Matryca polifazowa

W przetwarzaniu sygnałów macierz wielofazowa to macierz, której elementami są maski filtrów . Reprezentuje bank filtrów , ponieważ jest używany w koderach podpasmowych, alias dyskretnych transformatach falkowych .

Jeśli $,$ dwa filtry, to jeden poziom tradycyjna transformata falkowa odwzorowuje sygnał wejściowy $\ scriptstyle h$ dwa sygnały wyjściowe za , sol ${\ Displaystyle \ scriptstyle a_ {1}, \, d_ {1}}$ , każdy o połowie długości:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {1} i = (h \ cdot a_ {0}) \ strzałka w dół 2 \\ d_ {1}&=(g\cdot a_{0})\strzałka w dół 2\end{wyrównane}}}$

Zauważ, że kropka oznacza mnożenie wielomianowe ; tj. splot i ${\ displaystyle \ scriptstyle \ downarrow}$ oznacza próbkowanie w dół .

Jeśli powyższy wzór zostanie zaimplementowany bezpośrednio, obliczysz wartości, które są następnie usuwane przez próbkowanie w dół. Możesz uniknąć ich obliczania, dzieląc filtry i sygnał na parzyste i nieparzyste wartości indeksowane przed transformacją falkową:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} h_ {\ mbox {e} }&=h\strzałka w dół 2&a_{0,{\mbox{e}}}&=a_{0}\strzałka w dół 2\\h_{\mbox{o}}&=(h\strzałka w lewo 1)\strzałka w dół 2&a_{0 ,{\mbox{o}}}&=(a_{0}\strzałka w lewo 1)\strzałka w dół 2\end{wyrównane}}}$

Strzałki i ${\ displaystyle \ scriptstyle \ rightarrow}$$odpowiednio$ przesunięcie w lewo iw prawo. Będą miały taki sam priorytet jak splot, ponieważ w rzeczywistości są splotami z przesuniętym dyskretnym impulsem delta .

${\ Displaystyle \ delta = (\ kropki, 0,0, {\ underset {0- {\ mbox {th pozycja}}} {1}}, 0,0,\kropki )}$

Transformacja falkowa przeformułowana na filtry rozdzielone to:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} a_ {1} & = h _ {\ mbox {e}} \ cdot a_ {0, {\ mbox {e}}} + h _ {\ mbox {o}} \ cdot a_ { 0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\\d_{1}&=g_{\mbox{e}}\cdot a_{0,{\mbox{e}}}+g_{\mbox{o }}\cdot a_{0,{\mbox{o}}}\rightarrow 1\end{wyrównane}}}$

Można to zapisać jako macierz-wektor-mnożenie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P & = {\ rozpocząć {pmatrix} h _ {\ mbox {e}} & h _ {\ mbox {o}} \ rightarrow 1 \\ g_ {\ mbox {e}} & g_ {\ mbox {o}}\rightarrow 1\end{pmatrix}}\\{\begin{pmatrix}a_{1}\\d_{1}\end{pmatrix}}&=P\cdot {\begin{pmatrix}a_{ 0,{\mbox{e}}}\\a_{0,{\mbox{o}}}\end{pmatrix}}\end{wyrównane}}}$

Ta macierz $.$ macierzą wielofazową

Oczywiście matryca polifazowa może mieć dowolny rozmiar, nie musi mieć kwadratowego kształtu. Oznacza to, że zasada dobrze skaluje się do dowolnych banków filtrów , multifalek, transformacji falkowych opartych na udoskonaleniach ułamkowych .

Nieruchomości

Reprezentacja kodowania podpasm przez macierz wielofazową to coś więcej niż uproszczenie zapisu. Pozwala na adaptację wielu wyników z teorii macierzy i teorii modułów . Następujące właściwości są wyjaśnione dla $.$ skalują się jednakowo do wyższych wymiarów

Odwracalność/doskonała rekonstrukcja

Przypadek, w którym macierz wielofazowa umożliwia rekonstrukcję przetworzonego sygnału z przefiltrowanych danych, nazywamy właściwością doskonałej rekonstrukcji. Matematycznie jest to równoważne odwracalności. Zgodnie z twierdzeniem o odwracalności macierzy na pierścieniu, macierz wielofazowa jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznikiem macierzy wielofazowej jest delta Kroneckera , która jest zerowa wszędzie poza jedną wartością.

$} \ det P & = h_ {\ mbox{e}}\cdot g_{\mbox{o}}-h_{\mbox{o}}\cdot g_{\mbox{e}}\\\istnieje A\ A\cdot P&=I\iff \istnieje c\ \exists k\ \det P=c\cdot \delta \rightarrow k\end{wyrównane}}}$

Zgodnie z $regułą$ odwrotność można podać natychmiast.

