Parastatystyka

W mechanice kwantowej i mechanice statystycznej parastatystyka jest jedną z kilku alternatyw dla lepiej znanych modeli statystyki cząstek ( statystyka Bosego – Einsteina , statystyka Fermiego – Diraca i statystyka Maxwella – Boltzmanna ). Inne alternatywy obejmują statystykę anyoniczną i statystykę warkocza , obie obejmują niższe wymiary czasoprzestrzeni. Herbertowi S. Greenowi przypisuje się stworzenie parastatystyki w 1953 roku.

Formalizm

Rozważmy algebrę operatorów układu N identycznych cząstek. To jest *-algebra . Istnieje S _N ( grupa symetryczna rzędu N ) działająca na algebrę operatorów z zamierzoną interpretacją permutacji cząstek N. Mechanika kwantowa wymaga skupienia się na obserwabliach mających znaczenie fizyczne, a obserwable musiałyby być niezmienne we wszystkich możliwych permutacjach N cząstki. Na przykład, w przypadku N = 2, R ₂ − R ₁ nie może być obserwowalne, ponieważ zmienia znak, jeśli zamienimy dwie cząstki, ale odległość między dwiema cząstkami: | R ₂ - R ₁ | jest uprawnioną obserwablią.

Innymi słowy, obserwowalna algebra musiałaby być niezmiennikiem *- podalgebry pod działaniem S _N (zwracając uwagę, że nie oznacza to, że każdy element niezmiennika operatora algebry pod S _N jest obserwowalny). Pozwala to na różne sektory superselekcji , z SN _których każdy jest sparametryzowany diagramem Younga .

W szczególności:

• Dla N identycznych parabozonów rzędu p (gdzie p jest dodatnią liczbą całkowitą) dopuszczalne diagramy Younga to wszystkie te, które mają p lub mniej wierszy.
• Dla N identycznych parafermionów rzędu p dopuszczalnymi diagramami Younga są wszystkie te, które mają p lub mniej kolumn.
• Jeśli p wynosi 1, sprowadza się to odpowiednio do statystyki Bosego-Einsteina i Fermiego-Diraca .
• Jeśli p jest dowolnie duże (nieskończone), sprowadza się to do statystyki Maxwella – Boltzmanna.

Kwantowa teoria pola

Pole parabozonu rzędu p , ${\ textstyle \ phi (x) = \$ _ { i = { p } ${\ Displaystyle [\ phi ^ {(i)} (x), \ phi ^ {(i)} (y)] = 0} i { ϕ ( ja ) ( x ) , ϕ ( jot ) ( y )} = {\ Displaystyle \ {\ phi ^ {(i)} (x), \ phi ^ {(j)} (y) \$$i\neq j$ = $\{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0$ if where [,] is the commutator and {,} is the anticommutator. Note that this disagrees with the spin-statistics theorem , czyli dla bozonów , a nie dla parabozonów. Może istnieć grupa taka jak Sp _grupa symetryczna działająca na φ ^{( i )} s. Obserwowalne musiałyby być operatorami niezmiennymi w danej grupie. Jednak istnienie takiej symetrii nie jest konieczne.

Pole parafermionowe ${\ textstyle \ psi (x) = \ suma _ {i = 1} ^ {p} \ psi ^ {(i)} (x)} rzędu p , gdzie$ jeśli x i y są punktami oddzielonymi przestrzennie , ${\ Displaystyle \ {\ psi ^ {(i)} (x), \ psi ^ {(i)} (y) \} = 0} i [ ψ ( ja ) ( x ) , ψ ( jot ) ( r ) ] = {\ Displaystyle [\ psi ^ {(i)} (x), \ psi$ ^ $[\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0$ if $i\neq j$. The same comment about observables would apply together with the requirement that they have even grading under the grading where the ψ s mają nieparzystą ocenę.

parafermionowe i parabosoniczne są generowane przez elementy, które przestrzegają relacji komutacji i antykomutacji. Uogólniają zwykłą algebrę fermionową i algebrę bozonową mechaniki kwantowej. Algebra Diraca i algebra Duffina-Kemmera-Petiau pojawiają się jako szczególne przypadki algebry parafermionowej dla rzędu odpowiednio p = 1 i p = 2.

Wyjaśnienie

Zauważ, że jeśli x i y są punktami oddzielonymi przestrzennie, φ ( x ) i φ ( y ) nie dojeżdżają ani nie dojeżdżają, chyba że p = 1. Ten sam komentarz dotyczy ψ ( x ) i ψ ( y ). Więc jeśli mamy n przestrzennopodobnych oddzielonych punktów x ₁ , ..., x _n ,

${\ Displaystyle \ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}$

odpowiada utworzeniu n identycznych parabozonów w x ₁ ,..., x _n . Podobnie,

${\ Displaystyle \ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle}$

odpowiada utworzeniu n identycznych parafermionów. Bo te pola ani nie dojeżdżają, ani nie dojeżdżają

${\ Displaystyle \ phi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ phi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}$

I

${\ Displaystyle \ psi (x _ {\ pi (1)}) \ cdots \ psi (x _ {\ pi (n)}) | \ Omega \ rangle}$

daje różne stany dla każdej permutacji π w S _n .

Możemy zdefiniować operatora permutacji przez ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ lewo [\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ prawej] = \ phi (x _ {\ pi ^ {-1} (1)}) \ cdots \ phi (x_ {\ pi ^ {-1} (n)}) | \ Omega \ rangle}$

I

${\ Displaystyle {\ mathcal {E}} (\ pi) \ lewo [\ psi (x_ {1}) \ cdots \ psi (x_ {n}) | \ Omega \ rangle \ prawej] = \ psi (x _ {\ pi ^ {-1} (1)}) \ cdots \ psi (x_ {\ pi ^ {-1} (n)}) | \ Omega \ rangle}$

odpowiednio. Można wykazać, że jest to dobrze zdefiniowane, o ile $n$ przez wektory podane powyżej (zasadniczo stany z identycznymi ). Jest również jednostkowy . Co więcej, reprezentacją grupy symetrycznej S _n z wartościami operatora i jako taka możemy $ją$ jako działanie S _n na n -cząsteczka sama przestrzeń Hilberta, przekształcając ją w reprezentację unitarną .

QCD można przeformułować za pomocą parastatystyki, gdzie kwarki są parafermionami rzędu 3, a gluony parabozonami rzędu 8. Należy zauważyć, że różni się to od konwencjonalnego podejścia, w którym kwarki zawsze przestrzegają relacji antykomutacyjnych i relacji komutacyjnych gluonów.

Zobacz też

• Transformacja Kleina na temat konwersji między parastatystykami a bardziej konwencjonalnymi statystykami.