Niezmiennik eta
W matematyce niezmiennikiem eta samosprzężonego eliptycznego operatora różniczkowego na zwartej rozmaitości jest formalnie liczba dodatnich wartości własnych minus liczba ujemnych wartości własnych. W praktyce obie liczby są często nieskończone, więc są definiowane za pomocą regularyzacji funkcji zeta . Został wprowadzony przez Atiyaha , Patodiego i Singera ( 1973 , 1975 ), którzy użyli go do rozszerzenia twierdzenia Hirzebrucha na rozmaitości z brzegiem. Nazwa pochodzi od tego, że jest uogólnieniem funkcji eta Dirichleta .
Później użyli również niezmiennika eta operatora samosprzężonego do zdefiniowania niezmiennika eta zwartej rozmaitości gładkiej o nieparzystych wymiarach.
Michael Francis Atiyah , H. Donnelly i IM Singer ( 1983 ) zdefiniowali sygnaturowy defekt granicy rozmaitości jako niezmiennik eta i wykorzystali to do pokazania, że sygnaturowy defekt Hirzebrucha wierzchołka powierzchni modułowej Hilberta można wyrazić jako wyrazy wartości przy s = 0 lub 1 funkcji L Shimizu .
Definicja
Niezmiennik eta operatora samosprzężonego A jest określony przez η A (0), gdzie η jest analityczną kontynuacją
a suma przekracza niezerowe wartości własne λ z A .
- Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1973), „Asymetria widmowa i geometria riemannowska”, The Bulletin of the London Mathematical Society , 5 (2): 229–234, CiteSeerX 10.1.1.597.6432 , doi : 10.1112/blms/5.2.229 , ISSN 0024-6093 , MR 0331443
- Atiyah, Michael Francis ; Patodi, VK; Singer, IM (1975), „Asymetria widmowa i geometria riemannowska. I”, Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society , 77 (1): 43–69, Bibcode : 1975MPCPS ..77...43A , doi : 10.1017/S0305004100049410 , ISSN 0305-0041 , MR 0397797 , S2CID 17638224
- Atiyah, Michael Francis ; Donnelly, H.; Singer, IM (1983), „Niezmienniki Eta, wady sygnatur wierzchołków i wartości funkcji L”, Annals of Mathematics , druga seria, 118 (1): 131–177, doi : 10.2307/2006957 , ISSN 0003-486X , JSTOR 2006957 , MR 0707164