Pałeczki (gra ręczna)

„Pałeczki (gra)” przekierowuje tutaj. Aby zapoznać się z zagadką logiczną, zobacz Hashiwokakero .

Wyniki gry są śledzone na palcach obu rąk

Pałeczki (czasami nazywane kalkulatorem) to gra ręczna dla dwóch lub więcej graczy, w której gracze wyciągają pewną liczbę palców z każdej ręki i przekazują te wyniki, uderzając jedną ręką o drugą. Pałeczki są przykładem gry kombinatorycznej i są rozwiązane w tym sensie, że przy idealnej grze znana jest optymalna strategia z dowolnego punktu.

Zasady

Ten oficjalny zestaw zasad nazywa się kumulacją , w której pięć palców jest odejmowanych, jeśli suma ręki przekracza 5, jak opisano poniżej.

1. Ręka jest żywa , jeśli ma co najmniej jeden palec, co jest sygnalizowane przez podniesienie co najmniej jednego palca. Jeśli ręka nie ma palców, ręka jest martwa , co jest sygnalizowane przez podniesienie zerowych palców (tzn. zaciśniętą pięść).
2. Jeśli jakakolwiek ręka dowolnego gracza osiągnie dokładnie pięć palców, ręka jest martwa.
3. Każdy gracz zaczyna z jednym palcem uniesionym na każdej dłoni. Po wykonaniu tury pierwszego gracza kontynuuj zgodnie z ruchem wskazówek zegara.
4. W swojej turze gracz musi zaatakować lub podzielić . Istnieją dwa rodzaje podziałów, transferów i podziałów .
5. Aby zaatakować , gracz używa jednej ze swoich żywych rąk, aby uderzyć w żywą rękę przeciwnika. Liczba palców uderzanej ręki przeciwnika zwiększy się o liczbę palców ręki użytej do uderzenia.
6. Aby przenieść , gracz uderza w siebie obiema rękami i przenosi podniesione palce z jednej ręki do drugiej zgodnie z życzeniem. Jednak gracz nie może przenieść palców, aby ręka miała więcej niż 4 palce.
7. Jeśli gracz ma martwą rękę, gracz może podzielić palce między drugą ręką a martwą ręką, przenosząc palce z drugiej ręki do martwej ręki. Jednak gracze muszą zaatakować przynajmniej raz w trakcie gry.
8. Gracz z dwiema martwymi rękami zostaje wyeliminowany z gry.
9. Gracz wygrywa, gdy wszyscy przeciwnicy zostaną wyeliminowani.
10. Jeśli przekroczysz 5, odejmujesz sumę wszystkich liczb przez 5.

Skrót

Pozycję pałeczek można łatwo skrócić do czterocyfrowego kodu [ABCD]. A i B to ręce (w rosnącej kolejności palców) gracza, który ma wykonać swoją turę. C i D to ręce (w rosnącej kolejności palców) gracza, który nie zamierza wykonać swojej tury. Ważne jest, aby zanotować ręce każdego gracza w porządku rosnącym, aby pojedyncza odrębna pozycja nie była przypadkowo reprezentowana przez dwa kody. Na przykład kod [1032] jest niedozwolony i powinien być zapisany jako [0123].

Dlatego pozycją początkową jest [1111]. Następną pozycją musi być [1211]. Następną pozycją musi być [1212] lub [1312]. Traktując każdą pozycję jako liczbę 4-cyfrową, najmniejszą pozycją jest 0000, a największą pozycją jest 4444.

Ta formuła skrótu łatwo rozszerza się na gry z większą liczbą graczy. Gra trzyosobowa może być reprezentowana przez sześć cyfr (np. [111211]), gdzie każda para sąsiednich cyfr reprezentuje jednego gracza, a każda para jest uporządkowana na podstawie tego, kiedy gracze wykonają swoje tury. Skrajna lewa para reprezentuje ręce gracza, który ma wykonać swoją turę; środkowa para reprezentuje gracza, który przejdzie dalej i tak dalej. Skrajna prawa para reprezentuje gracza, który musi czekać najdłużej na swoją kolej (zwykle dlatego, że właśnie poszedł).

