Lemat Bramble-Hilberta

W matematyce , zwłaszcza w analizie numerycznej , lemat Bramble'a -Hilberta , nazwany na cześć Jamesa H. Bramble'a i Stephena Hilberta , ogranicza błąd przybliżenia funkcji $rzędu$ wielomian co najwyżej ${\ Displaystyle \ textstyle m-1}$ w kategoriach pochodnych rzędu u ${\ displaystyle \ textstyle u}$$displaystyle \ textstyle m}$ . Zarówno błąd aproksymacji, jak i pochodne $textstyle$$displaystyle \$ normami $^ {p}}$ w domenie ograniczonej w L . Jest to podobne do klasycznej analizy numerycznej, w której na przykład błąd interpolacji liniowej można ograniczyć za pomocą drugiej pochodnej u $\$$textstyle u}$ . Jednak lemat Bramble'a-Hilberta ma zastosowanie w dowolnej liczbie wymiarów, a nie tylko w jednym wymiarze, a błąd $aproksymacji$ i pochodne są mierzone za pomocą bardziej ogólnych norm obejmujących średnie, nie tylko normę maksymalną .

Aby lemat Bramble-Hilberta był spełniony, potrzebne są dodatkowe założenia dotyczące dziedziny. Zasadniczo granica domeny musi być „rozsądna”. Na przykład wykluczone są domeny, które mają kolec lub szczelinę o zerowym kącie na końcu. Domeny Lipschitza są wystarczająco rozsądne, co obejmuje domeny wypukłe i domeny z ciągle różniczkowalną granicą.

Głównym zastosowaniem lematu Bramble'a-Hilberta jest udowodnienie granic błędu interpolacji funkcji $displaystyle$ operatora, który zachowuje wielomiany rzędu do $\ textstyle m-1}$ , jeśli chodzi o pochodne rzędu . $\ textstyle u}$ { $displaystyle$ . Jest to istotny krok w szacowaniu błędów dla metody elementów skończonych . Lemat Bramble'a-Hilberta jest tam zastosowany do dziedziny składającej się z jednego elementu (lub, w niektórych superzbieżności , niewielkiej liczby elementów).

Sprawa jednowymiarowa

Zanim przedstawimy lemat w pełnej ogólności, warto przyjrzeć się kilku prostym przypadkom szczególnym. W jednym wymiarze i $Displaystyle$ funkcji , która ma $\ textstyle$ w przedziale $\ lewo (a, b \ prawo)} u {\ displaystyle \ textstyle u$ } lemat redukuje się do

${\ Displaystyle \ inf _ {v \ in P_ {m-1}} {\ bigl \ Vert} u ^ {\ lewo (k \ prawej)} -v^{\left(k\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}\leq C\left(m,k\right)\left( ba\right)^{mk}{\bigl \Vert }u^{\left(m\right)}{\bigr \Vert }_{L^{p}\left(a,b\right)}{\ text{ dla każdej liczby całkowitej }}k\leq m{\text{ i rozszerzona liczba rzeczywista }}p\geq 1,}$

gdzie ${\ Displaystyle \ textstyle P_ {m-1}}$ jest przestrzenią wszystkich wielomianów stopnia najwyżej ${\ Displaystyle \ textstyle m-1}$ i ${\ Displaystyle f ^ { (k)}}$ wskazuje na pochodną funkcji $displaystyle$$k}$ .

${\ Displaystyle \ textstyle p = \ infty}$ , $\ textstyle m = 2}$ Displaystyle , ${\ Displaystyle \ textstyle k = 0}$ i ${\ Displaystyle \ textstyle u}$ jest dwukrotnie różniczkowalna, co oznacza, że ​​istnieje wielomian $\$ pierwszego taki, że dla wszystkich $prawo)}$${\ Displaystyle \ textstyle x \ in \ lewo (a, b$ ,

${\ Displaystyle \ lewo \ vert u \ lewo (x \ prawo) - v \ lewo (x \ prawo) \ prawo \ vert \ równoważnik C \ lewo (ba \ prawo) ^ {2} \ sup _ {\ lewo (a ,b\right)}\left\vert u^{\prime \prime }\right\vert .}$

Ta nierówność wynika również z dobrze znanego oszacowania błędu dla interpolacji liniowej $,$$wybierając$ interpolant .

