Kartezjusz o wielościanach
Descartes on Polyhedra: A Study of the „De solidorum elementis” to książka z historii matematyki , dotycząca prac René Descartesa nad wielościanami . Centralnym punktem książki jest sporny priorytet wielościennej formuły Eulera między Leonhardem Eulerem , który opublikował wyraźną wersję formuły, a Kartezjuszem, którego De solidorum elementis zawiera wynik, z którego można łatwo wyprowadzić wzór.
Descartes on Polyhedra został napisany przez Pasquale Josepha Federico (1902–1982) i opublikowany pośmiertnie przez Springer-Verlag w 1982 r., Z pomocą wdowy po Federico, Bianca M. Federico, jako tom 4 ich serii książek Źródła w historii matematyki i Nauk fizycznych. Komitet Podstawowej Listy Bibliotecznej Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego zasugerował włączenie go do bibliotek matematycznych dla studentów studiów licencjackich.
Tematy
Oryginalny łaciński rękopis De solidorum elementis został napisany około 1630 roku przez Kartezjusza; recenzentka Marjorie Senechal nazywa to „pierwszym ogólnym podejściem do wielościanów”, jedyną pracą Kartezjusza w tej dziedzinie, niedokończoną, z nieuporządkowanymi stwierdzeniami i niektórymi błędami. Pojawił się w Sztokholmie w posiadłości Kartezjusza po jego śmierci w 1650 roku, był moczony przez trzy dni w Sekwanie, kiedy statek przewożący go z powrotem do Paryża rozbił się, i przetrwał wystarczająco długo, by Gottfried Wilhelm Leibniz skopiował go w 1676 roku, po czym zniknął na Dobry. Kopia Leibniza, również zaginiona, została ponownie odkryta w Hanowerze około 1860 r. Pierwsza część Kartezjusza na wielościanach dotyczy tej historii, szkicuje biografię Kartezjusza, zawiera jedenastostronicową faksymilową reprodukcję kopii Leibniza oraz transkrypcję, tłumaczenie na język angielski i komentarz do tego tekstu, w tym wyjaśnienia niektórych jego notacji.
W De solidorum elementis Kartezjusz stwierdza (bez dowodu) twierdzenie Kartezjusza o całkowitym błędzie kątowym , dyskretną wersję twierdzenia Gaussa-Bonneta, zgodnie z którym defekty kątowe wierzchołków wielościanu wypukłego (wielkość, o jaką kąty w tym jest mniejszy od kąta otaczającego dowolny punkt na płaskiej zawsze sumuje się dokładnie . Kartezjusz użył tego twierdzenia, aby udowodnić, że pięć brył platońskich to jedyne możliwe regularne wielościany. wyprowadzenie Eulera odnoszącego liczby wierzchołków, krawędzi i ścian wypukłego wielościanu z twierdzenia Kartezjusza, solidorum elementis zawiera wzór bardziej przypominający wzór Eulera, odnoszący się do liczby wierzchołków, ścian i kątów płaskich wielościanu. Od czasu ponownego odkrycia rękopisu Kartezjusza wielu uczonych argumentowało, że zasługa formuły Eulera powinna przypadać Kartezjuszowi, a nie Leonhardowi Eulerowi , który opublikował formułę (z błędnym dowodem) w 1752 r. Druga część Kartezjusza o wielościanach zawiera przegląd tego debatę i porównuje rozumowanie Kartezjusza i Eulera na te tematy. Ostatecznie książka kończy się wnioskiem, że Kartezjusz prawdopodobnie nie odkrył wzoru Eulera, a recenzenci Senechal i HSM Coxeter zgadzają się, pisząc, że Kartezjusz nie miał pojęcia o krawędziach wielościanu i bez tego nie mógłby sformułować samego wzoru Eulera. Następnie, po tej pracy, odkryto, że Francesco Maurolico dostarczył bardziej bezpośredniego i znacznie wcześniejszego poprzednika pracy Eulera, obserwację z 1537 r. (Bez dowodu na jej bardziej ogólne zastosowanie), że sama formuła Eulera jest prawdziwa dla pięciu ciała stałe.
Druga część książki Kartezjusza i trzecia część Kartezjusza o wielościanach łączy teorię wielościanów z teorią liczb . Dotyczy liczb figuratywnych zdefiniowanych przez Kartezjusza z wielościanów, uogólniając klasyczne greckie definicje liczb figuratywnych, takie jak liczby kwadratowe i liczby trójkątne z dwuwymiarowych wielokątów . W tej części Kartezjusz używa zarówno brył platońskich, jak i niektórych wielościanów półregularnych , ale nie używa wielościanów zadartych .
Publiczność i odbiór
Recenzent FA Sherk, po zauważeniu oczywistego znaczenia Kartezjusza na temat wielościanów dla historyków matematyki, poleca go również geometrom i matematykom-amatorom. Pisze, że stanowi dobre wprowadzenie do niektórych ważnych tematów z matematyki wielościanów, zawiera ciekawe powiązania z teorią liczb i jest łatwy do odczytania bez dużej wiedzy podstawowej. Marjorie Senechal zwraca uwagę, że poza kwestią pierwszeństwa między Kartezjuszem a Eulerem, książka jest również przydatna do wyjaśnienia tego, co było ogólnie znane z geometrii w czasach Kartezjusza. Krótko mówiąc, recenzent L. Führer nazywa książkę piękną, czytelną i żywą, ale kosztowną.