Medialna magma

W algebrze abstrakcyjnej magma medialna lub groupoid medialna to magma lub groupoid (to znaczy zbiór z operacją binarną ), która spełnia tożsamość

{\ Displaystyle (x \ cdot y) \ cdot (u \ cdot v) = (x \ cdot u) \ cdot ( y \ cdot v)}

lub prościej

{\ Displaystyle xy \ cdot uv = xu \ cdot yv}

dla wszystkich x , y , u i v , stosując konwencję, że zestawienie oznacza tę samą operację, ale ma wyższy priorytet. Ta tożsamość była różnie nazywana środkową , abelową , naprzemienną , transpozycją , zamianą , bi-przemienną , bisymetryczną , surkomutatywną , entropiczną itp.

Każda półgrupa przemienna jest magmą środkową, a magma środkowa ma element tożsamości wtedy i tylko wtedy, gdy jest monoidem przemiennym . Kierunkiem „tylko jeśli” jest argument Eckmanna-Hiltona . Inną klasą półgrup tworzących magmy przyśrodkowe są pasma normalne . Magmy środkowe nie muszą być asocjacyjne: dla dowolnej nietrywialnej grupy abelowej z operacją $+$ i liczbami całkowitymi $m \neq n$ , nowa operacja binarna zdefiniowana przez ${\ Displaystyle x \ cdot y = mx + ny}$ daje magmę środkową, która generalnie nie jest ani asocjacyjna, ani przemienna.

Korzystając z kategorycznej definicji iloczynu , dla magmy $M$ , można zdefiniować kartezjańską magmę kwadratową $M \times M$ za pomocą operacji

(x, y) ∙ (u, v) = (x ∙ u, y ∙ v)

.

Operacja binarna ∙ $M$ , uważana za odwzorowanie z $M \times M$ na $M$ , odwzorowuje $(x, y)$ na $x ∙ y$ , $(u, v)$ $na$ $u ∙ v$ , oraz $(x ∙ u, y ∙ v)$ na $(x ∙ u) ∙ (y ∙ v)$ . Stąd magma $M jest medialna wtedy i tylko wtedy, gdy jej operacja binarna jest$ homomorfizmem magmy od $M \times M$ do $M$ . Można to łatwo wyrazić za pomocą diagramu przemiennego , co prowadzi do pojęcia środkowego obiektu magmy w kategorii z iloczynem kartezjańskim . (Zobacz dyskusję w obiekcie auto magma.)

Jeśli $f$ i $g$ są endomorfizmami magmy środkowej, to odwzorowanie $f ∙ g$ określone przez mnożenie punktowe

{\ Displaystyle (f \ cdot g) (x) = f (x) \ cdot g (x)}

sam w sobie jest endomorfizmem. Wynika z tego, że zbiór End( $M$ ) wszystkich endomorfizmów magmy środkowej $M$ sam jest magmą środkową.

Twierdzenie Brucka-Murdocha-Toyody

Twierdzenie Brucka – Murdocha-Toyody zapewnia następującą charakterystykę medialnych quasigrup . Biorąc pod uwagę grupę abelową $A$ i dwa automorfizmy komutacyjne φ i ψ $A$ , zdefiniuj operację $*$ na $A$ przez

x * y = φ(x) + ψ(y) + do,

gdzie $c$ jakiś stały element $A$ . Nietrudno jest udowodnić, że $A$ tworzy w ramach tej operacji medialną quasigrupę. Twierdzenie Brucka-Toyody stwierdza, że każda quasigrupa medialna ma tę postać, tj. jest izomorficzna z quasigrupą zdefiniowaną w ten sposób na podstawie grupy abelowej. W szczególności każda quasi-grupa medialna jest izotopowa z grupą abelową.

Wynik uzyskali niezależnie w 1941 roku DC Murdoch i K. Toyoda. Następnie został ponownie odkryty przez Brucka w 1944 roku.

