Przybliżenie fali wirującej

Przybliżenie fali wirującej jest przybliżeniem stosowanym w optyce atomowej i rezonansie magnetycznym . W tym przybliżeniu pomija się człony hamiltonianu , które szybko oscylują. Jest to prawidłowe przybliżenie, gdy zastosowane promieniowanie elektromagnetyczne jest bliskie rezonansu z przejściem atomowym, a intensywność jest niska. Wyraźnie terminy w hamiltonianach, które oscylują z częstotliwościami, $, podczas gdy terminy$ z ${\ Displaystyle \ omega _ {L} - \ omega _ {0}}$$0}}$ przechowywane, gdzie jest częstotliwość światła i $L} }$${\ displaystyle \ omega _ {$ to częstotliwość przejścia.

Nazwa przybliżenia wywodzi się od postaci hamiltonianu na obrazie interakcji , jak pokazano poniżej. Przechodząc do tego obrazu, ewolucja atomu spowodowana odpowiednim hamiltonianem atomowym zostaje wchłonięta przez układ ket , pozostawiając do rozważenia jedynie ewolucję wynikającą z interakcji atomu z polem świetlnym. To właśnie na tym obrazie można pominąć wspomniane wcześniej szybko oscylujące terminy. Ponieważ w pewnym sensie obraz interakcji można uznać za wirujący z układem, zachowywana jest tylko ta część fali elektromagnetycznej, która w przybliżeniu obraca się wspólnie; element przeciwbieżny jest odrzucany.

Przybliżenie fali wirującej jest blisko powiązane z przybliżeniem świeckim , ale różni się od niego .

Sformułowanie matematyczne

Dla uproszczenia rozważmy dwupoziomowy układ atomowy ze stanami podstawowymi i wzbudzonymi ${\ Displaystyle | {\ tekst {g}} \ rangle}$ i ${\ displaystyle | {\ tekst {e}} \ rangle}$ (używając notacji nawiasowej Diraca ). Niech różnica energii między stanami będzie taka, $}$ { $\ hbar \ omega _ {0}$ jest częstotliwością przejścia systemu. Następnie niezakłócony hamiltonian atomu można zapisać jako

${\ Displaystyle H_ {0} = {\ Frac {\ hbar \ omega _ {0}} {2}} | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst {e}} | - {\ Frac { \hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{g}}|}$ .

$, że$ atom doświadcza zewnętrznego klasycznego pola elektrycznego o częstotliwości ${ \ Displaystyle {\ vec {E}} (t) = {\ vec {E}} _ {0} e ^ {-i \ omega _ {L} t} + {\ vec {E}} _ {0} ^ {*}e^{i\omega _{L}t}}$ przez ; np. fala płaska rozprzestrzeniające się w przestrzeni. Następnie w przybliżeniu dipolowym hamiltonian interakcji między atomem a polem elektrycznym można wyrazić jako

${\ Displaystyle H_ {1} = - {\ vec {d}} \ cdot {\ vec {E}}$ }

gdzie $momentu$ dipolowego atomu . Zatem całkowity hamiltonian układu atom-światło wynosi ${\ displaystyle H = H_ {0}+ H_ {1}.}$ Atom nie ma momentu dipolowego, gdy znajduje się w stanie własnym energii , więc ${\ Displaystyle \ lewo \ langle {\ tekst {e}} \ lewo | {\ vec {d}} \ prawo | {\ tekst {e}} \ prawo \ rangle = \ lewo \ langle {\ tekst { g}}\left|{\vec {d}}\right|{\text{g}}\right\rangle =0.} Oznacza to, że zdefiniowanie d$ → ${\ Displaystyle {\ vec {d}} _ {\ tekst {np.}} \ mathrel {: =} \ lewo \ langle {\ tekst {e}} \ lewo | {\ vec {d}} \ prawo | {\text{g}}\right\rangle }$ pozwala na zapisanie operatora dipolowego jako

${\ Displaystyle {\ vec {d}} = {\ vec {d}} _ {\ tekst {np.}} | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst {g}} | + {\ vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|}$

