Koło kuli

Małe kółko kuli.

{\ Displaystyle BC ^ {2} = AB ^ {2} + AC ^ {2}}

, gdzie C jest środkiem kuli, A jest środkiem małego koła , a B jest punktem na granicy małego okręgu. Dlatego znając promień kuli i odległość od płaszczyzny małego koła do C, promień małego koła można wyznaczyć za pomocą twierdzenia Pitagorasa.

Okrąg kuli to okrąg leżący na kuli . Taki okrąg można utworzyć jako przecięcie kuli i płaszczyzny lub dwóch sfer. Okręgi sfery są odpowiednikami geometrii uogólnionych okręgów w przestrzeni euklidesowej . Okrąg na kuli, którego płaszczyzna przechodzi przez środek kuli, nazywany jest kołem wielkim , analogicznie do prostej euklidesowej ; w przeciwnym razie jest to małe kółko , analogiczne do koła euklidesowego. Okręgi kuli mają promień mniejszy lub równy promieniowi kuli, z równością, gdy okrąg jest wielkim kołem.

Okrąg kuli można również scharakteryzować jako zbiór punktów na kuli w jednakowej odległości od danego punktu środkowego lub jako sferyczną krzywą o stałej krzywiźnie .

Na ziemi

W geograficznym układzie współrzędnych na kuli ziemskiej równoleżniki szerokości geograficznej to małe okręgi, przy czym równik jest jedynym kołem wielkim. Dla kontrastu, wszystkie południki długości geograficznej w połączeniu z przeciwległym południkiem na drugiej półkuli tworzą wielkie koła.

Powiązana terminologia

Średnica kuli przechodzącej przez środek okręgu nazywa się jej osią , a końce tej średnicy nazywamy jej biegunami . Okrąg kuli można również zdefiniować jako zbiór punktów w danej odległości kątowej od danego bieguna.

Przecięcie sfera-płaszczyzna

Gdy przecięcie kuli i płaszczyzny nie jest puste ani nie stanowi pojedynczego punktu, jest to okrąg. To może być rozumiane w następujący sposób:

Niech S będzie kulą o środku O , P płaszczyzną przecinającą S . Narysuj OE prostopadle do P i spotkanie P w E . Niech A i B będą dowolnymi dwoma różnymi punktami przecięcia. Wtedy AOE i BOE są trójkątami prostokątnymi o wspólnym boku OE i przeciwprostokątnych AO i BO równych. Zatem pozostałe boki AE i BE są równe. Dowodzi to, że wszystkie punkty przecięcia leżą w tej samej odległości od punktu E na płaszczyźnie P , innymi słowy wszystkie punkty przecięcia leżą na okręgu C o środku E. Dowodzi to, że przecięcie P i S jest zawarte w C . Zauważ, że OE jest osią okręgu.

Rozważmy teraz punkt D okręgu C . Ponieważ C leży w P , tak samo D . Z drugiej strony trójkąty AOE i DOE są trójkątami prostokątnymi o wspólnym boku OE i bokach EA i ED równych. Dlatego przeciwprostokątne AO i DO są równe i równe promieniowi S , tak że D leży w S . Dowodzi to, że C jest zawarte w przecięciu P i S .

W związku z tym na kuli znajduje się dokładnie jedno koło, które można poprowadzić przez trzy dane punkty.

Dowód można rozszerzyć, aby pokazać, że wszystkie punkty na okręgu znajdują się we wspólnej odległości kątowej od jednego z jego biegunów.

Porównaj również przekroje stożkowe , które mogą tworzyć owale .

Przecięcie kula-sfera

Aby pokazać, że nietrywialne przecięcie dwóch sfer jest kołem, załóżmy (bez utraty ogólności), że jedna kula (o promieniu $jest$ wyśrodkowana w początku układu współrzędnych. Punkty na tej kuli spełniają

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = R ^ {2}.}

Bez utraty ogólności załóżmy również, że druga kula o promieniu $wyśrodkowana$ w punkcie na dodatniej osi x, w odległości $.$ początku układu współrzędnych Jego punkty spełniają

{\ Displaystyle (xa) ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = r ^ {2}.}

Przecięcie sfer to zbiór punktów spełniających oba równania. Odejmując równania daje

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} (xa) ^ {2} -x ^ {2} & = r ^ {2} -R ^ {2} \\ a ^ {2} -2ax & = r ^ {2} -R^{2}\\x&={\frac {a^{2}+R^{2}-r^{2}}{2a}}.\end{wyrównane}}}

W pojedynczym przypadku $są$ koncentryczne Istnieją dwie możliwości: jeśli $pokrywają się$ a przecięcie to cała kula jeśli ${\ displaystyle R \ not = r}$ , sfery są rozłączne, a przecięcie jest puste. Kiedy a jest niezerowe, przecięcie leży w płaszczyźnie pionowej z tą współrzędną x, która może przecinać obie sfery, być styczna do obu sfer lub zewnętrzna względem obu sfer. Wynik wynika z poprzedniego dowodu dla przecięć kula-płaszczyzna.

Zobacz też

Hobbs, Kalifornia (1921). Solidna geometria . GH Kent. s. 397 i nast.

Dalsza lektura

Sykes, M.; Comstock, CE (1922). Solidna geometria . Randa McNally'ego. s. 81 i nast.