Numer Kostki

Trzy półstandardowe obrazy Younga o kształcie λ = (3, 2) i wadze μ = (1, 1, 2, 1). Są one liczone według liczby Kostki K _λμ = 3.

W matematyce liczba Kostki K _λμ (zależna od dwóch całkowitych podziałów λ i μ) jest nieujemną liczbą całkowitą równą liczbie półstandardowych tablic Younga o kształcie λ i wadze μ. Zostały one wprowadzone przez matematyka Carla Kostkę w jego badaniu funkcji symetrycznych ( Kostka (1882) ).

Na przykład, jeśli λ = (3, 2) i μ = (1, 1, 2, 1), liczba Kostki K _λμ zlicza liczbę sposobów wypełnienia wyrównanego do lewej zestawu pudełek liczbą 3 w pierwszym rzędzie i 2 w drugim rzędzie z 1 egzemplarzem numeru 1, 1 egzemplarzem numeru 2, 2 egzemplarzami numeru 3 i 1 egzemplarzem numeru 4 tak, aby wpisy zwiększały się wzdłuż kolumn, a nie zmniejszały się wzdłuż rzędów. Trzy takie obrazy są pokazane po prawej stronie, a K _{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = 3.

Przykłady i przypadki szczególne

Dla dowolnego podziału λ liczba Kostki K _λλ jest równa 1: unikalny sposób wypełnienia diagramu Younga o kształcie λ = (λ ₁ , λ ₂ , ..., λ _m ) λ ₁ kopiami 1, λ ₂ kopie 2 i tak dalej, tak że wynikowy obraz słabo rośnie wzdłuż wierszy i ściśle rośnie wzdłuż kolumn, jeśli wszystkie 1 są umieszczone w pierwszym rzędzie, wszystkie 2 są umieszczone w drugim rzędzie i tak dalej. (Ta tablica jest czasami nazywana tablicą Yamanouchi o kształcie λ).

Liczba Kostki K _λμ jest dodatnia (tj. istnieją półstandardowe tablice Younga o kształcie λ i wadze μ) wtedy i tylko wtedy, gdy λ i μ są obie częściami tej samej liczby całkowitej n i λ jest większe niż μ w rzędzie dominacji .

Ogólnie rzecz biorąc, nie ma ładnych wzorów znanych dla liczb Kostki. Znane są jednak pewne przypadki szczególne. Na przykład, jeśli μ = (1, 1, 1, ..., 1) jest partycją, której wszystkie części są równe 1, to półstandardowy układ Younga o wadze μ jest standardowym układem Younga; liczba standardowych obrazów Younga o danym kształcie λ jest dana wzorem na długość haka .

Nieruchomości

Ważną prostą własnością liczb Kostki jest to, że K _λμ nie zależy od kolejności wpisów μ. Na przykład K. _{(3, 2) (1, 1, 2, 1)} = K. _{(3, 2) (1, 1, 1, 2)} . Nie jest to od razu oczywiste z definicji, ale można to wykazać, ustanawiając bijekcję między zbiorami półstandardowych tablic Younga o kształcie λ i wagach μ i μ ', gdzie μ i μ' różnią się tylko przez zamianę dwóch wpisów.

Liczby Kostki, funkcje symetryczne i teoria reprezentacji

Oprócz powyższej czysto kombinatorycznej definicji można je również zdefiniować jako współczynniki, które powstają, gdy wyraża się wielomian Schura s _λ jako liniową kombinację jednomianowych funkcji symetrycznych m _μ :

${\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ mu} K _ {\ lambda \ mu} m_ {\ mu},}$

gdzie λ i μ są obie częściami n . Alternatywnie wielomiany Schura można również wyrazić jako

${\ Displaystyle s _ {\ lambda} = \ suma _ {\ alfa} K _ {\ lambda \ alfa} x ^ {\ alfa},}$

gdzie suma obejmuje wszystkie słabe składy α od n i x ^α oznacza jednomian x ₁ ^{α ₁} ⋯ x _n ^{α _n} .

Ze względu na powiązania między teorią funkcji symetrycznych a teorią reprezentacji , liczby Kostki wyrażają również rozkład modułu permutacyjnego M _μ na reprezentacje V _λ odpowiadające znakowi s _λ , tj.

${\ Displaystyle M _ {\ mu} = \ bigoplus _ {\ lambda} K_ {\ lambda \ mu} V_ {\ lambda}.}$

Na poziomie reprezentacji $,$ liniowej Kostki K _λμ zlicza wagowej do μ w nieredukowalnej reprezentacji V _λ (gdzie wymagamy, aby μ i λ miały co najwyżej n części).

Przykłady

Liczby Kostki dla przegród o rozmiarze co najwyżej 3 są następujące:

K _{(0) (0)} = 1 (tutaj (0) reprezentuje pustą partycję)

K _{(1) (1)} = 1

K _{(2) (2)} = K _{(2) (1,1)} = K _{(1, 1) (1,1)} = 1, K. _{(1,1) (2)} = 0.

K. _{(3) (3)} = K. _{(3) (2,1)} = K. _{(3) (1,1,1 )} = 1

K. _{(2,1) (3)} = 0, K. _{(2,1) (2,1)} = 1, K. _{(2,1) (1,1,1)} = 2

K. _{(1,1, 1) (3)} = K _{(1,1,1) (2,1)} = 0, K _{(1,1,1) (1,1,1)} = 1

Te wartości są dokładnie współczynnikami w rozwinięciach funkcji Schura w kategoriach jednomianowych funkcji symetrycznych:

s = m = 1 (indeksowane przez pustą partycję)

s ₁ = m ₁

s ₂ = m ₂ + m ₁₁

s ₁₁ = m ₁₁

s ₃ = m ₃ + m ₂₁ + m ₁₁₁

s ₂₁ = m ₂₁ + 2 m ₁₁₁

s ₁₁₁ = m _111.

Kostka (1882 , strony 118-120) podał tablice tych liczb dla podziałów liczb do 8.

Uogólnienia

Liczby Kostki to specjalne wartości 1 lub 2 zmiennych wielomianów Kostki :

${\ Displaystyle K _ {\ lambda \ mu} = K _ {\ lambda \ mu} (1) = K _ {\ lambda \ mu} (0,1).}$

Notatki

• Stanley, Richard (1999), Kombinatoryka wyliczeniowa, tom 2 , Cambridge University Press
• Kostka, C. (1882), „Über den Zusammenhang zwischen einigen Formen von symmetrischen Funktionen” , Crelle's Journal , 93 : 89–123
•    Macdonald, IG (1995), Funkcje symetryczne i wielomiany Halla , Oxford Mathematical Monographs (wyd. 2), The Clarendon Press Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853489-1 , MR 1354144 , zarchiwizowane od oryginału w dniu 2012- 12-11
• Sagan, Bruce E. (2001) [1994], „Funkcje Schura w kombinatoryce algebraicznej” , Encyklopedia matematyki , EMS Press