(gdzie $koniugat$ złożony ) . Można następnie wykazać, że hamiltonian interakcji jest

${\ Displaystyle H_ {1} = - \ hbar \ lewo (\ Omega e ^ {- i \ omega _ {L} t} + {\ tylda {\ Omega}} e ^ {i \ omega _ {L} t} \right)|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{ L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|}$

gdzie ${\ Displaystyle \ Omega = \ hbar ^ {-1} {\ vec {d}} _ {\ tekst {np.}} \ cdot {\ vec {E}} _ {0}}$ to częstotliwość Rabiego i ${\ displaystyle {\ tylda {\ Omega}} \ mathrel {: =} \ hbar ^ {- 1} {\ vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}}$ jest częstotliwością przeciwbieżną. Aby zobaczyć, dlaczego terminy nazywane są przeciwbieżnymi, rozważ jednolitą transformację interakcji lub obrazu Diraca $,$ gdzie przekształcony Hamiltonian jest określony przez ${\ displaystyle H_ {1,I}}$

${\ Displaystyle H_ {1, ja} = - \ hbar \ lewo (\ Omega e ^ {- i \ Delta \ omega t} + {\ tylda {\ Omega}} e ^ {i (\ omega _ {L} +\omega _{0})t}\right)|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \left({\tylda {\Omega }}^{* } e^{-i(\omega _{L}+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g} } \rangle \lange {\text{e}}|,}$

gdzie ${\ displaystyle \ Delta \ omega \ mathrel {: =} \ omega _ {L} - \ omega _ {0}}$ jest rozstrojeniem między polem świetlnym a atomem.

Dokonanie przybliżenia

Dwupoziomowy system rezonansu z polem napędowym z (niebieskim) i bez (zielonym) zastosowaniem aproksymacji fali wirującej.

Jest to punkt, w którym dokonuje się przybliżenia fali wirującej. Założono przybliżenie dipolowe i aby to pozostało ważne, pole elektryczne musi znajdować się w pobliżu rezonansu z przejściem atomowym. Oznacza to, że i zespolone wykładnicze mnożą się $\ Delta \ omega \ ll \ omega _ {L} + \ omega _ {0}$$} }}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {\ Omega}} ^ {*}}$ można uznać za szybko oscylujące. Stąd w dowolnej zauważalnej skali czasu oscylacje szybko osiągną średnią wartość 0. Przybliżenie fali wirującej jest zatem twierdzeniem, że te wyrazy można pominąć, a zatem hamiltonian można zapisać na obrazie interakcji jako

${\ Displaystyle H_ {1, ja} ^ {\ tekst {RWA}} = - \ hbar \ Omega e ^ {-i \ Delta \ omega t} | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst { g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|.}$

Wreszcie, przekształcając się z powrotem w obraz Schrödingera , hamiltonian jest dany przez

${\ Displaystyle H ^ {\ tekst {RWA}} = {\ Frac {\ hbar \ omega _ {0}} {2}} | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst {e}} | -{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}|{\ tekst{g}}\rangle \lange {\text{e}}|.}$

Kolejnym kryterium aproksymacji fali wirującej jest warunek słabego sprzężenia, to znaczy częstotliwość Rabiego powinna być znacznie mniejsza niż częstotliwość przejścia.

W tym momencie przybliżanie fali wirującej jest zakończone. Powszechnym pierwszym krokiem poza tym jest usunięcie pozostałej zależności od czasu w hamiltonianie poprzez kolejną transformację jednostkową.

Pochodzenie

Biorąc pod uwagę powyższe definicje, interakcja jest hamiltonianem

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} H_ {1} = - {\ vec {d}} \ cdot {\ vec {E}} i = - \ lewo ({\ vec {d}} _ {\ tekst {np. }}|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|+{\vec {d}}_{\text{eg}}^{*}|{\text{g}} \rangle \lange {\text{e}}|\right)\cdot \left({\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {E }}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)\\&=-\left({\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_{\text{eg}}\cdot {\vec {E}}_ {0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\left({\vec { d}}_{\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}e^{-i\omega _{L}t}+{\vec {d}}_ {\text{eg}}^{*}\cdot {\vec {E}}_{0}^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g} }\rangle \lange {\text{e}}|\\&=-\hbar \left(\Omega e^{-i\omega _{L}t}+{\tylda {\Omega }}e^{ i\omega _{L}t}\right)|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*} e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \lange {\text {e}}|,\end{aligned}}}$

jak wspomniano. $Następnym$ znalezienie na obrazie interakcji Wymagana transformacja jednostkowa to