Ruchy

Zgodnie z normalnymi zasadami istnieje maksymalnie 14 możliwych ruchów:

• Cztery ataki (AC, AD, BC, BD)
• Cztery dywizje (02–11, 03–12, 04–13, 04–22)
• Sześć transferów (13–22, 22–13, 14–23, 23–14, 24–33, 33–24)

Jednak tylko 5 lub mniej z nich jest dostępnych w danej turze. Na przykład wczesna pozycja 1312 może przejść do 2213, 1313, 2413, 0113 lub 1222.

Długość gry

Najkrótsza możliwa gra to 5 ruchów. Jest jeden przypadek:

1. 1111 1211 1312 0113 1401 0014

Najdłuższa możliwa gra, która z każdym ruchem oddala się od punktu początkowego, to 9 ruchów. Istnieją dwa przypadki:

1. 1111 1211 1212 2212 2322 0223 0202 0402 0104 0001
2. 1111 1211 1212 2312 2323 0323 0303 0103 0401 0004

Najdłuższa możliwa gra z rewizytą jest nieograniczona.

Pozycje

Ponieważ kwota kumulacji wynosi 5, pałeczki są grą bazową 5. Każda pozycja ma cztery cyfry. Liczenie od 0000 do 4444 (przy podstawie 5) daje 625 pozycji. Jednak większość z tych pozycji to nieprawidłowe zapisy (np. 0132, 1023 i 1032). Wyglądają inaczej, ale funkcjonalnie są takie same w rozgrywce. Aby znaleźć liczbę funkcjonalnie odrębnych pozycji, podnieś liczbę funkcjonalnie odrębnych par do kwadratu. Istnieje 15 różnych par (00, 01, 02, 03, 04, 11, 12, 13, 14, 22, 23, 24, 33, 34 i 44). Ponieważ każdy gracz może mieć dowolną z tych par, po prostu mnożymy 15*15, co daje 225 funkcjonalnie odrębnych pozycji.

• Jest 625 stanowisk, w tym zwolnienia.
• Istnieje 225 funkcjonalnie odrębnych pozycji.
• Dostępne są 204 pozycje.

Istnieje 21 nieosiągalnych pozycji: 0000, 0100, 0200, 0300, 0400, 1100, 1101, 1200, 1300, 1400, 2200, 2202, 2300, 2400, 3300, 3303, 3400, 3444, 44 00, 4404 i 4444.

1. 15 z nich to po prostu jeden gracz posiadający każdą z 15 różnych par, a drugi gracz jest martwy. Problem polega na tym, że martwy gracz to gracz, który właśnie wykonał swoją turę (stąd „00” po prawej stronie). Ponieważ gracz nie może przegrać we własnej turze, te pozycje są oczywiście nieosiągalne.
2. 4 z tych par to miejsca, w których gracz porusza się mając [kk], a drugi gracz ma [0k], gdzie ${\ displaystyle 0 <k <5}$ . Jest to nieosiągalne, ponieważ gracz, który właśnie osiągnął [0k], nie byłby w stanie się rozdzielić, więc musiał zaatakować, używając swojego [0k]. Ale nie ma sposobu, aby użyć [0k] do zaatakowania wroga, aby przesunął się do [kk]. Wymagałoby to zaatakowania martwej ręki, co jest nielegalne.
3. Pozostałe dwie pozycje to 3444 i 4444. 4444 jest nieosiągalne, ponieważ gracz nie może osiągnąć [44] ze splitu i dlatego musiał już mieć [44]. Jedyną możliwą parą, która trafia do [44] po tym, jak została zaatakowana przez [44], jest [04], co ponownie wymaga zaatakowania martwej ręki. 3444 jest rzeczywiście osiągalny, ale tylko z 4444. Ponieważ 4444 nie jest osiągalny z 4444, 3444 też nie jest.

Istnieje 14 osiągalnych końcówek: 0001, 0002, 0003, 0004, 0011, 0012, 0013, 0014, 0022, 0023, 0024, 0033, 0034, 0044. Satysfakcjonujące jest to, że jest to 14 możliwych końcówek; innymi słowy, ktoś może wygrać, używając dowolnej z 14 różnych żywych par. Z tych 14 końcówek pierwszy gracz wygrywa 8 z nich, zakładając, że partie kończą się minimalną liczbą ruchów.

