Linearyzacja Carlemana

W matematyce linearyzacja Carlemana (lub osadzanie Carlemana ) to technika przekształcania skończonego wymiarowego nieliniowego układu dynamicznego w nieskończenie wymiarowy układ liniowy. Został wprowadzony przez szwedzkiego matematyka Torstena Carlemana w 1923 roku. Linearyzacja Carlemana jest związana z operatorem składu i była szeroko stosowana w badaniu układów dynamicznych. Był również używany w wielu dziedzinach, takich jak teoria sterowania i obliczenia kwantowe .

Procedura

Rozważmy następujący autonomiczny system nieliniowy:

\ Displaystyle {\ kropka {x}} = f (x) + \ suma _ {j = 1} ^ {m }g_{j}(x)d_{j}(t)}

gdzie ${\ Displaystyle x \ w R ^ {n}}$ oznacza wektor stanu systemu. Również ${\ displaystyle f}$ $s$ ' są znanymi analitycznymi funkcjami wektorowymi, a $} }}$ $g_$ i element nieznanego zakłócenia w systemie.

W pożądanym punkcie nominalnym funkcje nieliniowe w powyższym układzie można przybliżyć przez rozwinięcie Taylora

{\ Displaystyle f (x) \ simeq f (x_ {0}) + \ suma _ {k = 1} ^ {\ eta} {\ frac {1}{k!}}\częściowe f_{[k]}\mid _{x=x_{0}}(x-x_{0})^{[k]}}

gdzie ${\ Displaystyle \ częściowe f_ {[k]} \ mid _ {x = x_ {0}}}$ jest pochodną częściową ${\ Displaystyle k ^ {th}}$ ${\ Displaystyle f (x)}$ w odniesieniu do ${\ Displaystyle x}$ w ${\ Displaystyle x = x_ {0}}$ i ${\ Displaystyle x ^ {[k]} }$ oznacza $_$ _

Bez utraty ogólności zakładamy, że początek jest ${\ displaystyle x_ {0}}$

Stosując przybliżenie Taylora do układu, otrzymujemy

{\ Displaystyle {\ kropka {x}} \ simeq \ suma _ {k = 0}^{\eta }A_{k}x^{[k]}+\suma _{j=1}^{m}\suma _{k=0}^{\eta }B_{jk}x^ {[k]}d_{j}}

gdzie ${\ Displaystyle A_ {k} = {\ Frac {1} {k!}} \ częściowe f_ {[k]} \ mid _ {x = 0}}$ i ${\ Displaystyle B_ {jk} = {\ Frac {1} {k!}} \ częściowe g_ {j [k]} \ mid _ {x = 0}}$ .

W konsekwencji otrzymuje się następujący układ liniowy dla wyższych rzędów stanów pierwotnych:

{\ Displaystyle {\ Frac {d (x ^ {[i]}}} {dt}} \ simeq \ suma _ {k = 0} ^ {\ eta -i + 1 }A_{i,k}x^{[k+i-1]}+\suma _{j=1}^{m}\suma _{k=0}^{\eta -i+1}B_{ j,i,k}x^{[k+i-1]}d_{j}}

gdzie ${\ Displaystyle A_ {i, k} = \ suma _ {l = 0} ^ { i-1}I_{n}^{[l]}\otimes A_{k}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}} , i$ podobnie ${\ Displaystyle B_ {j, ja, \ kappa} = \ suma _ {l = 0} ^ {i-1} I_{n}^{[l]}\otimes B_{j,\kappa}\otimes I_{n}^{[i-1-l]}}$ .

Wykorzystując operatora produktu Kroneckera, przybliżony system przedstawia się w następującej postaci

\ Displaystyle {\ kropka {x}} _ {\ otimes} \ simeq Ax_ {\ otimes }+\suma _{j=1}^{m}[B_{j}x_{\oraz }d_{j}+B_{j0}d_{j}]+A_{r}}

gdzie ${\ Displaystyle x _ {\ otimes} = {\ rozpocząć {bmatrix} x ^ {T} i x ^ {{[2]} ^ {T}} i... i x ^ {{[\ eta ]} ^ {T}} \ koniec {bmatrix}} ^ {T}}$ i ${\ Displaystyle A, B_ {j}, A_ {r}}$ i $B_{j,0}} są zdefiniowane w (Hashemian i Armaou 2015).$ ${\ Displaystyle$ Macierze