Numer Dottiego

Liczba Dottiego jest unikalnym rzeczywistym punktem stałym funkcji cosinus .

W matematyce liczba Dottiego jest stałą , która jest unikalnym rzeczywistym pierwiastkiem równania

${\ Displaystyle \ cos x = x}$ ,

$gdzie$ argument jest w radianach . Dziesiętne rozwinięcie liczby Dottiego wynosi ${\ Displaystyle 0,739085...}$ .

Ponieważ $x) -x}$${\ Displaystyle \ cos (x) -x = 0}$ maleje , a jej pochodna jest różna od zera w x , przecina zero tylko w jednym punkcie. $.$ to, rzeczywiste Jest to pojedynczy stały punkt funkcji cosinus o wartości rzeczywistej i nietrywialny przykład uniwersalnego przyciągającego punktu stałego. Jest to również liczba przestępna z powodu twierdzenia Lindemanna-Weierstrassa . Uogólniony przypadek $ma$ zmiennej zespolonej nieskończenie wiele pierwiastków, ale w przeciwieństwie do liczby Dottiego $stałych$

Używając szeregu Taylora odwrotności ${\ Displaystyle f (x) = \ cos (x) -x}$ w ${\ textstyle {\ Frac {\ pi}} 2}}}$ (lub równoważnie, twierdzenie o odwróceniu Lagrange'a ${\ textstyle {\ frac {\ pi}}}} + \ suma _ {n \, \ operatorname {nieparzysty}} a_ {n} \ pi ^ {n}}$ , liczbę Dottiego można wyrazić jako nieskończoną serię $gdzie$ każdy liczbą wymierną dla nieparzystego n jako

${\ displaystyle {\begin{wyrównane}a_{n}&={\frac {1}{n!2^{n}}}\lim _{m\to {\frac {\pi}}{2}}}{\ frac {\częściowy ^{n-1}}{\częściowy m^{n-1}}}{\lewy({\frac {\cos m}{m-\pi /2}}-1\prawy)^ {-n}}\\&=-{\frac {1}{4}},-{\frac {1}{768}},-{\frac {1}{61440}},-{\frac { 43}{165150720}},\ldkropki \end{wyrównane}}}$

Nazwa stałej pochodzi od profesora języka francuskiego o imieniu Dottie, która obserwowała liczbę, naciskając wielokrotnie przycisk cosinus na swoim kalkulatorze.

Jeśli kalkulator jest ustawiony na przyjmowanie kątów w stopniach , zamiast $\ cos \ lewo({\frac {\pi}}x\prawo)=x}$ sekwencja liczb zbiegnie się do pierwiastka sałaty $=$ .

Zamknięta forma

Liczbę Dottiego można wyrazić jako

${\ Displaystyle {\ sqrt {1- \ lewo (2 {\ tekst {I}} _ {\ Frac {1} {2 }}^{-1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {3}{2}}\right)-1\right)^{2}}},}$

gdzie $uregulowaną$ funkcją . _ W szczególności w arkuszach kalkulacyjnych Microsoft Excel i LibreOffice Calc jako SQRT(1-(2*BETA.INV(1/2,1/2,3/2)-1)^2) , w systemie algebry komputerowej Mathematica jako Sqrt[1 - (2 Odwrotna BetaRegulowana[1/2, 1/2, 3/2] - 1)^2] .

Linki zewnętrzne

• Miller, TH (luty 1890). „O wartościach liczbowych pierwiastków równania cosx = x” . Proceedings of Edinburgh Mathematical Society . 9 : 80–83. doi : 10.1017/S0013091500030868 .
• Sałow, Walerij (2012). „Nieunikniona liczba kropek. Iterały cosinusa i sinusa”. arXiv : 1212.1027 .
• Azarian, Mohammad K. (2008). „O PUNKTACH STAŁYCH FUNKCJI I PUNKTACH STAŁYCH JEJ FUNKCJI ZŁOŻONYCH” (PDF) . International Journal of Pure and Applied Mathematics .