Pętla Bola

W matematyce i algebrze abstrakcyjnej pętla Bol jest strukturą algebraiczną uogólniającą pojęcie grupy . Pętle Bola zostały nazwane na cześć holenderskiego matematyka Gerrita Bola , który wprowadził je w ( Bol 1937 ).

, że pętla L jest lewostronną pętlą Bol, jeśli spełnia tożsamość

${\ Displaystyle a (b (ac)) = (a (ba)) c}$ , dla każdego za , b , do w L ,

podczas gdy mówi się, że L jest prawą pętlą Bola, jeśli spełnia

${\ Displaystyle ((ca) b) a = c ((ab) a)}$ , dla każdego za , b , do w L .

Tożsamości te można postrzegać jako osłabione formy asocjatywności lub wzmocnioną formę (lewej lub prawej) alternatywności .

Pętla jest jednocześnie lewym Bolem i prawym Bolem wtedy i tylko wtedy, gdy jest pętlą Moufanga . Alternatywnie, prawa lub lewa pętla Bola jest Moufangiem wtedy i tylko wtedy, gdy spełnia elastyczną tożsamość a(ba) = (ab)a . Różni autorzy używają terminu „pętla Bol” w odniesieniu do lewej lub prawej pętli Bol.

Nieruchomości

Lewa (prawa) tożsamość Bol bezpośrednio implikuje lewą (prawą) alternatywną właściwość , co można pokazać, ustawiając b na tożsamość.

Implikuje również lewą (prawą) właściwość odwrotną , co można zobaczyć, ustawiając b na lewą (prawą) odwrotność a i używając dzielenia pętli, aby anulować zbędny czynnik a. W rezultacie pętle Bol mają dwustronne odwrotności.

Pętle Bol są również asocjacyjne potęgowo .

Pętle Brucka

Pętla Bol, w której wspomniana dwustronna odwrotność spełnia automorficzną właściwość odwrotną, ( ab ) ⁻¹ = a ⁻¹ b ⁻¹ dla wszystkich a, b w L , jest znana jako (lewa lub prawa) pętla Brucka lub K- pętla (nazwana na cześć amerykańskiego matematyka Richarda Brucka ). Przykładem w poniższej sekcji jest pętla Brucka.

Pętle Brucka mają zastosowanie w szczególnej teorii względności ; patrz Ungar (2002). grupom żyroskopowym Ungara (2002) , mimo że te dwie struktury są zdefiniowane inaczej.

Przykład

Niech L oznacza zbiór nxn dodatnio określonych , hermitowskich macierzy nad liczbami zespolonymi. Generalnie nie jest prawdą, że iloczyn macierzowy AB macierzy A , B w L jest hermitowski, nie mówiąc już o dodatnio określonym. Istnieje jednak unikalne P w L i niepowtarzalna macierz unitarna U taka, że ​​AB = PU ; to jest biegunowy rozkład AB . Zdefiniuj operację binarną * na L przez A * B = P . Wtedy ( L , *) jest lewą pętlą Brucka. Wyraźny wzór na * jest podany przez A * B = ( AB ² A ) ^1/2 , gdzie indeks górny 1/2 wskazuje unikalny dodatnio określony hermitowski pierwiastek kwadratowy .

algebra Bola

(po lewej) algebra Bola to przestrzeń wektorowa wyposażona w operację binarną ${\ Displaystyle [a, b] + [b, a] = 0}$ i operację trójskładnikową ${\ Displaystyle \ {a, b, c \}}$ , który spełnia następujące tożsamości:

${\ Displaystyle \ {a, b, c \} + \ {b, a, c \} = 0$

I

${\ Displaystyle \ {a, b, c \} + \ {b, c, a \} + \ {c ,a,b\}=0}$

I

${\ Displaystyle [\ {a, b, c \}, d] - [\ {a, b, d \}, c] + \ {c, d, [ a,b]\}-\{a,b,[c,d]\}+[[a,b],[c,d]]=0}$

I

${\ Displaystyle \ {a, b, \ {c, d, e \} \} - \ {\ {a, b, c \}, d, e \} - \ {c, \ {a,b,d\},e\}-\{c,d,\{a,b,e\}\}=0}$ .

Zauważ, że {.,.,.} działa jak potrójny system Liego . Jeśli A jest lewą lub prawą algebrą alternatywną , to ma powiązaną algebrę Bola ZA ^b , gdzie ${\ Displaystyle [a, b] = ab-ba}$ jest komutatorem i ${\ Displaystyle \ {a, b, c \} = \ langle b, c, a \ rangle}$ jest kojarzonym Jordanem .

•      Bol, G. (1937), "Gewebe und gruppen", Mathematische Annalen , 114 (1): 414–431, doi : 10.1007/BF01594185 , ISSN 0025-5831 , JFM 63.1157.04 , MR 1513147 , Zbl 0016.22 603
•   Kiechle, H. (2002). Teoria pętli K. Skoczek. ISBN 978-3-540-43262-3 .
•   Pflugfelder, HO (1990). Kwazigrupy i pętle: wprowadzenie . Heldermanna. ISBN 978-3-88538-007-8 . Rozdział VI dotyczy pętli Bol.
•   Robinson, DA (1966). „Pętle Bola” . Trans. Amer. Matematyka soc . 123 (2): 341–354. doi : 10.1090/s0002-9947-1966-0194545-4 . JSTOR 1994661 .
•   Ungar, AA (2002). Poza prawem dodawania Einsteina i jego żyroskopową precesją Thomasa: teoria grup żyroskopowych i przestrzeni żyroskopowych . Kluwer. ISBN 978-0-7923-6909-7 .