Zasada Laplace'a (teoria dużych odchyleń)

W matematyce zasada Laplace'a jest podstawowym twierdzeniem w teorii dużych odchyleń , podobnym do lematu Varadhana . Daje asymptotyczne wyrażenie całki Lebesgue'a exp (− θφ ( x )) na ustalonym zbiorze A , gdy θ staje się duże. Wyrażenia takie można wykorzystać na przykład w mechanice statystycznej do określenia granicznego zachowania się układu, gdy temperatura ma tendencję do absolutne zero .

Oświadczenie o wyniku

Niech A będzie mierzalnym podzbiorem Lebesgue'a d - wymiarowej przestrzeni euklidesowej R ^d i niech φ : R ^d → R będzie mierzalną funkcją z

${\ Displaystyle \ int _ {A} e ^ {- \ varphi (x)} \, dx <\ infty.}$

Następnie

$\ Displaystyle \ lim _ {\ teta \ do \ infty} {\frac {1}{\theta}}\log \int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx=-\mathop {\mathrm {ess\,inf}} _{ x\w A}\varphi (x),}$

gdzie ess inf oznacza istotne infimum . Heurystycznie można to odczytać jako stwierdzenie, że dla dużych θ ,

${\ Displaystyle \ int _ {A} e ^ {- \ theta \ varphi (x)} \, dx \ około \ exp \ lewo (- \ theta \ mathop {\ operatorname {ess \, inf}} _ {x \ w A}\varphi (x)\right).}$

Aplikacja

Zasadę Laplace'a można zastosować do rodziny miar prawdopodobieństwa P _θ danych przez

${\ Displaystyle \ mathbf {P} _ {\ teta} (A) =\left(\int _{A}e^{-\theta \varphi (x)}\,dx\right){\bigg /}\left(\int _{\mathbf {R} ^{d}} e^{-\theta \varphi (y)}\,dy\right)}$

dać asymptotyczne wyrażenie na prawdopodobieństwo jakiegoś zdarzenia A , gdy θ staje się duże. Na przykład, jeśli X jest standardową zmienną losową o rozkładzie normalnym na R , to

${\ Displaystyle \ lim _ {\ varepsilon \ downarrow 0} \ varepsilon \ log \ mathbf {P} {\big [}{\sqrt {\varepsilon}}X\in A{\big ]}=-\mathop {\mathrm {ess\,inf}} _{x\in A}{\frac {x^{ 2}}{2}}}$

dla każdego zbioru mierzalnego A .

Zobacz też

• metoda Laplace'a

•   Dembo, Amir; Zeitouni, Ofer (1998). Techniki i zastosowania dużych odchyleń . Zastosowania matematyki (Nowy Jork) 38 (wyd. Drugie). Nowy Jork: Springer-Verlag. s. XVI + 396. ISBN 0-387-98406-2 . MR 1619036