Losowy politop

W matematyce losowy polytope jest strukturą powszechnie używaną w $.$ wypukłej analizie programów liniowych w d - wymiarowej przestrzeni euklidesowej W zależności od zastosowania konstrukcji i definicji losowe polytopy mogą się różnić.

Losowy polytope zbioru losowych punktów zgodnie z definicją 1

Definicja

Istnieje wiele nierównoważnych definicji losowego polytopu. Dla następujących definicji. Niech K będzie ograniczonym zbiorem wypukłym w przestrzeni euklidesowej :

• Wypukły kadłub losowych punktów wybranych ze względu na równomierny rozkład wewnątrz K.
• Niepuste przecięcie półspacji w ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^ {d}}$ .
  • Zastosowano następującą parametryzację: ${\ Displaystyle r: (\ mathbb {R} ^ {d} \ razy \ {0,1 \}) ^ {m}\rightarrow {\text{Polytopes}}\in \mathbb {R} ^{d}}$ takie, że $\ Displaystyle R ((p_ {1}, 0), (p_ {2}, 1), (p_ {3}, 1) ... (p_ {m}, i_ {m}) )=\{x\in \mathbb {R} ^{n}:|{\frac {p_{j}}{||p_{j}||}}\cdot x\leq ||p_{j}| |{\text{ if }}i_{j}=1,{\frac {p_{j}}{||p_{j}||}}\cdot x\geq ||p_{j}||{\ text{ if }}i_{j}=0\}}$ (Uwaga: te polytopy mogą być puste).

Definicja właściwości 1

Niech ${R} ^ {d}}$ zbiorem ciał wypukłych w $re {\ displaystyle \$ . Załóżmy $rozważmy$ zbiór równomiernie punktów ${\ Displaystyle x_ {1}, ..., x_ {n}}$ K. $\ Displaystyle K}$ . Wypukły kadłub tych punktów, ${\ displaystyle K_ {n}}$ , nazywany jest losowym polytopem wpisanym w ${\ displaystyle K}$ . ${1}, ..., x_ {n}]}$ gdzie zbiór ${\ Displaystyle [S]}$ oznacza wypukły kadłub zestawu. mi $n)}$ być oczekiwaną objętością ${\ Displaystyle KK_ {n}}$ . Dla wystarczająco dużego i danego $K.$$\ in \ mathbb {R} ^ {n}}$ .

• tom ${\ Displaystyle K ({\ Frac {1} {n}}) \ ll E (K, n) \ ll }$ tom ${\ Displaystyle K ({\ Frac {1}{n}})}$
  • Uwaga: Można określić objętość mokrej części, aby uzyskać rząd wielkości mi $\ Displaystyle E (K, n)}$ , zamiast określać ${\ Displaystyle E (K, n)}$ .
• Dla kuli jednostkowej ${\ Displaystyle B ^ {d} \ in \ mathbb {R} ^ {d}}$ , część mokra ${\ Displaystyle B ^ {d} (v \ leq t)}$ to pierścień ${\ Displaystyle {\ Frac {B ^ {d}} {(1-h) B ^ {d}}}}$ gdzie h jest rzędu ${\ Displaystyle t ^ {\ Frac {2} {d + 1}}}$ : ${\ Displaystyle E (B ^ {d}, n) \ w przybliżeniu}$ tom ${\ Displaystyle B ^ {d} ({\ Frac {1}{n}})\około n^{\frac {-2}{d+1}}}$

${\ Displaystyle V = V (x_ {1}, ..., x_ {d})}$ że mamy to objętość mniejszej czapki odciętej od ${\ Displaystyle K}$ przez aff ${\ Displaystyle (x_ {1}, ..., x_ {d})$ i jest aspektem wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x_ {d + 1}, ..., x_ {n}}$$x_ {d}]}$ są po jednej stronie aff ${\ Displaystyle \ {x_ {1}, ..., x_ {d} \}$ .

• ${\ Displaystyle E _ {\ phi} (K_ {n}) = {{n} \ wybierz {d}} \ int _ {K} ... \ int _ {K} [(1-V) ^ {nd} +V^{nd}]\phi (F)dx_{1}...dx_{d}}$ .
  • $)$ Jeśli funkcja, która zwraca liczbę ścian wymiarowych d-1), to $phi ( F)=1}$ i wzór można obliczyć dla gładkich zbiorów wypukłych i dla wielokątów na płaszczyźnie.

Definicja właściwości 2

Załóżmy, że mamy wielowymiarowy rozkład prawdopodobieństwa na ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {d} \ razy \{0,1\})^{m}=(p_{1}\razy i_{1},\kropki,p_{m}\razy i_{m})^{m}}$ czyli

1. Absolutnie ciągły w odniesieniu do miary Lebesgue'a ${\ Displaystyle (p_ {1}, \ kropki, p_ {d})}$
2. $Generuje$ 0 lub 1 dla $s$ prawdopodobieństwem
3. Przypisuje miarę 0 do zbioru elementów w tym ${\ Displaystyle (\ mathbb {R} ^ {d} \ razy \ {0,1 \}) ^ {m}$ } odpowiadają pustym polytopom.

Biorąc pod uwagę ten rozkład i nasze założenia, zachodzą następujące właściwości:

• Wyprowadza się wzór na oczekiwaną liczbę wymiarowych ścian na polytope w $} ^ {d}}$$displaystyle \ mathbb {$ R ograniczeniami: ${\ displaystyle k}$${\ Displaystyle E_ {k} (m) = 2 ^ {dk} \ suma _ {i = dk} ^ {d} {{i} \ wybierz {dk}} {{m} \ wybierz {i}}/\sum _{i=0}^{d}{{m} \choose {i}}}$ . (Uwaga: ${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} E_ {k} (m) = {{d} \ wybierz {dk}} 2 ^ {dk}}$ gdzie ${\ Displaystyle m> d}$ ). Górna granica lub przypadek liczby wierzchołków z $)$ jest znacznie większa: ${\ Displaystyle V_ {max} = {m - [{\ Frac {1} {2}} (d + 1)] \ wybierz md} + {m - [{\ Frac {1} {2}} (d + 2)] \wybierz md}}$ .
• Prawdopodobieństwo, że nowe ograniczenie jest zbędne, wynosi: ${\ Displaystyle \ pi _ {m} = 1- {\ frac {2\sum _{i=0}^{d-1}{{m-1} \wybierz i}}{\sum _{i=0}^{d}{m \wybierz i}}}}$ . (Uwaga: ${\ displaystyle \ lim _ {m \ to \ infty }{\ pi _ {m}} = 1}$ i gdy dodamy więcej ograniczeń, prawdopodobieństwo, że nowe ograniczenie jest zbędne, zbliża się do 100%).
• Oczekiwana liczba nieredundantnych ograniczeń to: ${\ Displaystyle C_ {d} (m) = { \frac {2m\sum _{i=0}^{d-1}{{m-1} \choose i}}{\sum _{i=0}^{d}{{m} \choose i} }}}$ . (Uwaga: ${\ Displaystyle \ lim _ {m \ do \ infty} C_ {d} (m) = 2d}$ ).

Przykładowe zastosowania

• Minimalne czapki
• Regiony Makbeata
• Przybliżenia (przybliżenia ciał wypukłych patrz właściwości definicji 1)
• Ekonomiczny pułap pokrywający twierdzenie (patrz zależność od właściwości definicji 1 do ciał pływających)