Kryterium Nevanlinny

W matematyce kryterium Nevanlinny w analizie zespolonej , udowodnione w 1920 roku przez fińskiego matematyka Rolfa Nevanlinnę , charakteryzuje holomorficzne funkcje jednowartościowe na dysku jednostkowym , które są podobne do gwiazdy . Nevanlinna użył tego kryterium, aby udowodnić hipotezę Bieberbacha dotyczącą funkcji jednowartościowych podobnych do gwiazd.

Oświadczenie o kryterium

Jednowartościowa funkcja h na dysku jednostkowym spełniająca h (0) = 0 i h' (0) = 1 jest gwiezdna, tj. ma obraz niezmienny przy mnożeniu przez liczby rzeczywiste w [0,1], wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle zh ^ {\ pierwsza} (z) / h (z)}$ ma dodatnią część rzeczywistą dla | z | < 1 i przyjmuje wartość 1 przy 0.

Zauważ, że stosując wynik do • h ( rz ) , kryterium stosuje się do dowolnego dysku | z | < r tylko z warunkiem, że f (0) = 0 i f' (0) ≠ 0.

Dowód kryterium

Niech h ( z ) będzie gwiaździstą jednowartościową funkcją na | z | < 1 gdzie h (0) = 0 i h' (0) = 1.

Dla t < 0 zdefiniuj

${\ Displaystyle f_ {t} (z) = h ^ {- 1} (e ^ {- t} h (z)), \ ,}$

półgrupa holomorficznego odwzorowania a D na siebie ustalającego 0.

Ponadto h jest funkcją Koenigsa dla półgrupy f _t .

Z lematu Schwarza , | fa _t ( z )| maleje wraz ze t .

Stąd

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} \ równoważnik 0.}$

Ale ustawienie w = f _t ( z ),

${\ Displaystyle \ częściowe _ {t} | f_ {t} (z) | ^ {2} = 2\Re \,{\overline {f_{t}(z)}}\częściowe _{t}f_{t}(z)=2\Re \,{\overline {w}}v(w),}$

Gdzie

${\ Displaystyle v (w) = - {h (w) \ ponad h ^ {\ pierwsza} (w)}.}$

Stąd

${\ Displaystyle \ Re \ {\ overline {w}} {h (w) \ ponad h ^ {\ pierwsza} (w)} \ geq 0. }$

i tak dzieląc przez | w | ² ,

${\ Displaystyle \ Re \ {h (w) \ nad wh ^ {\ pierwsza} (w)} \ geq 0.}$

Biorąc odwrotności i pozwalając t dojść do 0, daje

${\ Displaystyle \ Re \, z {h ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad h (z)} \ geq 0}$

dla wszystkich | z | < 1. Ponieważ lewa strona jest funkcją harmoniczną , zasada maksimum implikuje, że nierówność jest ścisła.

I odwrotnie, jeśli

${\ Displaystyle g (z) = z {h ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad h (z)}}$

ma dodatnią część rzeczywistą i g (0) = 1, to h może zniknąć tylko w punkcie 0, gdzie musi mieć proste zero.

Teraz

${\ Displaystyle \ częściowe _ {\ teta} \ arg h (re ^ {i \ teta}) = \ częściowe _ {\ teta} \ Im \, \ log h (z) = \ Im \, \ częściowe _ {\ theta }\log h(z)=\Im \,{\częściowe z \ponad \częściowe \theta }\cdot \częściowe _{z}\log h(z)=\Re \,z{h^{\prime }(z) \ponad h(z)}.}$

$)}$ , gdy z $) {$ okrąg , obrazu $h (re ^ {i \$ wzrasta ściśle. Zgodnie z zasadą argumentu , ponieważ $punkcie 0, okrąża początek tylko raz.$ proste zero w Wnętrze obszaru ograniczonego krzywą, którą wyznacza, jest zatem podobne do gwiazdy. jeśli _ jest punktem we wnętrzu, to liczba rozwiązań N ( a ) h(z) = a gdzie | z | < r jest podane przez

${\ Displaystyle N (a) = {1 \ ponad 2 \ pi i} \ int _ {| z | = r} {h ^ {\ pierwsza} (z) \ ponad h (z) -a} \, dz. }$

Ponieważ jest to liczba całkowita, zależy w sposób ciągły od a i N (0) = 1, jest identyczna z 1. Zatem h jest jednowartościowe i podobne do gwiazdy na każdym dysku | z | < r , a więc wszędzie.