${\ Displaystyle P ^ {-1} \ cdot \ det P = {\ rozpocząć {pmatrix} g_ {\ mbox {o }}\rightarrow 1&-h_{\mbox{o}}\rightarrow 1\\-g_{\mbox{e}}&h_{\mbox{e}}\end{pmatrix}}}$

Ortogonalność

Ortogonalność oznacza, że ​​macierz sprzężona jest również macierzą odwrotną ${\ displaystyle$$\ scriptstyle$ } Macierz sprzężona to macierz transponowana z filtrami sprzężonymi .

${\ Displaystyle P ^ {*} = {\ rozpocząć {pmatrix} h _ {\ mbox {e}} ^ {*} i g_ { \mbox{e}}^{*}\\h_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1&g_{\mbox{o}}^{*}\leftarrow 1\end{pmatrix}}}$

Oznacza to, że zachowana jest norma euklidesowa sygnałów wejściowych. Oznacza to, że odpowiednia transformata falkowa jest izometrią .

${\ Displaystyle \ lewo \ | a_ {1} \ prawo \|_ {2} ^ {2} + \ lewo \ | d_ {1 }\right\|_{2}^{2}=\left\|a_{0}\right\|_{2}^{2}}$

Warunek ortogonalności

${\ Displaystyle P \ cdot P ^ {*} = ja}$

można wypisać

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} h _ {\ mbox {e}} ^ {*} \ cdot h _ {\ mbox {e}} + h _ {\ mbox {o}} ^ {*} \ cdot h_ {\ mbox {o}}&=\delta \\g_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+g_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{\ mbox{o}}&=\delta \\h_{\mbox{e}}^{*}\cdot g_{\mbox{e}}+h_{\mbox{o}}^{*}\cdot g_{ \mbox{o}}&=0\end{wyrównane}}}$

Norma operatora

W przypadku nieortogonalnych macierzy polifazowych powstaje pytanie, jakie normy euklidesowe może przyjąć wynik. Można to ograniczyć za pomocą normy operatora .

${\ Displaystyle \ forall x \ \ lewo \ | P \ cdot x \ prawo\|_{2}\w \left[\left\|P^{-1}\prawo\|_{2}^{-1}\cdot \|x\|_{2},\|P \|_{2}\cdot \|x\|_{2}\right]}$

Dla $macierzy wielofazowej normę$${\ displaystyle \ scriptstyle \|\ cdot \|_$ euklidesowego można podać jawnie za pomocą Frobeniusa i transformacja z: ${\ displaystyle \ scriptstyle Z}$ :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} p (z) & = {\ Frac {1} {2}} \ cdot \ lewo \| ZP (z) \ prawo \ | _ {F} ^ {2} \\ q (z)&=\left|\det[ZP(z)]\right|^{2}\\\|P\|_{2}&=\max \left\{{\sqrt {p(z) +{\sqrt {p(z)^{2}-q(z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\\left\| P^{-1}\right\|_{2}^{-1}&=\min \left\{{\sqrt {p(z)-{\sqrt {p(z)^{2}-q (z)}}}}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\end{aligned}}}$

Jest to szczególny przypadek $macierzy$ , w której normę operatora można uzyskać za pomocą z i promienia widmowego macierzy lub odpowiedniej normy

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lewo \ | P \ prawo \ | _ {2} & = {\ sqrt {\ max \ lewo \ {\ lambda _ {\ tekst {max}} \ lewo [ZP ^ { *}(z)\cdot ZP(z)\right]:z\in \mathbb {C} \\land \ |z|=1\right\}}}\\&=\max \left\{\left \|ZP(z)\right\|_{2}:z\in \mathbb {C} \ \land \ |z|=1\right\}\\[3pt]\left\|P^{-1 }\right\|_{2}^{-1}&={\sqrt {\min \left\{\lambda _{\text{min}}\left[ZP^{*}(z)\cdot ZP (z)\right]:z\in \mathbb {C} \\land \ |z|=1\right\}}}\end{aligned}}}$

Sygnał, w którym zakłada się te granice, można wyprowadzić z wektora własnego odpowiadającego maksymalizacji i minimalizacji wartości własnej.

Schemat podnoszenia

Koncepcja matrycy wielofazowej umożliwia dekompozycję matrycy . Na przykład rozkład na macierze dodawania prowadzi do schematu podnoszenia . Jednak klasycznych dekompozycji macierzy, takich jak dekompozycja LU i QR , nie można zastosować natychmiast, ponieważ filtry tworzą pierścień względem splotu, a nie pole .