Jajowaty (geometria rzutowa)

Ten artykuł dotyczy figury geometrycznej lub kształtu. Gatunki grzybów, patrz Psilocybe ovoideocystidiata .

Do definicji owalu: t styczna, s sieczna

W geometrii rzutowej jajowaty jest kulistym punktem (powierzchnią) w przestrzeni rzutowej o wymiarze d ≥ 3 . Prostymi przykładami w rzeczywistej przestrzeni rzutowej są hipersfery ( kwadryki ). Podstawowe właściwości geometryczne jajowatego to: ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$

1. Każda linia przecina co najwyżej 2 punkty, ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$
2. Styczne w punkcie pokrywają hiperpłaszczyznę (i nic więcej) oraz
3. ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ nie zawiera żadnych linii.

Właściwość 2) wyklucza przypadki zdegenerowane (stożki,...). Właściwość 3) wyklucza powierzchnie proste (hiperboloidy jednego arkusza, ...).

Jajowaty jest przestrzennym analogiem owalu w płaszczyźnie rzutowej.

Jajowaty jest szczególnym rodzajem zbioru kwadratowego .

Jajowate odgrywają istotną rolę w konstruowaniu przykładów płaszczyzn Möbiusa i geometrii Möbiusa o wyższych wymiarach.

Definicja jajowata

• $mathcal {$ W przestrzeni rzutowej o wymiarze d ≥ 3 zbiór punktów nazywany jest jajowatym , jeśli

(1) Dowolna linia g spotyka się $}}}$ maksymalnie o 2 punkty.

w przypadku ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 0}$ linia nazywana jest mijającą (lub zewnętrzną ) linią , jeśli ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 1}$ linia jest styczną i jeśli ${\ Displaystyle | g \ cap {\ mathcal {O}} | = 2}$ linia jest linia sieczna .

2 ) W dowolnym punkcie $P$ styczne przechodzące przez , hiperpłaszczyznę styczną (tj. Rzutową podprzestrzeń o wymiarze d - 1 ).

(3) $linii$ .

Z punktu widzenia przekrojów hiperpłaszczyznowych jajowaty jest raczej obiektem jednorodnym, ponieważ

• Dla jajowatego i hiperpłaszczyzny , która zawiera co najmniej dwa punkty podzbioru $ε ∩$${$$}$${\ mathcal {O}}}$$cap$ jest jajowatym (lub owalnym, jeśli d = 3 ) w .

Dla skończonych przestrzeni rzutowych o wymiarze d ≥ 3 (tj. zbiór punktów jest skończony, przestrzeń jest pappianem), prawdziwy jest następujący wynik:

• Jeśli jest jajowatym w skończonej przestrzeni $rzutowej$ o wymiarze d 3 , to d = 3 .

(W skończonym przypadku jajowate istnieją tylko w przestrzeniach trójwymiarowych).

• W skończonej przestrzeni rzutowej rzędu n > 2 (tj. każda linia zawiera dokładnie n + 1 punktów) i wymiar d = 3 dowolny zbiór punktów ${\ displaystyle {\ mathcal {O}}}$ jest jajowatym wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle | {\ mathcal {O}} | = n ^ {2} + 1}$ i żadne trzy punkty nie są współliniowe (na wspólnej linii).

Zastąpienie słowa rzutowego w definicji jajowatego przez afiniczne daje definicję jajowatego afinicznego .

Jeśli dla (rzutowego) jajowatego istnieje odpowiednia hiperpłaszczyzna, która $nie$ przecina, można nazwać tę hiperpłaszczyznę hiperpłaszczyzną ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}}$ w nieskończoności , a jajowaty staje się ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ infty}} ε ∞$ {\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ infty} } Ponadto każdy jajowaty afiniczny można uznać za rzutowy jajowaty w rzutowym zamknięciu (dodaniu hiperpłaszczyzny w nieskończoności) przestrzeni afinicznej.

Przykłady

W rzeczywistej przestrzeni rzutowej (reprezentacja niejednorodna)

1. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {(x_ {1}, ..., x_ {d}) \ w {\ mathbb {R}} ^{d}\;|\;x_{1}^{2}+\cdots +x_{d}^{2}=1\}\ ,}$ (hipersfera)
2. ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {(x_ {1}, ..., x_ {d}) \ w {\ mathbb {R}} ^ {d} \; | x_ {d} = x_ {1}^{2}+\cdots +x_{d-1}^{2}\;\}\;\cup \;\{{\text{punkt w nieskończoności }}x_{d}{\text {-oś}}\}}$

Te dwa przykłady to kwadraty i są rzutowo równoważne.

Proste przykłady, które nie są kwadrykami, można uzyskać za pomocą następujących konstrukcji:

gładko połowę hipersfery do odpowiedniej hiperelipsoidy .

(b) W pierwszych dwóch przykładach zamień wyrażenie x ₁ ² na x ₁ ⁴ .