Wariacje

• Misère : Pierwszy gracz, któremu zabito obie ręce, wygrywa.
• Samobójstwo : Gracze mogą zabić jedną ze swoich rąk za pomocą podziału. Na przykład w pozycji [1201] gracz mógłby wykonać 12–03, doprowadzając grę do [0103]. Przeciwnik jest zmuszony do zagrania BD, doprowadzając grę do [0401], w którym to momencie możliwa jest szybka wygrana pierwszego gracza.
• Swaps / Cherri : Jeśli gracze mają dwie nierówne żywe ręce, mogą je zamienić (choć tracą swoją kolejkę). Ta odmiana zwykle daje remis przez powtórzenie lub nieskończoną pętlę z oczywistych powodów. Aby tego uniknąć, można nałożyć ograniczenia na liczbę kolejnych zamian, które gracz może wykonać bez bycia atakowanym, zanim zostanie zmuszony do ataku.
• Nagła śmierć : Gracze przegrywają, gdy zostaje im tylko jeden palec (na obu rękach). Alternatywnie, każdy gracz mógłby zacząć z trzema życiami i za każdym razem, gdy dojdzie do [01], traci jedno życie.
• Meta : Jeśli suma rąk gracza przekracza pięć, może je połączyć, odjąć pięć od sumy, a następnie podzielić resztę. Na przykład [44] sumuje się do 8. Zgodnie z regułami meta, 4 i 4 można połączyć w 8, które po odjęciu pięciu staje się 3; można je następnie podzielić na [12]. Dlatego możliwe jest przejście z [44] do [12] w jednym ruchu. Meta odblokowuje 2 nowe możliwe ruchy (34–11, 44–12). Jeśli grasz zarówno Meta, jak i Suicide, cztery dodatkowe ruchy są odblokowane (24–01, 33–01, 34–02, 44–03), łącznie maksymalnie 20 możliwych ruchów.
• Klauzula Logana : Gracze mogą popełnić samobójstwo i zamienić się, ale tylko wtedy, gdy robią jedno i drugie jednocześnie (tj. zamieniają martwą rękę na żywą).
• Odcięcie : Jeśli ręka znajdzie się powyżej pięciu palców, jest martwa (w przeciwieństwie do przewrócenia opisanego w oficjalnych zasadach).
• Zombie : przy trzech lub więcej graczach, jeśli gracz zostanie znokautowany, zostaje na stałe zredukowany do jednego palca jednej ręki. W swojej turze mogą atakować, ale nie mogą się dzielić ani zostać zaatakowani (wymyślone przez Chrisa Bandy'ego).
• Tylko transfery : Podziały są niedozwolone. Jedynymi dozwolonymi podziałami są transfery.
• Tylko dywizje : Transfery są niedozwolone. Jedynymi dozwolonymi podziałami są podziały.
• Połówki : Dzielenie jest dozwolone tylko w przypadku dzielenia liczby parzystej na dwie równe połowy lub opcjonalnie liczby nieparzystej dzielonej tak równo, jak to możliwe (przy użyciu liczb całkowitych). W tej odmianie drugi gracz ma zwycięską strategię (zawsze może wymusić wygraną).
• Pniaki : Jeśli gracz znajduje się w [01], legalny jest podział na [0,5 0,5].
• Więcej rąk : Każdy gracz ma więcej niż dwie ręce. Zwykle gra się w zespołach składających się z wielu osób, ponieważ ludzie mają tylko dwie ręce. Przy większej liczbie rozdań na gracza możliwe są różne zasady transferu, podziału, zamiany i samobójstwa, które obejmują między innymi:
  • Pojedynczy transfer : Każdy gracz może przenosić palce tylko między dwiema rękami.
  • Wielokrotny transfer : każdy gracz może przenosić palce między więcej niż dwiema rękami, o ile wynikowy stan różni się od pierwotnych stanów
  • Single Division : Gracz może przenosić palce tylko z jednej ręki do tylko jednej martwej ręki.
  • Partition : Gracz może przenosić palce tylko z jednej ręki do wielu martwych rąk.
  • Transfer i partycja : Gracz może przenosić palce z wielu rąk, aby ożywić martwe ręce.
• Różne liczby : Ręka umiera, gdy osiągnie liczbę dodatnią ${\ displaystyle r}$ . ${\ displaystyle r = 5}$ to standardowy wariant pałeczek. Różne systemy liczenia rąk mogą być stosowane dla liczb większych niż 5, takich jak chińskie cyfry ręczne , liczenie palców senarnych i binarny palec . Ta odmiana często obejmuje najazdy.
• Słońca : Obaj gracze zaczynają z 4 w każdej ręce ([4444]). Jest to pozycja nieosiągalna w normalnej rozgrywce (tj. z pozycji otwarcia [1111]).
• Liczby całkowite : Dozwolona jest zamiana jednej z własnych rąk poprzez odwrócenie jej, zmiana znaku +/- ręki. Pozwala to na ujemne i zerowe ręce, chociaż ręka nadal umiera przy 5 lub -5. W przypadku kumulacji akcja ta staje się identyczna z zamianą wartości ręki na 5 minus wartość.
• Unnamed : Atakowanie własnymi rękami jest dozwolone, dodając dwa dodatkowe ruchy (AB, BA). Zazwyczaj rozgrywane w połączeniu z wariantami zamiany i odcięcia.

