Kwadratowa

W geometrii kwadratura ( od łacińskiego kwadratora „kwadrat”) to krzywa posiadająca współrzędne będące miarą pola ( lub kwadratury) innej krzywej. Dwie najbardziej znane krzywe tej klasy to krzywe Dinostratusa i EW Tschirnhausa , obie powiązane z kołem .

Kwadratrix Dinostratusa

Kwadrat Dinostratusa (zwany także czworokątem Hippiasza ) był dobrze znany starożytnym greckim geometrom i wspomina o nim Proclus , który przypisuje wynalezienie krzywej współczesnemu Sokratesowi , prawdopodobnie Hippiaszowi z Elidy . Dinostratus, grecki geometr i uczeń Platona , omówił krzywą i pokazał, jak wpływa ona na mechaniczne rozwiązanie kwadratury koła . Pappus w swoich zbiorach , traktuje o jego historii i podaje dwie metody jego generowania.

helisę na prawym okrągłym cylindrze ; następnie uzyskuje się powierzchnię śruby, rysując linie z każdego punktu tej spirali prostopadle do jej osi. Rzut ortogonalny odcinka tej powierzchni na płaszczyznę zawierającą jedną z prostopadłych i nachyloną do osi to czworokąt.
Prawy cylinder mający za podstawę spiralę Archimedesa przecina prawy okrągły stożek , którego linia tworząca walca przechodzi przez początkowy punkt spirali jako jego oś. Z każdego punktu krzywej przecięcia rysowane są prostopadłe do osi. Otrzymany w ten sposób dowolny płaski przekrój powierzchni śruby (plektoidalnej Pappusa) jest kwadratową.

Kwadratrix Dinostratusa (na czerwono)

Inna konstrukcja jest następująca. $DAB$ to ćwiartka , w której prosta $DA$ i łuk $DB$ są podzielone na tę samą liczbę równych części. Promienie są rysowane od środka ćwiartki do punktów podziału łuku i przecinają te promienie liniami poprowadzonymi równolegle do $AB$ i przechodzącymi przez odpowiednie punkty na promieniu $DA$ . Miejscem tych przecięć jest kwadratura.

Kwadratrix Dinostratusa z częścią środkową otoczoną nieskończonymi gałęziami

Niech $A$ będzie początkiem kartezjańskiego układu współrzędnych , $D$ będzie punktem $(a, 0 )$ , $a$ jednostkami początku wzdłuż osi $x$ i $B$ punktem $(0, a)$ , $a$ jednostki początku wzdłuż osi oś $y$ , samą krzywą można wyrazić równaniem

{\ Displaystyle y = x \ łóżeczko \ lewo ({\ Frac {\ pi x} {2a}} \ prawo).}

Ponieważ funkcja cotangens jest niezmienna przy zanegowaniu swojego argumentu i ma prosty biegun przy każdej wielokrotności $π$ , kwadratura ma symetrię odbicia na osi $y$ i podobnie ma biegun dla każdej wartości $x$ postaci $x = 2 na$ , dla wartości całkowitych $n$ , z wyjątkiem $x = 0$ , gdzie biegun cotangensu jest zniesiony przez współczynnik $x$ we wzorze na kwadraturę. Bieguny te dzielą krzywą na środkową część otoczoną nieskończonymi gałęziami. Punkt, w którym krzywa przecina $y$ , ma $y = 2 a/π$ ; zatem gdyby można było dokładnie skonstruować krzywą, można by skonstruować odcinek, którego długość jest wymierną wielokrotnością 1 $/ π$ , co doprowadziłoby do rozwiązania klasycznego problemu kwadratury koła . Ponieważ jest to niemożliwe przy użyciu kompasu i linijki , kwadratury z kolei nie można zbudować za pomocą kompasu i linijki. Dokładna konstrukcja kwadratury umożliwiłaby także rozwiązanie dwóch innych klasycznych problemów, o których wiadomo, że są niemożliwe w przypadku kompasu i prostej: podwojenie sześcianu i podzielenie kąta na trzy części .

Kwadratrix z Tschirnhaus

Kwadratrix Tschirnhausa (czerwona), czworokąt Hippiasza (kropkowana)

Kwadratrix Tschirnhausa konstruuje się poprzez podzielenie łuku i promienia ćwiartki na tę samą liczbę równych części, co poprzednio. Wzajemne przecięcia prostych poprowadzonych z punktów podziału łuku równoległego do DA , oraz prostych poprowadzonych równolegle do AB przez punkty podziału DA , są punktami kwadratury. Równanie kartezjańskie to ${\ Displaystyle y = a \ cos \! {\ duży (} {\ tfrac {\ pi x} {2a}} {\ duży)}}$ . Krzywa jest okresowa i przecina x w punktach będących liczbą całkowitą; ${\ displaystyle x = (2n-1) a}$ , ${\ displaystyle n}$ maksymalne $wartości$ . $_$ _ Jego właściwości są podobne do czworokąta Dinostratusa.

Inne kwadratury

Inne krzywe, które w przeszłości były używane do kwadratury koła, obejmują:

Spirala Archimedesa
Kwadratrix Ozanama
Ślimak

Artykuł ten zawiera tekst z publikacji znajdującej się obecnie w domenie publicznej : Chisholm, Hugh, wyd. (1911). „ Kwadratówka ”. Encyklopedia Britannica . Tom. 22 (wyd. 11). Wydawnictwo Uniwersytetu Cambridge. P. 706.

Linki zewnętrzne

Quadratrix of Hippias Zarchiwizowane 2012-02-04 w Wayback Machine w archiwum MacTutor .
Quadratrix Hippiasza w Convergence (czasopismo MAA)