Macierz produktywna

W algebrze liniowej mówi się , że kwadratowa nieujemna macierz rzędu ${\ displaystyle$$n}$ jest produktywna lub jest macierzą Leontiefa , jeśli istnieje za $\ displaystyle n \ razy 1$ } nieujemna macierz $,$ taka $dodatnią$ _ _ _

Historia

Koncepcja macierzy produkcyjnej została opracowana przez ekonomistę Wassily'ego Leontiefa ( nagrodę Nobla w dziedzinie ekonomii w 1973 r.) w celu modelowania i analizowania relacji między różnymi sektorami gospodarki. Powiązania współzależności między tymi ostatnimi można badać za pomocą modelu input-output z danymi empirycznymi.

Wyraźna definicja

Macierz jest produktywna wtedy i tylko wtedy, gdy $0}$${R})}$$mathbb$ i ${\ Displaystyle \ istnieje P \ in \ operatorname {M} _ {n, 1} (\ mathbb {R}), P> 0}$ takie jak ${\ Displaystyle P-AP> 0}$ .

Tutaj ${\ Displaystyle \ operatorname {M} _ {r, c} (\ mathbb {R})}$ oznacza × c , zbiór macierzy liczb rzeczywistych r podczas gdy ${\ Displaystyle > 0}$ i $wskazuje$ macierz dodatnią i nieujemną .

Nieruchomości

Następujące właściwości są udowodnione np. w podręczniku (Michel 1984).

Charakteryzacja

Twierdzenie Nieujemna $_$ wtedy $displaystyle I_ {n} -A}$$\$ jest odwracalny z $nieujemną$ odwrotnością, gdzie oznacza macierz identyczności $\ razy n$ .

Dowód

"Jeśli" :

Niech ${\ Displaystyle I_ {n} -A}$ będzie odwracalny z nieujemną odwrotnością,

niech ${\ Displaystyle U \ in \ operatorname {M} _ {n, 1} ( \mathbb {R} )}$ będzie dowolną macierzą kolumnową z ${\ Displaystyle U> 0}$ .

Wtedy macierz ${\ Displaystyle P = (I_ {n} -A) ^ {- 1} U}$ jest nieujemna, ponieważ jest iloczynem dwóch nieujemnych macierzy.

Ponadto ${\ Displaystyle P-AP = (I_ {n} -A) P = (I_{n}-A)(I_{n}-A)^{-1}U=U>0}$ .

Dlatego $produktywny$ .

"Tylko, jeżeli" :

Niech ${\ Displaystyle V = P-AP> 0}$ produktywny, niech $\$$displaystyle P> 0}$ taki, że .

Dowód przebiega przez reductio ad absurdum .

Najpierw załóżmy, że sprzeczność jest liczbą pojedynczą. ${\ displaystyle I_ {n} -A$ }

Endomorfizm kanonicznie związany z $osobliwość$ Nie można wstrzykiwać przez .

${\ Displaystyle (I_ {n} -A) Z = 0}$$)$ niezerowa że .

Macierz ${\ displaystyle -Z}$ ma takie same właściwości jak , dlatego możemy wybrać $jądra$ z co najmniej jednym pozytywnym wpisem $.$

Stąd ${\ Displaystyle c = \ sup _ {i \ in [|1, n |]} {\ Frac {z_ {i}} {p_ {i}}}} jest nieujemne i osiągane co najmniej$ jednym wartość ${\ displaystyle k \ w [| 1, n |]}$ .

Z definicji i ${\$$Displaystyle Z}$ możemy wywnioskować, że

${\ Displaystyle cv_ {k} = c (p_ {k} - \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ki} p_ {i}) = cp_ {k} - \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ki} cp_ {i}}$

${i}}$${\ Displaystyle cp_ {k} = z_ {k} = \ suma _ {i = 1 }$$.$ , używając tego przez konstrukcję

Zatem ${\ Displaystyle cv_ {k} = \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ki} (z_ {i} -cp_ {i}) \ równoważnik \ 0}$$}$ ja $}$ z definicji .

Jest to sprzeczne z i $k}> 0}$${\ Displaystyle v_$ stąd ${\ Displaystyle I_ {n} -A}$ jest koniecznie odwracalny.

$sprzeczność$ , załóżmy, że , ale z co najmniej jednym ujemnym wpisem w jej odwrotności.

Stąd ${\ Displaystyle \ istnieje X \ in \ operatorname {M} _ {n, 1} (\ mathbb {R}), X \ geqslant 0} tak, że$ istnieje co najmniej jeden ujemny wpis w ${\ Displaystyle Y = (I_ {n} -A) ^ {- 1} X}$ .

Wtedy ${\ Displaystyle c = \ sup _ {i \ in [| 1, n |]} - {\ Frac {y_ {i}} {p_ {i}}}} jest dodatnie i osiągane$ przy co najmniej jedna wartość ${\ Displaystyle k \ w [| 1, n |]}$ .

Z definicji i ${\ Displaystyle$

${\ Displaystyle cv_ {k} = c (p_ {k} - \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ki} p_ {i}) = -y_ {k} - \ suma _ {i = 1 } ^ {n} a_ {ki} cp_ {i}}$

${\ Displaystyle x_ {k} = y_ {k} - \ suma _ {i = 1 } ^ {n} a_ {ki} y_ {i}}$ , używając tego ${\ Displaystyle X = (I_ {n} -A) Y}$ przez konstrukcję

${\ Displaystyle cv_ {k} + x_ {k} = - \ suma _ {i = 1} ^ {n} a_ {ki} (cp_ { ja} + y_ {i}} \ geqslant 0}$ używając tego $\ Displaystyle -y_ {i} \ leqslant cp_ {i}}$ z definicji do ${\ displaystyle c$ .

$}$ możemy wywnioskować, że:

Zatem ${\ Displaystyle x_ {k} \ leq -cv_ {k}<0}$ , sprzeczne ${\ Displaystyle X \ geqslant 0}$ .

Dlatego ${\ Displaystyle (I_ {n} -A) ^ {- 1}}$ jest koniecznie nieujemne.

Transpozycja

Twierdzenie Transpozycja macierzy produktywnej jest produktywna .

Dowód

Niech produktywna macierz ${\ Displaystyle A \ in \ operatorname {M} _ {n, n} (\ mathbb {R})} .$

Wtedy ${\ Displaystyle (I_ {n} -A) ^ {- 1}}$ istnieje i jest nieujemne.

Jednak ${\ Displaystyle (I_ {n} -A ^ {T}) ^ {- 1} = ((I_ {n} -A) ^ {T}) ^ {-1} = ((I_ {n} -A) ^ {-1}) ^ {T}}$

Stąd $\ Displaystyle (I_ {n} -A ^ {T})}$ jest odwracalny z nieujemną odwrotnością.

Dlatego produktywna jest ZA ${\ displaystyle A ^ {T}$ .

Aplikacja

Główny artykuł: Analiza przepływów międzygałęziowych

W podejściu macierzowym modelu wejścia-wyjścia macierz konsumpcji jest produktywna, jeśli jest ekonomicznie opłacalna i jeśli ta ostatnia oraz wektor popytu są nieujemne.