Materiał Maxwella

Materiał Maxwella jest najprostszym modelowym materiałem lepkosprężystym , wykazującym właściwości typowej cieczy. Pokazuje płynięcie lepkie w długiej skali czasu, ale dodatkową sprężystą odporność na szybkie odkształcenia. Został nazwany na cześć Jamesa Clerka Maxwella , który zaproponował ten model w 1867 roku. Znany jest również jako płyn Maxwella.

Definicja

Model Maxwella jest reprezentowany przez czysto lepki amortyzator i czysto elastyczną sprężynę połączone szeregowo, jak pokazano na schemacie. $_{\mathrm {suma} }}$ całkowite naprężenie $i$ całkowite odkształcenie $Displaystyle$ można zdefiniować w następujący sposób:

{\ Displaystyle \ sigma _ {\ operatorname {Razem}} = \ sigma _ {D} = \ sigma _ {S}}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {Razem}} = \ varepsilon _ {D} + \ varepsilon _ {S}}

gdzie indeks dolny D wskazuje naprężenie-odkształcenie w amortyzatorze, a indeks dolny S wskazuje naprężenie-odkształcenie w sprężynie. Biorąc pochodną odkształcenia po czasie, otrzymujemy:

{\ Displaystyle {\ Frac {d \ varepsilon _ {\ operatorname {Razem}}} {dt}}={\frac {d\varepsilon _{D}}{dt}}+{\frac {d\varepsilon _{S}}{dt}}={\frac {\sigma}}{\eta} }+{\frac {1}{E}}{\frac {d\sigma }{dt}}}

gdzie E to moduł sprężystości, a η to materiałowy współczynnik lepkości. Ten model opisuje amortyzator jako płyn Newtona i modeluje sprężynę za pomocą prawa Hooke'a .

Jeśli zamiast tego połączymy te dwa elementy równolegle, otrzymamy uogólniony model stałego materiału Kelvina-Voigta .

W materiale Maxwella naprężenia σ, odkształcenia ε i szybkości ich zmian w czasie t są regulowane równaniami postaci:

{\ Displaystyle {\ Frac {1} {E}}} {\ Frac {d \ sigma} {dt}} + {\ Frac {\ sigma}} {\ eta }}={\frac {d\varepsilon}}}}}

lub w notacji kropkowej:

{\ Displaystyle {\ Frac {\ kropka {\ sigma}} {E}} + {\ Frac {\ sigma} {\ eta}} = {\ kropka {\ varepsilon}}}

Równanie można zastosować albo do naprężenia ścinającego , albo do równomiernego naprężenia w materiale. W pierwszym przypadku lepkość odpowiada lepkości cieczy newtonowskiej . W tym drugim przypadku ma nieco inne znaczenie w odniesieniu do naprężenia i szybkości odkształcenia.

Model jest zwykle stosowany w przypadku małych deformacji. W przypadku dużych odkształceń należy uwzględnić pewną nieliniowość geometryczną. Aby uzyskać najprostszy sposób uogólnienia modelu Maxwella, zapoznaj się z modelem Maxwella z górną konwekcją .

Efekt nagłej deformacji

Jeśli materiał Maxwella zostanie nagle zdeformowany i przytrzymany do $frac {\ eta}} {E}} }$ { \ displaystyle $\$ , znany jako czas relaksacji . Zjawisko to znane jest jako relaksacja naprężeń .

Rysunek pokazuje zależność bezwymiarowego naprężenia $\$ $}}$ mi :

Zależność bezwymiarowego naprężenia od bezwymiarowego czasu przy stałym odkształceniu

Jeśli uwolnimy materiał w czasie , wówczas element sprężysty odskoczy o wartość t $\ displaystyle t_ {1}}$

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {wstecz}} = - {\ Frac {\ sigma (t_ {1})}} {E}} = \ varepsilon _ {0} \ exp \ lewo (- {\ frac {E} }{\eta }}t_{1}\right).}

Ponieważ element lepki nie powróciłby do swojej pierwotnej długości, nieodwracalną składową odkształcenia można uprościć do poniższego wyrażenia:

