Kołowa krzywa algebraiczna

₀ W geometrii kołowa krzywa algebraiczna jest rodzajem płaskiej krzywej algebraicznej określonej równaniem F ( x , y ) = 0, gdzie F jest wielomianem o rzeczywistych współczynnikach, a wyrazy najwyższego rzędu F tworzą wielomian podzielny przez x ² + y ² . Dokładniej, jeśli F = F _n + F _{n −1} + ... + F ₁ + F , gdzie każde Fi jest jednorodne stopnia i , to krzywa F ( x , y ) = 0 jest kołowa wtedy i tylko wtedy, _gdy F _n jest podzielne przez x ² + y ² .

Równoważnie, jeśli krzywa jest wyznaczona we współrzędnych jednorodnych przez G ( x , y , z ) = 0, gdzie G jest wielomianem jednorodnym, to krzywa jest kołowa wtedy i tylko wtedy, gdy G (1, i , 0) = G (1 , − i , 0) = 0. Innymi słowy, krzywa jest kołowa, jeśli zawiera kołowe punkty w nieskończoności , (1, i , 0) i (1, − i , 0), gdy jest traktowana jako krzywa w złożona płaszczyzna rzutowa .

Wielokołowe krzywe algebraiczne

Krzywa algebraiczna nazywana jest p -okrągłą , jeśli zawiera punkty (1, i , 0) i (1, - i , 0), gdy jest krzywą na zespolonej płaszczyźnie rzutowej, a punkty te są osobliwościami rzędu co najmniej p . Terminy dwukołowy , trójkołowy itp. mają zastosowanie, gdy p = 2, 3 itd. Pod względem wielomianu F podanego powyżej krzywa F ( x , y ) = 0 jest p -kolista, jeśli F _{n - i} jest podzielna przez ( x ² + y ² ) ^{p - ja} kiedy ja < p . Gdy p = 1 sprowadza się to do definicji krzywej kołowej. Zbiór p -krzywych kołowych jest niezmienny przy przekształceniach euklidesowych . Zauważ, że p -krzywa kołowa musi mieć stopień co najmniej 2 p .

Zbiór p -krzywych kołowych stopnia p + k , gdzie p może się zmieniać, ale k jest stałą dodatnią liczbą całkowitą, jest niezmienny w warunkach inwersji . Gdy k wynosi 1, oznacza to, że zbiór linii (0-krzywe kołowe stopnia 1) wraz ze zbiorem okręgów (1-krzywe kołowe stopnia 2) tworzą zbiór, który jest niezmienny w warunkach inwersji.

Przykłady

• Okrąg jest jedynym okrągłym stożkiem.
• Conchoids of de Sluze (które zawierają kilka dobrze znanych krzywych sześciennych) to okrągłe kubiki.
• Owale Cassiniego (w tym lemniskata Bernoulliego ), przekroje toryczne i limaçony (w tym kardioidalna ) to dwukołowe kwarcyty.
• Krzywa Watta jest trójkątnym sekstykiem.

przypisy

• (w języku francuskim) „Courbe Algébrique Circulaire” w Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• (w języku francuskim) „Courbe Algébrique Multicirculaire” w Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables
• Definicja na 2dcurves.com