

Zobacz też

• Twierdzenie o reprezentacji całkowej dla klasycznej przestrzeni Wienera , które w swoim dowodzie wykorzystuje twierdzenie Clarka – Ocone
• Integracja przez operatora części
• Rachunek Malliavina

•   Nualart, David (2006). Rachunek Malliavina i tematy pokrewne . Prawdopodobieństwo i jego zastosowania (Nowy Jork) (wyd. Drugie). Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-28328-7 .

Linki zewnętrzne

• Friz, Peter K. (10.04.2005). „Wprowadzenie do rachunku Malliavina” (PDF) . Zarchiwizowane od oryginału (PDF) w dniu 17.04.2007 . Źródło 2007-07-23 .