Oscylacja Rabi próżni

Próżniowa oscylacja Rabiego to tłumiona oscylacja początkowo wzbudzonego atomu sprzężonego z rezonatorem elektromagnetycznym lub wnęką, w której atom naprzemiennie emituje foton (y) do jednomodowej wnęki elektromagnetycznej i ponownie je absorbuje. Atom oddziałuje z polem jednomodowym ograniczonym do ograniczonej objętości V we wnęce optycznej. Emisja spontaniczna jest konsekwencją sprzężenia między atomem a fluktuacjami próżni pola wnęki.

Leczenie matematyczne

Matematyczny opis oscylacji Rabiego próżni rozpoczyna się od modelu Jaynesa-Cummingsa , który opisuje interakcję między pojedynczym trybem skwantowanego pola a układem dwupoziomowym wewnątrz wnęki optycznej . Hamiltonian dla tego modelu w przybliżeniu fali wirującej wynosi

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst { JC}}=\hbar \omega {\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz {a}}+\hbar \omega _{0}{\frac {{\kapelusz {\sigma}}_{ z}}{2}}+\hbar g\left({\kapelusz {a}}{\kapelusz {\sigma }}_{+}+{\kapelusz {a}}^{\sztylet}}{\kapelusz { \sigma }}_{-}\right)}

gdzie jest operatorem spinu Pauliego $z}}}}$ dla dwóch stanów własnych ${\ Displaystyle | e \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | g \ rangle}$ izolowanego systemu dwupoziomowego oddzielonego energią przez ${\ Displaystyle \ hbar \ omega _ {0}}$ ; ${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ sigma}} _ {+} = | e \ rangle \ langle g |}$ i ${\ Displaystyle {\ hat {\ sigma}} _ {-} = | g \ rangle \ langle e |}$ to operatory podnoszenia i opuszczania systemu dwupoziomowego; ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet}}$ i ${\ Displaystyle {\ kapelusz {a}}}$ to operatory tworzenia i anihilacji fotonów energii ${\ Displaystyle \ hbar \ omega}$ w trybie jamy; I

\ Displaystyle g = {\ Frac {\ mathbf {d} \ cdot {\ kapelusz {\ mathcal {E}}}} {\ hbar}}} {\ sqrt {\ frac {\hbar \omega}{2\epsilon_{0}V}}}}

jest siłą sprzężenia między momentem dipolowym $dwupoziomowego$ a trybem wnęki z objętością $\$ polem elektrycznym spolaryzowanym wzdłuż $hat {\mathcal {E}}}}$ . Wartości własne energii i stany własne dla tego modelu to

{\ Displaystyle E _ {\ pm} (n) = \ hbar \ omega \ left(n+{\frac {1}{2}}\right)\pm {\frac {\hbar }{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2} }}=\hbar \omega _{n}^{\pm }}

{\ Displaystyle | n, + \ rangle = \ cos \ lewo (\ theta _ {n} \ prawo) | g, n + 1 \ rangle + \ sin \ lewo (\ theta _ {n} \ prawo )|e,n\rangle }

{\ Displaystyle | n, - \ rangle = \ sin \ lewo (\ theta _ {n} \ prawo) | g, n + 1 \ rangle - \ cos \ lewo (\ theta _ {n} \ prawo )|e,n\rangle }

gdzie ${\ Displaystyle \ delta = \ omega _ {a} - \ omega}$ to rozstrojenie , a kąt jest zdefiniowany jako ${\ Displaystyle \ theta _ {n}}$

{\ Displaystyle \ theta _ {n} = \ tan ^ {-1} \ lewo ({\ Frac {g {\ sqrt {n + 1}}} {\ delta}} \ prawej).}

Biorąc pod uwagę stany własne systemu, operator ewolucji czasu można zapisać w postaci

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e ^ {- i {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} & = \ suma _ {| n, \ pm \ rangle} \ suma _{|n',\pm \rangle }|n,\pm \rangle \langle n,\pm |e^{-i{\hat {H}}_{\text{JC}}t/\hbar } |n',\pm \rangle \langle n',\pm |\\&=~e^{i(\omega -{\frac {\omega _{0}}{2}})t}|g, 0\rangle \langle g,0|\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty}{e^{-i\omega _{n}^{+}t}(\cos {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}|e,n\rangle )(\cos {\theta _{n}}\langle g,n +1|+\sin {\theta _{n}}\langle e,n|)}\\&~~~+\sum _{n=0}^{\infty }{e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin {\theta _{n}}|g,n+1\rangle +\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )(- \sin {\theta _{n}}\langle g,n+1|+\cos {\theta_{n}}\langle e,n|)}\\\end{wyrównane}}.}