Stwierdzenie lematu

Załóżmy, $\ mathbb {R} ^ {n}}$ jest domeną ograniczoną w $\ Displaystyle \ textstyle$ , ${\ Displaystyle \ textstyle n \ geq 1}$ , z granicą ${\ Displaystyle \ textstyle \ częściowe \ Omega}$ i średnica ${\ Displaystyle \ textstyle d}$ . $} (\ Omega)}$ k jest przestrzenią Sobolewa wszystkich funkcji $u}$$Displaystyle \ textstyle$ na słabe $_$ _ ${\ Displaystyle \ textstyle \ lewo \ vert \ alfa \ prawo \ vert}$ aż do ${\ Displaystyle \ textstyle k}$ w ${\ Displaystyle \ textstyle L ^ {p} (\ Omega)}$ . α ${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa = \ lewo (\ alfa _ {1}, \ alfa _ {2}, \ ldots, \ alfa _ {n$ to multiindeks , ${\ Displaystyle \ textstyle \ lewo \ vert \ alfa \ prawo \ vert =}$${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa _ {1} + \ alfa _ {2} + \ cdots + \ alfa _ {n}}$ i $textstyle D ^ {\ alfa}}$$\$ oznacza pochodną razy względem $\ textstyle x_ {1}}$ , ${\ Displaystyle \ textstyle \ alfa _ {2}}$$razy$ odniesieniu do i tak dalej Seminorma $.$$_$ składa _ ,

${\ Displaystyle \ lewo \ vert u \ prawo \ vert _ {W_ {p}^{m}(\Omega )}=\left(\sum _{\left\vert \alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{ L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}{\text{ if }}1\leq p<\infty }$

I

${\ Displaystyle \ lewo \ vert u \ prawo \ vert _ {W _ {\ infty} ^ {m} (\ Omega)} = \ max _ {\ lewo \ vert \ alpha \right\vert =m}\left\Vert D^{\alpha }u\right\Vert _{L^{\infty}(\Omega )}}$

for all $textstyle P_ {k}}$$\ textstyle \ mathbb {R} ^ {n}}$ jest przestrzenią wszystkich wielomianów rzędu aż do R $displaystyle$ . Zauważ $\textstyle v\in P_{m-1}$ że $^ {\ alfa} v$ \ textstyle $\textstyle \left\vert \alpha \right\vert =m$, so $\textstyle \left\vert u+v\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega )}$ has the same value for any $\textstyle v\in P_{m-1}$.

Lemat (Bramble $\ Omega \ prawej)}$ \ Displaystyle $\$$lewo (m$$} (\ Omega )}$ od ${\ Displaystyle \ textstyle$ u $u}$ tak, że dla każdego ${\ Displaystyle \ textstyle u \ w W_ {p} ^ {$$k =0,\ldkropki ,m,}$ taki $,$ dla wszystkich

${\ Displaystyle \ lewo \ vert uv \ prawo \ vert _ {W_ {p} ^ {k} (\ Omega)} \ równoważnik Cd ^ {mk} \ lewo \ vert u \ prawo \ vert _ {W_ {p} ^ {m}(\Omega)}.}$

Oryginalny wynik

Lemat został udowodniony przez Bramble'a i Hilberta przy założeniu, że $;$ właściwość silnego stożka to znaczy istnieje skończone otwarte pokrycie i odpowiadające im stożki { $\ Displaystyle \ textstyle \ lewo \ {O_ {i} \ prawo \}}$${\ Displaystyle \ textstyle \ {C_ {i} \}}$$}$ z wierzchołkami na początku tak, że $\ Displaystyle \ textstyle x + C_ {i}}$ jest zawarty w ${\ Displaystyle \ textstyle \ Omega}$ dla dowolnego ${\ Displaystyle \ textstyle x}$${\ Displaystyle \ textstyle \ in \ Omega \ cap O_ {i}}$ .

Stwierdzenie lematu tutaj jest prostym przepisaniem nierówności po prawej stronie podanej w Twierdzeniu 1 w. Rzeczywiste stwierdzenie w jest takie, że norma przestrzeni czynnikowej ${m-1}}$${\ Displaystyle \ textstyle W_ {$$półnormie$ \ jest równoważne W ${\ Displaystyle \ textstyle W_ {p} ^ {m} (\ Omega)}$ Norma nie jest zwykłą, ale terminy są skalowane z $tak$ prawy- nierówność ręki w równoważności półnorm wychodzi dokładnie tak, jak w powyższym stwierdzeniu.