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {nieodwracalny}} = \ varepsilon _ {0} \ lewo (1- \ exp \ lewo (- {\ Frac {E} {\ eta}} t_ {1} \ prawo) \ Prawidłowy).}

Efekt nagłego stresu

Jeśli materiał Maxwella zostanie nagle poddany naprężeniu , wówczas element elastyczny odkształci się nagle, a element lepki odkształci się ze stałą szybkością: σ { $displaystyle \ sigma _ {0} }$

{\ Displaystyle \ varepsilon (t) = {\ Frac {\ sigma _ {0}} {E}} + t {\ Frac {\ sigma _ {0}} {\ eta }}}

Gdybyśmy w pewnym momencie uwolnili materiał, wówczas odkształcenie elementu sprężystego byłoby odkształceniem sprężystym, a odkształcenie elementu lepkiego nie zmieniłoby się: t 1 {\ displaystyle $}$

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {odwracalny}} = {\ Frac {\ sigma _ {0}} {E}},}

{\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ operatorname {nieodwracalne}} = t_ {1} {\ Frac {\ sigma _ {0}} {\ eta}}.}

Model Maxwella nie wykazuje pełzania , ponieważ modeluje odkształcenie jako liniową funkcję czasu.

Jeśli małe naprężenie jest stosowane przez wystarczająco długi czas, wówczas nieodwracalne odkształcenia stają się duże. Zatem materiał Maxwella jest rodzajem cieczy.

Wpływ stałej szybkości odkształcania

Jeśli materiał Maxwella jest poddawany stałej szybkości odkształcania, wówczas naprężenie wzrasta, osiągając stałą wartość ${\ Displaystyle {\ kropka {\ epsilon}}}$

${\ Displaystyle \ sigma = \ eta {\ kropka {\ varepsilon}}}$

Ogólnie

${\ Displaystyle \ sigma (t) = \ eta {\ kropka {\ varepsilon}} (1-e ^ {- Et / \ eta}) }$

Moduł dynamiczny

Złożony moduł dynamiczny materiału Maxwella wynosiłby:

{\ Displaystyle E ^ {*} (\ omega) = { \frac {1}{1/Ei/(\omega \eta )}}={\frac {E\eta ^{2}\omega ^{2}+i\omega E^{2}\eta }{\ eta ^{2}\omega ^{2}+E^{2}}}}

Zatem składowymi modułu dynamicznego są:

{\ Displaystyle E_ {1} (\ omega) = {\ Frac {E \ eta ^ {2} \ omega ^ {2}} {\ eta ^ {2} \ omega ^ {2} + E ^ {2}} }={\frac {(\eta /E)^{2}\omega ^{2}}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac { \tau ^{2}\omega ^{2}}{\tau ^{2}\omega ^{2}+1}}E}

I

{\ Displaystyle E_ {2} (\ omega) = {\ Frac {\ omega E ^ {2} \ eta} {\ eta ^ {2} \ omega ^ {2} + E ^ {2}}} = {\ frac {(\eta /E)\omega}{(\eta /E)^{2}\omega ^{2}+1}}E={\frac {\tau \omega}}{\tau ^{2} \omega ^{2}+1}}E}

Widmo relaksacyjne dla materiału Maxwella

Zdjęcie przedstawia widmo relaksacyjne dla materiału Maxwella. Stała czasowa relaksacji wynosi ${\ Displaystyle \ tau \ równoważnik \ eta / E}$ .

Niebieska krzywa	bezwymiarowy moduł sprężystości ${\ Displaystyle {\ Frac {E_ {1}} {E}}}$
Różowa krzywa	bezwymiarowy moduł strat ${\ Displaystyle {\ Frac {E_ {2}} {E}}}$
Żółta krzywa	bezwymiarowa lepkość pozorna ${\ Displaystyle {\ Frac {E_ {2}}} {\ omega \ eta}}}$
oś X	bezwymiarowa częstotliwość ${\ Displaystyle \ omega \ tau}$ .

Zobacz też