Jeśli system zostanie uruchomiony w stanie ${\ Displaystyle | g, n + 1 \ rangle}$ , gdzie atom znajduje się w stanie podstawowym układu dwupoziomowego i fotony są w trybie wnęki ${\ Displaystyle n + 1}$ , zastosowanie operatora ewolucji czasu daje plony

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} e ^ {- i {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} | g, n + 1 \ rangle & = (e ^ {-i \omega _{n}^{+}t}(\cos ^{2}{(\theta _{n})}|g,n+1\rangle +\sin {\theta _{n}}\cos {\theta _{n}}|e,n\rangle )+e^{-i\omega _{n}^{-}t}(-\sin ^{2}{(\theta _{n}) }|g,n+1\rangle -\sin {\theta _{n}}\cos {\theta_{n}}|e,n\rangle )\\&=(e^{-i\omega _ {n}^{+}t}+e^{-i\omega _{n}^{-}t})\cos {(2\theta _{n})}|g,n+1\rangle + (e^{-i\omega _{n}^{+}t}-e^{-i\omega_{n}^{-}t})\sin {(2\theta _{n})} |e,n\rangle \\&=e^{-i\omega _{c}(n+{\frac {1}{2}})}{\Biggr [}\cos {{\biggr (}{\ frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {\delta ^{ 2}-4g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|g,n+1\rangle +\sin {{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n+1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [} {\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}|e, n\rangle {\Biggr ]}\koniec {wyrównane}}.}

Prawdopodobieństwo, że układ dwupoziomowy jest w stanie wzbudzonym ${\ Displaystyle | e, n \ rangle}$ jako funkcja czasu jest wtedy ${\ displaystyle t}$

{\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P_ {e} (t) & = | \ langle e, n | e ^ {-i {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} t / \ hbar} |g,n+1\rangle |^{2}\\&=\sin ^{2}{{\biggr (}{\frac {t}{2}}{\sqrt {4g^{2}(n +1)+\delta ^{2}}}{\biggr )}}{\biggr [}{\frac {8\delta ^{2}g^{2}(n+1)}{\delta ^{ 2}+4g^{2}(n+1)}}{\biggr ]}\\&={\frac {4g^{2}(n+1)}{\Omega _{n}^{2} }}\sin ^{2}{{\bigr (}{\frac {\Omega _{n}t}{2}}{\bigr )}}\end{wyrównane}}}

gdzie ${\ Displaystyle \ Omega _ {n} = {\ sqrt {4g ^ {2} (n + 1) + \ delta ^ {2}}}$ } zidentyfikowany jako częstotliwość Rabi . W przypadku, gdy we wnęce nie ma pola elektrycznego, to znaczy liczba fotonów $wynosi$ , częstotliwość Rabi wynosi ${\ Displaystyle \ Omega _ {0} = {\sqrt {4g^{2}+\delta^{2}}}}$ . Wtedy prawdopodobieństwo, że system dwupoziomowy przejdzie ze stanu podstawowego do stanu wzbudzonego w funkcji czasu, wynosi ${\ displaystyle t}$

{\ Displaystyle P_ {e} (t) = {\ Frac {4g ^ {2}} {\ Omega _ {0} ^ {2}}} \ sin ^ {2} {{\ bigr (} {\ Frac { \Omega _{0}t}{2}}{\bigr )}.}}

Dla wnęki, która dopuszcza pojedynczy mod doskonale rezonujący z różnicą energii między dwoma poziomami energii, rozstrojenie $i$ staje się ${\ Displaystyle P_ {e} (t)}$ kwadrat sinusoidy o jednostkowej amplitudzie i okresie ${\ Displaystyle {\ Frac {2 \ pi} {g}}.}$

Uogólnienie na atomy N

Sytuację, w której układy $dwupoziomowe$ występują we wnęce jednomodowej, opisuje model Tavisa – Cummingsa , który ma

{\ Displaystyle {\ kapelusz {H}} _ {\ tekst {JC}} = \ hbar \ omega {\ kapelusz {a}} ^ {\ sztylet} {\ kapelusz {a}} + \ suma _ {j = 1 }^{N}{\hbar \omega _{0}{\frac {{\hat {\sigma }}_{j}^{z}}{2}}+\hbar g_{j}\left({ \hat {a}}{\hat {\sigma }}_{j}^{+}+{\hat {a}}^{\sztylet}}{\hat {\sigma }}_{j}^{- }\Prawidłowy)}.}

Przy założeniu, że wszystkie systemy dwupoziomowe mają równą indywidualną siłę sprzężenia z $polem$ , zespół jako całość będzie miał zwiększoną siłę sprzężenia $\ Displaystyle g_ {N} = g {\ sqrt {N}}}$ . W rezultacie podział próżni Rabi jest odpowiednio wzmocniony o współczynnik ${\ displaystyle {\ sqrt {N}}}$ .

Zobacz też

Referencje i notatki