W pierwotnym wyniku wybór wielomianu nie jest określony, a wartości stałej i jej zależności od dziedziny $.$ można określić na podstawie dowodu

Konstrukcyjna forma

Alternatywny wynik podali Dupont i Scott przy założeniu, że $gwiazdy$ ma kształt ; to znaczy $left \ {x \ right \} \ cup B}$ kula taka, że ​​dla dowolnego $textstyle B}$ kadłuba \ $\$$\ Displaystyle \ textstyle \$ jest podzbiorem ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega}$ . $,$ że jest średnic takich kulek. Stosunek $_$ _ $_$ _

Wtedy lemat zachodzi ze stałą, ${\ Displaystyle \ textstyle C = C \ lewo (m,$ że stała zależy od domeny $\displaystyle \textstyle \omega}$$prawej$ tylko dzięki swojej masywności $textstyle$ wymiarowi przestrzeni $n}$ . Ponadto, $\ Displaystyle v =$ wybrać jako $=$$u}$ , gdzie uśrednioną Wielomian Taylora , zdefiniowany jako

${\ Displaystyle Q ^ {m} u = \ int _ {B} T_ {y} ^ {m} u \ lewo (x \ prawo)\psi \lewo(y\prawo)\,dx,}$

Gdzie

${\ Displaystyle T_ {y} ^ {m} u \ lewo (x \ prawo) = \ suma \ granice _ {k = 0} ^ {m-1} \ suma \limits _{\left\vert \alpha \right\vert =k}{\frac {1}{\alpha !}}D^{\alpha }u\left(y\right)\left(xy\right) ^{\alfa}}$

jest wielomianem Taylora stopnia co najwyżej $\ Displaystyle$ punkcie y $ocenianego$$\ textstyle y}$ na ${\ Displaystyle \ textstyle x} , m - 1 {\ Displaystyle \ textstyle m$ } i jest funkcją, która ma pochodne wszystkich rzędów, jest równa zeru poza ${\ displaystyle \ textstyle B}$ i taka, że $\ psi \ geq 0}$

${\ Displaystyle \ int _ {B} \ psi \, dx = 1.}$

$istnieje$ funkcja zawsze .

Aby uzyskać więcej informacji i samouczek, zobacz monografię Brennera i Scotta. Wynik można rozszerzyć na przypadek, gdy domena jest sumą skończonej liczby domen w kształcie gwiazdy, co jest nieco bardziej ogólne niż właściwość silnego stożka, i innych przestrzeni wielomianowych niż ${\ displaystyle \ textstyle \ Omega}$ przestrzeń wszystkich wielomianów do danego stopnia.

Związany z funkcjonałami liniowymi

Wynik ten wynika bezpośrednio z powyższego lematu i jest czasami nazywany lematem Bramble'a-Hilberta, na przykład przez Ciarleta . Zasadniczo jest to Twierdzenie 2 z.

Lemat Załóżmy, że $Ω$ ciągłym funkcjonałem liniowym na $W_ {p} ^ {m} (\ Omega)}$ textstyle ${\ Displaystyle \ textstyle \ lewo \ Vert \ ell \ prawo \ Vert _ {W_ {p} ^ {m} (\ Omega) ^ {^ {\ pierwsza}}}} jego$ podwójna norma . Załóżmy, $1}}$ dla wszystkich $1 {\$ . Wtedy istnieje stała taka, że ${\ Displaystyle \ textstyle C = C \ lewo (\ Omega \ po prawej)}$

${\ Displaystyle \ lewo \ vert \ ell \ lewo (u \ prawo) \ prawo \ vert \ równoważnik C \ lewo \ Vert \ ell \ prawo \ Vert _ {W_ {p} ^ {m} (\ Omega) ^ {^ {\prime}}}\left\vert u\right\vert _{W_{p}^{m}(\Omega)}.}$

Linki zewnętrzne

• Raytcho D. Lazarov (2001) [1994], "Lemat Bramble-Hilberta" , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• https://arxiv.org/abs/0710.5148 - Jan Mandel : Lemat Bramble-Hilberta