Zastosowanie do hipotezy Bieberbacha

Lemat Carathéodory'ego

Constantin Carathéodory udowodnił w 1907 r., że jeśli

${\ Displaystyle g (z) = 1 + b_ {1} z + b_ {2} z ^ {2} + \ cdots.}$

zatem funkcją holomorficzną na dysku jednostkowym D z dodatnią częścią rzeczywistą

${\ Displaystyle | b_ {n} | \ równoważnik 2.}$

W rzeczywistości wystarczy pokazać wynik zastępując g r ₍ z) = g ( rz ) dla dowolnego r < 1, a następnie przejść do granicy r = 1. W takim przypadku g rozciąga się na funkcję ciągłą na zamkniętym dysku z dodatnią częścią rzeczywistą i wzorem Schwarza

${\ Displaystyle g (z) = {1 \ ponad 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {e ^ {i \ teta} + z \ ponad e ^ {i \ teta} -z} \Re g(e^{i\theta})\,d\theta .}$

Korzystanie z tożsamości

${\ Displaystyle {e ^ {i \ teta} + z \ ponad e ^ {i \ teta} -z }=1+2\suma _{n\geq 1}e^{-in\theta }z^{n},}$

wynika, że

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ Re g (e ^ {i \ teta}) \, d \ teta = 1}$ ,

tak definiuje miarę prawdopodobieństwa i

${\ Displaystyle b_ {n} = 2 \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {-int} \ Re g (e ^ {i \ theta}) \, d \ theta.}$

Stąd

${\ Displaystyle | b_ {n} | \ równoważnik 2 \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ Re g (e ^ {i \ theta})\,d\theta =2.}$

Dowód na funkcje podobne do gwiazd

Pozwalać

${\ Displaystyle f (z) = z + a_ {2} z ^ {2} + a_ {3} z ^ {3} + \ cdots }$

być jednowartościową funkcją podobną do gwiazdy w | z | < 1. Udowodnił to Nevanlinna (1921).

${\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik n.}$

W rzeczywistości według kryterium Nevanlinny

${\ Displaystyle g (z) = z {f ^ {\ pierwsza} (z) \ nad f (z)}=1+b_{1}z+b_{2}z^{2}+\cdots }$

ma dodatnią część rzeczywistą dla | z |<1. A więc zgodnie z lematem Carathéodory'ego

${\ Displaystyle | b_ {n} | \ równoważnik 2.}$

Z drugiej strony

${\ Displaystyle zf ^ {\ pierwsza} (z) = g (z) f (z)}$

daje zależność rekurencyjną

${\ Displaystyle (n-1) a_ {n} = \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} b_ {nk} a_ {k}.}$

gdzie a ₁ = 1. Zatem

$\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik {2 \ nad n-1} \ suma _ {k = 1} ^ {n-1} | a_ {k} |,}$

więc z indukcji wynika, że

${\ Displaystyle | a_ {n} | \ równoważnik n.}$

Notatki

•   Carathéodory, C. (1907), "Über den Variabilitatsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" , Math. Ann. , 64 : 95–115, doi : 10.1007/bf01449883 , S2CID 116695038
•   Duren, PL (1983), Funkcje jednowartościowe , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 259, Springer-Verlag, s. 41–42, ISBN 0-387-90795-5
•   Hayman, WK (1994), Funkcje wielowartościowe , Cambridge Tracts in Mathematics, tom. 110 (wyd. 2), Cambridge University Press, ISBN 0-521-46026-3
• Nevanlinna, R. (1921), "Über die konforme Abbildung von Sterngebieten", Ofvers. Fińska Weterynarz. soc. Forh. , 53 : 1–21
• Pommerenke, C. (1975), Funkcje jednowartościowe, z rozdziałem o różniczkach kwadratowych autorstwa Gerda Jensena , Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, tom. 15, Vandenhoeck & Ruprecht