Nierówność Hadwigera-Finslera

W matematyce nierówność Hadwigera -Finslera jest wynikiem geometrii trójkątów na płaszczyźnie euklidesowej . Stwierdza, że jeśli trójkąt na płaszczyźnie ma boki długości a , b i c oraz pole T , to

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq (ab) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (ca) ^ {2} + 4 {\ sqrt {3}} T \ quad {\ mbox {(HF)}}.}

Powiązane nierówności

Nierówność Weitzenböcka jest bezpośrednim następstwem nierówności Hadwigera-Finslera: jeśli trójkąt na płaszczyźnie ma boki a , b i c oraz obszar T , to

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} \ geq 4 {\ sqrt {3}} T \ quad {\ mbox {(W)}}.}

Nierówność Hadwigera-Finslera jest w rzeczywistości równoważna nierówności Weitzenböcka. Zastosowanie (W) do trójkąta okołośrodkowego daje (HF)

Nierówność Weitzenböcka można również udowodnić za pomocą wzoru Herona , dzięki któremu można zobaczyć, że równość zachodzi w (W) wtedy i tylko wtedy, gdy trójkąt jest trójkątem równobocznym , tj. a = b = c .

Wersja dla czworoboku : Niech ABCD będzie czworobokiem wypukłym o długościach a , b , c , d i polu T wtedy:

{\ Displaystyle a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2} + d ^ {2} \ geq 4T + {\ Frac {{\ sqrt {3}} -1} {\ sqrt {3}} }\sum {(ab)^{2}}}

z równością tylko dla kwadratu .

Gdzie ${\ Displaystyle \ suma {(ab) ^ {2}} = (ab) ^ {2} + (ac) ^ {2} + (reklama) ^ {2} + (bc) ^ {2} + (bd) ^{2}+(cd)^{2}}$

Historia

Nierówność Hadwigera-Finslera została nazwana na cześć Paula Finslera i Hugo Hadwigera ( 1937 ), którzy również opublikowali w tym samym artykule twierdzenie Finslera-Hadwigera o kwadracie wyprowadzonym z dwóch innych kwadratów, które mają wspólny wierzchołek.

Zobacz też

Finsler, Paweł ; Hadwiger, Hugo (1937). „Einige Relationen im Dreieck”. Commentarii Mathematici Helvetici . 10 (1): 316–326. doi : 10.1007/BF01214300 . S2CID 122841127 .
Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Kiedy mniej znaczy więcej: wizualizacja podstawowych nierówności . MAA, 2009, ISBN 9780883853429 , s. 84-86

Linki zewnętrzne