$)$ : rzeczywistych przykładów nie można przekształcić w przypadek złożony (przestrzeń rzutowa nad . W zespolonej przestrzeni rzutowej o wymiarze d ≥ 3 nie ma owalnych kwadryk, ponieważ w takim przypadku każda niezdegenerowana kwadryka zawiera proste.

Ale następująca metoda gwarantuje wiele jajowatych niekwadratowych:

• Dla dowolnej nieskończonej przestrzeni rzutowej istnienie jajowatych można udowodnić za pomocą indukcji pozaskończonej .

Skończone przykłady

• Każdy jajowaty $rzutowej$ skończonej przestrzeni o wymiarze d = 3 nad polem K o charakterystyce ≠ 2 jest kwadratem .

Ostatniego wyniku nie można rozszerzyć do charakterystyki parzystej ze względu na następujące niekwadryczne przykłady:

• K ${\ Displaystyle K = GF (2 ^ {m}), \; m}$$\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {(2 ^ {\ Frac {m + 1} {2}}}} \;,}$ i ${\ Displaystyle \ sigma}$ automorfizm

zestaw punktów

$\ Displaystyle {\ mathcal {O}} = \ {(x, y, z) \ w K ^ {3 }\;|\;z=xy+x^{2}x^{\sigma }+y^{\sigma }\}\;\cup \;\{{\text{punkt nieskończoności }}z {\text{-axis}}\}}$ jest owalnym w trójwymiarowej przestrzeni rzutowej K (reprezentowane we współrzędnych niejednorodnych).

Tylko wtedy, gdy $m$ = 1 jest owalnym .

$cycuszki$ się -suzuki-jajowate .

Kryteria, aby jajowaty był kwadratem

Kwadryk jajowaty ma wiele symetrii. W szczególności:

• $rzutowej$ będzie $owalnym$ w przestrzeni $.$ d 3 ≥ i Jeśli jajowaty jest symetryczny do dowolnego punktu (tj. istnieje perspektywa inwolucyjna ze środkiem, który pozostawia $}}}$$\ Displaystyle P \$$mathcal {$$,$ ), to jest pappianem $a$ .
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$ w przestrzeni rzutowej $O$ kwadryką , jeśli grupa rzutowości, które pozostawiają $\ Displaystyle {\ mathcal {} O}}}$$niezmiennik$ działa 3-przechodnio na , tj. dla dwóch ${\ Displaystyle \ pi (A_ {i}) = B_ {i}, \; i = 1,2,3}$$A_ {2}, A_ {3}, \; B_ {1}, B_ {2}, B_ {3}}$ istnieje $projekcja$ z .

W skończonym przypadku otrzymujemy z twierdzenia Segre'a :

• $}$ będzie jajowatym w skończonej 3-wymiarowej desarguesowskiej przestrzeni rzutowej nieparzystego rzędu, a następnie ${\ Displaystyle {\ mathfrak {P}}}$ nieparzystego rzędu, $P}}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {$$a$ pappian, to kwadryka.

Uogólnienie: pół jajowate

Usunięcie warunku (1) z definicji jajowatego skutkuje definicją półjajowatego :

$,$ punktów przestrzeni rzutowej nazywany jest półjajowatym jeśli

obowiązują następujące warunki:

(SO1) Dla dowolnego punktu $dokładnie$ punkt $.$ hiperpłaszczyznę

(SO2) $linii$ .

Półjajowaty to specjalny zbiór półkwadratowy , który jest uogólnieniem zbioru kwadratowego . Zasadnicza różnica między zbiorem półkwadratowym a zbiorem kwadratowym polega na tym, że mogą istnieć proste, które mają ze zbiorem 3 punkty wspólne i proste nie mieszczą się w zbiorze.

Przykładami półjajowatych są zbiory punktów izotropowych o postaci hermitowskiej . Nazywa się je kwadrykami hermitowskimi .

Jeśli chodzi o jajowate, w literaturze istnieją kryteria, które czynią z półjajowatego kwadrykę hermitowską. Zobacz na przykład.

Półjajowate są używane do budowy przykładów geometrii Möbiusa.

Zobacz też

• Jajowaty (przestrzeń polarna)
• Samolot Möbiusa

Notatki

•    Dembowski, Peter (1968), Finite geometries , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8 , MR 0233275

Dalsza lektura

• Barlotti, A. (1955), "Estensione del teorema di Segre-Kustaanheimo", Boll. Un. Mata. włoski. , 10 : 96–98
•   Hirschfeld, JWP (1985), Skończone przestrzenie rzutowe trzech wymiarów , Nowy Jork: Oxford University Press, ISBN 0-19-853536-8
• Panella, G. (1955), "Caratterizzazione delle quadriche di uno spazio (trójwymiarowy) lineare sopra un corpo finito", Boll. Un. Mata. włoski. , 10 : 507–513

Linki zewnętrzne

• E. Hartmann: Płaskie geometrie okręgów, wprowadzenie do płaszczyzn Moebiusa, Laguerre'a i Minkowskiego. Skript, TH Darmstadt (PDF; 891 kB), S. 121-123.