Końcowe zero

0 W matematyce końcowe zera to sekwencja w reprezentacji dziesiętnej (lub bardziej ogólnie w dowolnej reprezentacji pozycyjnej ) liczby, po której nie następują żadne inne cyfry .

Końcowe zera po prawej stronie przecinka dziesiętnego , jak w przypadku 12,3400, nie wpływają na wartość liczby i można je pominąć, jeśli interesująca jest tylko jej wartość liczbowa. To prawda, nawet jeśli zera powtarzają się w nieskończoność . Na przykład w aptece końcowe zera są pomijane w wartościach dawek , aby zapobiec błędnemu odczytowi. Jednak końcowe zera mogą być przydatne do wskazywania liczby cyfr znaczących , na przykład w pomiarze. W takim kontekście „uproszczenie” liczby przez usunięcie końcowych zer byłoby nieprawidłowe.

Liczba końcowych zer w niezerowej liczbie całkowitej o podstawie b równa się wykładnikowi najwyższej potęgi liczby b , która dzieli n . Na przykład liczba 14000 ma trzy końcowe zera i dlatego jest podzielna przez 1000 = 10 ³ , ale nie przez 10 ⁴ . Ta właściwość jest przydatna podczas wyszukiwania małych czynników w rozkładzie na czynniki całkowite . Niektóre architektury komputerów mają operację zliczania końcowych zer w swoim zestawie instrukcji do efektywnego określania liczby końcowych bitów zerowych w słowie maszynowym.

Silnia

Liczba końcowych zer w dziesiętnej reprezentacji n !, silnia nieujemnej liczby całkowitej n , jest po prostu krotnością czynnika pierwszego 5 w n !. Można to określić za pomocą tego szczególnego przypadku wzoru de Polignaca :

${\ Displaystyle f (n) = \ suma _ {i = 1} ^ {k} \ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {5 ^ {i}}} \ prawo \ rfloor = \ lewo \ lfloor {\ frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3 }}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,}$

gdzie k musi być tak dobrane, że

${\ Displaystyle 5 ^ {k + 1}> n, \,}$

dokładniej

${\ Displaystyle 5 ^ {k} \ równoważnik n <5 ^ {k + 1}}$

${\ Displaystyle k = \ lewo \ lfloor \ log _{5}n\right\rfloor ,}$

i $podłogi$ zastosowaną a . _ _ Dla n = 0, 1, 2, ... to jest

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (sekwencja A027868 w OEIS ).

Na przykład 5 ³ > 32, a zatem 32! = 263130836933693530167218012160000000 kończy się na

${\ Displaystyle \ lewo \ lfloor {\ Frac {32} {5}} \ prawo \ rfloor + \ lewo \ lfloor {\ Frac {32} {5} ^{2}}}\prawo\rpodłoga =6+1=7\,}$

zera. Jeśli n < 5, nierówność jest spełniona przez k = 0; w takim przypadku suma jest pusta , co daje odpowiedź 0.

Formuła faktycznie liczy liczbę czynników 5 w n !, ale ponieważ czynników jest co najmniej tyle samo, co 2, jest to równoważne liczbie czynników 10, z których każdy daje o jedno końcowe zero więcej.

Definiowanie

${\ Displaystyle q_ {i} = \ lewo \ lfloor {\ Frac {n} {5 ^ {i}}} \ prawo \ rfloor \,}$

następująca relacja powtarzalności :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} q_ {0} \, \, \, \, \, & = \, \, \, n, \ quad \\ q_ {i + 1} i = \ lewo \ lfloor { \frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{wyrównane}}}$

Można to wykorzystać do uproszczenia obliczania warunków sumowania, które można zatrzymać, gdy tylko qi _osiągnie zero. Warunek 5 ^{k +1} > n jest równoważny q   _{k +1} = 0.

Zobacz też

• Wiodące zero
• Końcowa cyfra

Linki zewnętrzne

• Dlaczego końcowe zera ułamkowe są ważne? dla niektórych przykładów, kiedy końcowe zera są znaczące
• Liczba końcowych zer dla dowolnego silni programu Pythona do obliczania liczby końcowych zer dla dowolnej silni Zarchiwizowane 2017-02-22 w Wayback Machine