Optymalna strategia

Korzystając z powyższych zasad, dwóch doskonałych graczy będzie grać w nieskończoność; gra będzie kontynuowana w pętli. W rzeczywistości nawet bardzo niedoświadczeni gracze mogą uniknąć przegranej, patrząc po prostu o jeden ruch do przodu.

W wariancie odcięcia pierwszy gracz może wymusić wygraną. Jedną ze zwycięskich strategii jest zawsze osiąganie jednej z następujących konfiguracji po każdym ruchu, preferencyjnie wybierając pierwszą z listy, jeśli jest więcej niż jeden wybór.

• [1211] (zaczynając tutaj)
• [ab12], gdzie aib mogą oznaczać dowolną liczbę palców (wygrywając natychmiast, jeśli to możliwe)

I odwrotnie, w wariancie Division i Suicide only drugi gracz ma zwycięską strategię.

Uogólnienia

Pałeczki można uogólnić na grę typu (p, r), gdzie p to liczba graczy, a r to kwota kumulacji.

Mniej niż dwóch graczy

Gra z jednym graczem trywialnie wygrywa grę, ponieważ jest ostatnim graczem w grze. Gra z zerowymi graczami jest również trywialna, ponieważ w grze nie ma graczy, a zatem nie ma zwycięzców.

Dwóch graczy

Biorąc pod uwagę przewrócenie, ${\ displaystyle r$ }

• Istnieją $zwolnienia$ .
• Istnieją funkcjonalnie odrębne pozycje ${\ displaystyle {r + 1 \ wybierz 2} ^ {2}}$
• dla ${\ Displaystyle r> 2}$ , są ${\ Displaystyle {r + 1 \ wybierz 2} ^ {2}-\left({r+1 \choose 2}+(r-1)+2\right)}$ osiągalne pozycje.

$gra$ kwota kumulacji wynosi $pałeczki$ to podstawowa . Każda pozycja ma $długość 4$ . $Wyliczenie$ wszystkich liczb $bazie$ 4 $daje$ pozycje . Jednak większość z tych pozycji to nieprawidłowe zapisy (np. 1002, 0120 i 1020). Wyglądają inaczej, ale funkcjonalnie są takie same w rozgrywce. Aby znaleźć liczbę funkcjonalnie odrębnych pozycji, podnieś liczbę funkcjonalnie odrębnych par do kwadratu. $r +$ przewrócenia się $istnieją$ różne gdzie $Displaystyle$$trójkątna$ to -ta liczba . $mieć dowolną z tych par$ podnosimy wynikową wartość do kwadratu, co daje nam pozycje

Istnieją ${\ Displaystyle {r + 1 \ wybór 2} + (r-1) + 2}$ nieosiągalne pozycje dla ${\ displaystyle r> 2}$ .

