Lemat Varadhana
W matematyce lemat Varadhana jest wynikiem teorii dużych odchyleń, nazwanej na cześć SR Srinivasa Varadhana . Wynik daje informację o asymptotycznym rozkładzie statystyki φ ( Z ε ) rodziny zmiennych losowych Z ε , gdy ε staje się małe w kategoriach funkcji szybkości dla zmiennych.
Stwierdzenie lematu
Niech X będzie regularną przestrzenią topologiczną ; niech ( Z ε ) ε > 0 będzie rodziną zmiennych losowych przyjmujących wartości w X ; niech μ ε będzie prawem ( miarą prawdopodobieństwa ) Z ε . Załóżmy, że ( μ ε ) ε >0 spełnia zasadę dużego odchylenia z funkcją dobrej szybkości I : X → [0, +∞]. Niech ϕ : X → R będzie dowolną funkcją ciągłą . Załóżmy, że spełniony jest co najmniej jeden z następujących dwóch warunków: albo warunek ogona
![{\displaystyle \lim _{M\to \infty }\limsup _{\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}\,\mathbf {1} {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })\geq M{\big )}{\big ]}{\big )}=-\infty ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2a1fa773e25e0d31746179ca5ff3690fb05527f4)
gdzie 1 ( E ) oznacza funkcję wskaźnika zdarzenia E ; lub, dla pewnego γ > 1, warunek momentu
![{\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0}{\big (}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\gamma \phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}{\big ]}{\big )}<\infty .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/675a2751ed70c2451a640a74eac63b103cf83d50)
Następnie
![{\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}\varepsilon \log \mathbf {E} {\big [}\exp {\big (}\phi (Z_{\varepsilon })/\varepsilon {\big )}{\big ]}=\sup _{x\in X}{\big (}\phi (x)-I(x){\big )}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba100808619b3d7847eb4c143dacb949c6ac093)
Zobacz też
- Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniki i zastosowania dużych odchyleń . Zastosowania matematyki (Nowy Jork) 38 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. XVI + 396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036 . (Patrz twierdzenie 4.3.1)