Uogólnienia

Termin medialny lub (częściej) entropiczny jest również używany do uogólnienia na wiele operacji. Struktura algebraiczna jest algebrą entropiczną, jeśli każde dwie operacje spełniają uogólnienie tożsamości medialnej. Niech f i g będą odpowiednio operacjami o arności m i n . Wtedy f i g są wymagane do spełnienia

{\ Displaystyle f (g (x_ {11}, \ ldots, x_ {1n}), \ ldots, g (x_ {m1}, \ ldots, x_ {mn})) = g (f (x_ {11}, \ldots,x_{m1}),\ldots,f(x_{1n},\ldots,x_{mn})).}

Nieasocjacyjne przykłady

Szczególnie naturalnym przykładem nieskojarzonej magmy środkowej są współliniowe punkty na krzywych eliptycznych . Operacja $⋅ y = - ( x + y ) {$ na krzywej, odpowiadająca rysowaniu linii między x i y i definiowaniu x $= -$ jako trzeci punkt przecięcia linii z krzywą eliptyczną, jest (przemienną) magmą środkową, która jest izotopowa względem operacji dodawania krzywej eliptycznej.

$dodawania$ krzywej eliptycznej, niezależne od wyboru neutralnego elementu na krzywej, a ponadto spełnia tożsamości $x \ cdot ( x\cdot y)=y}$ . Ta właściwość jest powszechnie używana w czysto geometrycznych dowodach, że dodawanie krzywych eliptycznych jest asocjacyjne.

Zobacz też

Kategoria magm przyśrodkowych

^ Komentarze historyczne zarchiwizowane 2011-07-18 w Wayback Machine J.Jezek i T.Kepka: medialne grupy Rozpravy CSAV, Rada mat. pr. 93/2 (1983), 93 s
^ Yamada, Miyuki (1971), „Uwaga na temat wyłącznych półgrup”, Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007 / BF02572956 Semigroup
^ Kuźmin, EN i Szestakow, IP (1995). „Struktury nieasocjacyjne”. Algebra VI . Encyklopedia nauk matematycznych . Tom. 6. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . s. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3 .
Bibliografia _ Davis, G. (1985). „Produkty tensorowe i odmiany entropiczne”. Algebra uniwersalna . 21 : 68–88. doi : 10.1007/BF01187558 .

Murdoch, DC (maj 1941), „Struktura abelowych quasi-grup”, przeł. Amer. Matematyka soc. , 49 (3): 392–409, doi : 10.1090/s0002-9947-1941-0003427-2 , JSTOR 1989940
Toyoda, K. (1941), „O aksjomatach funkcji liniowych” , Proc. Chochlik. Acad. Tokio , 17 (7): 221–7, doi : 10.3792/pia/1195578751
Bruck, RH (styczeń 1944), „Niektóre wyniki w teorii quasigrup”, tłum. Amer. Matematyka soc. , 55 (1): 19–52, doi : 10.1090/s0002-9947-1944-0009963-x , JSTOR 1990138
Ježek, J.; Kepka, T. (1983), „Medialne grupy”, Rozpravy Československé Akad. Věd Řada Mat. Přírod. Věd , 93 (2): 93 pp

[Jezek-1] Komentarze historyczne zarchiwizowane 2011-07-18 w Wayback Machine J.Jezek i T.Kepka: medialne grupy Rozpravy CSAV, Rada mat. pr. 93/2 (1983), 93 s

[2] Yamada, Miyuki (1971), „Uwaga na temat wyłącznych półgrup”, Forum , 3 (1): 160–167, doi : 10.1007 / BF02572956 Semigroup

[3] Kuźmin, EN i Szestakow, IP (1995). „Struktury nieasocjacyjne”. Algebra VI . Encyklopedia nauk matematycznych . Tom. 6. Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag . s. 197–280. ISBN 978-3-540-54699-3 .

[generaliation-4] Bibliografia _ Davis, G. (1985). „Produkty tensorowe i odmiany entropiczne”. Algebra uniwersalna . 21 : 68–88. doi : 10.1007/BF01187558 .