1. ${\ Displaystyle {r + 1 \ wybierz 2}}$ z nich to po prostu jeden gracz mający każdą z odrębnych par i ${\ Displaystyle {r + 1 \ wybierz 2}}$ drugi gracz nie żyje. Problem polega na tym, że martwym graczem jest gracz, który właśnie wykonał swoją turę. Ponieważ gracz nie może przegrać we własnej turze, te pozycje są oczywiście nieosiągalne.
2. ${\ Displaystyle (r-1)}$ z tych pozycji mają miejsce, gdy gracz, którego jest kolej, ma dwie wartościowe ręce ${\ displaystyle k}$ dla ${\ displaystyle 0 <k < r}$ , a drugi gracz ma tylko jedną żywą rękę o wartości ${\ displaystyle k}$ . Te pozycje są nieosiągalne, ponieważ gracz, który ma tylko jedną żywą rękę o wartości, $.$ byłby w stanie podzielić, więc ten gracz musiał zaatakować, używając swojej jedynej żywej głowy Ale nie ma sposobu, aby użyć swojej jedynej żywej ręki do zaatakowania wroga, tak aby miał dwie wartościowe ręce $,$ wymagałoby to zaatakowania martwej ręki, co jest nielegalne.
3. Pozycja, w której obaj gracze mają dwie wartościowe ręce ${\ displaystyle r-1}$ . Te pozycje są nieosiągalne, ponieważ każdy gracz, który ma tylko ręce o wartości, $nie byłby w$ podzielić, więc ten gracz musiał zaatakować, używając jednej z jego wartości $displaystyle r- 1}$ ręce. Ale nie ma sposobu, aby użyć wartościowej ręki, aby mieć wartościowe ręce $,$$ponieważ$ to zaatakowania ręki $displaystyle r-1$ martwa ręka, co jest nielegalne.
4. Pozycja, w której gracz, którego jest kolej, ma jedną rękę o wartości ${\ displaystyle r-2}$ i jedną rękę o wartości ${\ displaystyle r-1}$ , a drugi gracz ma dwie ręce o wartości r - 2 {\ displaystyle ${\ displaystyle r-1}$ . Ta pozycja jest osiągalna tylko z poprzedniej pozycji, ale poprzednia pozycja nie jest osiągalna z pozycji początkowej, więc ta pozycja też nie jest.

Kwota obrotu	Pozycje	Funkcjonalnie odrębne stanowiska	Osiągalne pozycje
3	81	36	26
4	256	100	85
5	625	225	204
6	1296	441	413
7	2401	784	748
8	4096	1296	1251
9	6561	2025	1970
10	10000	3025	2959
11	14641	4356	4278
12	20736	6084	5993

Więcej niż dwóch graczy

Biorąc pod uwagę obrót 5.

• Przy 2 graczach są 204 pozycje.
• Przy 3 graczach jest 3337 pozycji.
• Przy 4 graczach jest ponad 25 000 pozycji.

Zdegenerowane przypadki

Gra z kumulacją równą 1 jest grą trywialną , ponieważ wszystkie ręce są martwe na początku, gdy wartości jedynki stają się wartościami zerowymi .

Gra z kumulacją równą 2 jest zdegenerowana , ponieważ dzielenie jest niemożliwe, a warianty kumulacji i odcięcia skutkują tą samą grą. Ręce są albo „żywe”, albo „martwe”, a atakowanie ręki zabija tę rękę. W rzeczywistości można po prostu policzyć liczbę „ręk” gracza (używając palców lub innej metody liczenia), a kiedy gracz atakuje przeciwnika, liczba rąk, które ma przeciwnik, zmniejsza się o jeden. ${\ displaystyle 2p-1$$-$ łącznie , a długość gry wynosi . Gra dla dwóch graczy jest zdecydowanie rozwiązana jako wygrana pierwszej osoby.

Kiedy dwóch graczy ma tylko jedną rękę, gra staje się zdegenerowana , ponieważ nie mogą wystąpić podziały, a każdy gracz ma tylko jeden ruch. Biorąc $F_ {k + 1} {\ bmod {r}} \ prawo)} , gdzie jest k {\ Displaystyle$ uwagę przewrócenie każdej pozycji po $r$$w$ grze, można ją przedstawić za pomocą krotki $\ displaystyle \ lewo (F_$$}$$displaystyle k}$ F_ { $}$ -ta liczba Fibonacciego z ${\ displaystyle F_ {0} = 0}$ i ${\ displaystyle F_ {1} = 1}$ . Liczba pozycji jest podana przez najmniejszą liczbę dodatnią $dzieli$ , że fa $displaystyle$$F_ {k + 2}$ . Ten $rozwiązany$ jako wygrana dla każdej ze stron w zależności od właściwości podzielności liczb Fibonacciego . Długość gry wynosi ${\ displaystyle k + 1}$ .

Zobacz też

• Morra (gra) – inna gra ręczna, która opiera się bardziej na przypadku niż na logice.

Linki zewnętrzne

• Bezkonkurencyjny pałeczki AI Bot . Ten bot gra w grę za pomocą kumulacji i transferów.