hiponoga

Hippopede (czerwony) podany jako krzywa pedału elipsy ( czarny). Równanie tego hiponoga jest następujące: ${\ Displaystyle 4x ^ {2} + y ^ {2} = (x ^ {2} + y ^ {2}) ^{2}}$

W geometrii hiponoga (od starogreckiego ἱπποπέδη (hippopédē) „ pęta konia ”) jest płaską krzywą określoną przez równanie postaci

$\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} = cx ^ {2} + dy ^ {2}, }$

gdzie zakłada się, że c > 0 i c > d , ponieważ pozostałe przypadki albo sprowadzają się do jednego punktu, albo dają się sprowadzić do danej postaci z obrotem. Hippopedes to dwukoliste , wymierne , algebraiczne krzywe stopnia 4 i symetryczne względem obu osi x i y .

Przypadki specjalne

Kiedy d > 0 krzywa ma owalny kształt i jest często nazywana owalem Bootha , a gdy d < 0 krzywa przypomina boczną ósemkę lub lemniskatę i jest często nazywana lemniskatą Bootha , po XIX wieku matematyk James Booth , który je badał. Hippopedes były również badane przez Proklosa (dla którego są czasami nazywane Hippopedes of Proclus ) i Eudoksos . dla d = - do , hippopede odpowiada lemniskacie Bernoulliego .

Definicja jako sekcje spirytusowe

Hippopedes z a = 1, b = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 i 2,0.

Hippopedes z b = 1, a = 0,1, 0,2, 0,5, 1,0, 1,5 i 2,0.

Hippopedes można zdefiniować jako krzywą utworzoną przez przecięcie torusa i płaszczyzny, gdzie płaszczyzna jest równoległa do osi torusa i styczna do niej na wewnętrznym okręgu. Jest to więc przekrój spirytusowy , który z kolei jest rodzajem przekroju torycznego .

Jeśli okrąg o promieniu a jest obracany wokół osi w odległości b od jego środka, to równanie wynikowego hiponoga we współrzędnych biegunowych

${\ Displaystyle r ^ {2} = 4b (ab \ sin ^ {2} \! \ teta)}$

lub we współrzędnych kartezjańskich

${\ Displaystyle (x ^ {2} + y ^ {2}) ^ {2} + 4b(ba)(x^{2}+y^{2})=4b^{2}x^{2}}$ .

Zauważ, że gdy a > b torus przecina się sam ze sobą, więc nie przypomina zwykłego obrazu torusa.

Zobacz też

• Lista krzywych

• Lawrence'a JD. (1972) Katalog specjalnych krzywych płaszczyzny , Dover Publications. str. 145–146.
• Booth J. Traktat o niektórych nowych metodach geometrycznych , Longmans, Green, Reader i Dyer, Londyn, tom. I (1873) i tom. II (1877).
• Weisstein, Eric W. „Hippopede” . MathWorld .
• „Hippopede” na 2dcurves.com
• „Courbes de Booth” w Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables

Linki zewnętrzne

• „The Hippopede of Proclus” w The National Curve Bank