${\ Displaystyle U = e ^ {iH_ {0} t / \ hbar} = e ^ {i \ omega _ {0} t | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst {e}} |} =|{\text{g}}\rangle \lange {\text{g}}|+e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \lange {\text{ e}}|}$ ,

gdzie widać, że ostatni krok wynika np. z rozwinięcia szeregu Taylora z faktem, że ${\ Displaystyle | {\ tekst {g}} \ rangle \ langle {\ tekst {g}} | + | {\ tekst {e}} \ rangle \ langle {\ tekst {e}} | = 1$ } oraz ze względu na ortogonalność stanów ${\ Displaystyle | {\ tekst {g}} \ rangle}$ i ${\ Displaystyle | {\ tekst {e}} \ rangle}$ . Podstawienie na drugim etapie różniące się od definicji podanej w poprzedniej sekcji można uzasadnić przesunięciem ogólnych poziomów energii w taki sposób $że$${\ Displaystyle | {\ tekst {g}} \ rangle}$ ma energię ${\ displaystyle 0}$ i ${\ Displaystyle | {\ tekst {e}} \ rangle}$ ma energię ${\ displaystyle \ hbar \ omega _ {0}}$ lub zauważając, że pomnożenie przez całkowitą fazę ( $)$ na operatorze unitarnym nie wpływa na Teraz mamy

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} H_ {1, ja} i \ równoważnik UH_ {1} U ^ {\ sztylet} \\ i = - \ hbar \ lewo (\ Omega e ^ {-i \ omega _ {L }t}+{\tylda {\Omega }}e^{i\omega _{L}t}\right)e^{i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \ langle {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i\omega _{L}t}+\Omega ^{*}e^{ i\omega _{L}t}\right)|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|e^{-i\omega _{0}t}\\&=- \hbar \left(\Omega e^{-i\Delta \omega t}+{\tilde {\Omega }}e^{i(\omega _{L}+\omega _{0})t}\right )|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \left({\tilde {\Omega }}^{*}e^{-i(\omega _{L }+\omega _{0})t}+\Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}\right)|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}} |\ .\end{aligned}}}$

Teraz stosujemy RWA, eliminując terminy przeciwbieżne, jak wyjaśniono w poprzedniej sekcji, i na koniec przekształcamy przybliżony hamiltonian z powrotem do H. $\ displaystyle H_ {1, ja} ^ {\ tekst {RWA}}}$ obraz Schrödingera:

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} H_ {1} ^ {\ tekst {RWA}} i = U ^ {\ sztylet} H_ {1, ja} ^ {\ tekst {RWA}} U \\ i = - \ hbar \Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega _{0}t}|{\text{e}}\rangle \lange {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e^{i\Delta \omega t}|{\text{g}}\rangle \langle {\text{e}}|e^{i\omega _{0}t}\\ &=-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^{*}e ^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|.\end{aligned}}}$

Przybliżenie nie miało wpływu na Hamiltonian atomowy, więc całkowity Hamiltonian na obrazie Schrödingera w przybliżeniu fali wirującej wynosi

${\ Displaystyle H ^ {\ tekst {RWA}} = H_ {0} + H_ {1} ^ {\ tekst {RWA}} = {\ Frac {\ hbar \ omega _ {0}} {2}} | { \text{e}}\rangle \lange {\text{e}}|-{\frac {\hbar \omega _{0}}{2}}|{\text{g}}\rangle \lange {\ tekst{g}}|-\hbar \Omega e^{-i\omega _{L}t}|{\text{e}}\rangle \langle {\text{g}}|-\hbar \Omega ^ {*}e^{i\omega _{L}t}|{\text{g}}\rangle \lange {\text{e}}|.}$