Pierścień Burnside'a

W matematyce pierścień Burnside'a skończonej grupy jest konstrukcją algebraiczną, która koduje różne sposoby, w jakie grupa może działać na skończonych zbiorach. Idee te zostały wprowadzone przez Williama Burnside'a pod koniec XIX wieku. Algebraiczna struktura pierścieniowa jest nowszym rozwinięciem, dzięki Solomonowi (1967).

Definicja formalna

Mając skończoną grupę G , generatory jej pierścienia Burnside'a Ω( G ) są formalnymi sumami klas izomorfizmu skończonych zbiorów G . W przypadku struktury pierścienia dodawanie następuje przez rozłączne sumowanie zbiorów G i mnożenie przez ich iloczyn kartezjański .

Pierścień Burnside'a jest swobodnym modułem Z , którego generatorami są (klasy izomorfizmu ) orbity G.

Jeśli G działa na skończonym zbiorze X , to można napisać ${\ textstyle X = \ bigcup _ {i} X_ {i}}$ (rozłączny związek), gdzie każdy X _i jest pojedynczą orbitą G . Wybór Gi _dowolnego elementu x _i w X _i tworzy izomorfizm G / G _i → X _i , gdzie jest podgrupą stabilizującą (izotropową) G w x _i . Inny wybór reprezentatywnego yi _w Xi _daje_sprzężoną podgrupę Gi jako stabilizator. Pokazuje to, że generatorami Ω( G ) jako modułu Z są orbity G / H jako zakresy H w klasach koniugacji podgrup G .

Innymi słowy, typowym elementem Ω( G ) jest

{\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} [G / G_ {i}]}

gdzie ai w Z i G ₁ , G ₂_, ..., GN są przedstawicielami _klas koniugacji podgrup G .

Znaki

O ile teoria znaków upraszcza pracę z reprezentacjami grupowymi , znaki upraszczają pracę z reprezentacjami permutacji i pierścieniem Burnside'a.

Jeśli G działa na X , a H ≤ G ( H jest podgrupą G ), to znak H na X jest liczbą elementów X , które są ustalone przez każdy element H : ${\ Displaystyle m_ {X} (H) = \ lewo | X ^ {H} \ prawo |}$ gdzie

{\ Displaystyle X ^ {H} = \ {x \ w X \ mid h \ cdot x = x, \ forall h \ w H \}.}

Jeśli H i K są podgrupami sprzężonymi, to m _X ( H ) = m _X ( K ) dla dowolnego skończonego G -zbioru X ; rzeczywiście, jeśli K = gHg ⁻¹ , to X ^K = g · X ^H .

Łatwo też zauważyć, że dla każdego H ≤ G mapa Ω ( G ) → Z : X ↦ m _X ( H ) jest homomorfizmem. Oznacza to, że aby poznać znaki G , wystarczy je oszacować na generatorach Ω ( G ), a mianowicie. orbity G / H .

Dla każdej pary podgrup H , K ≤ G zdefiniuj

{\ Displaystyle m (K, H) = \ lewo | [G / K] ^ {H} \ prawo | = \ # \ lewo \ {gK \ w G / K \ środkowy HgK = gK \ prawo \}.}

To jest m _X ( H ) dla X = G / K . Warunek HgK = gK jest równoważny g ⁻¹ Hg ≤ K , więc jeśli H nie jest sprzężone z podgrupą K , to m ( K , H ) = 0.

Aby zapisać wszystkie możliwe znaki, tworzy się tabelę Burnside's Table of Marks w następujący sposób: Niech G ₁ (= trywialna podgrupa), _G 2 _, ..., GN = G będą przedstawicielami N klas koniugacji podgrup G , uporządkowane w taki sposób, że ilekroć G _i jest sprzężone z podgrupą G _j , to i ≤ j . Teraz zdefiniuj N × N (macierz kwadratową), której ( _i , j ) -ty wpis to m ( Gi , G _j ). Ta macierz jest dolna trójkątna, a elementy na przekątnej są niezerowe, więc jest odwracalna.

Wynika z tego, że jeśli X jest zbiorem G , a u jego wektorem rzędowym znaków, więc u _i = m _X ( G _i ), to X rozkłada się jako rozłączna suma a i _kopii orbity typu G _i , gdzie wektor a spełnia,

za M = u ,

gdzie M jest macierzą tabeli znaków. Twierdzenie to wynika z ( Burnside 1897 ).

Przykłady

Tabela ocen dla grupy cyklicznej rzędu 6:

Z ₆	1	Z ₂	Z ₃	Z ₆
Z ₆ / 1	6	.	.	.
Z ₆ / Z ₂	3	3	.	.
Z ₆ / Z ₃	2	0	2	.
Z ₆ / Z ₆	1	1	1	1

Tabela ocen dla grupy symetrycznej S ₃ :

S ₃	1	Z ₂	Z ₃	S ₃
S ₃ / 1	6	.	.	.
S ₃ / Z ₂	3	1	.	.
S ₃ / Z ₃	2	0	2	.
S ₃ / S ₃	1	1	1	1

Kropki w obu tabelach to same zera, co jedynie podkreśla fakt, że tabele mają kształt dolnego trójkąta.

(Niektórzy autorzy używają transpozycji tabeli, ale tak pierwotnie zdefiniował ją Burnside).

Fakt, że ostatni wiersz to wszystkie 1s, wynika z tego, że [ G / G ] to pojedynczy punkt. Wyrażenia na przekątnej to m ( H , H ) = | N _G ( H )/ H |. Liczby w pierwszej kolumnie pokazują stopień reprezentacji.

Strukturę pierścienia Ω ( G ) można wywnioskować z tych tablic: generatory pierścienia (jako modułu Z ) są wierszami tabeli, a iloczyn dwóch generatorów ma znak określony przez iloczyn znaków ( czyli składowe mnożenie wektorów rzędowych), które następnie można rozłożyć na liniową kombinację wszystkich rzędów. Na przykład z S3 _,

{\ Displaystyle [G / \ mathbf {Z} _ {2}] \ cdot [G / \ mathbf {Z} _ {3} ]=[G/1],}

jako (3, 1, 0, 0).(2, 0, 2, 0) = (6, 0, 0, 0).

Reprezentacje permutacyjne

Z dowolnym skończonym zbiorem X związana jest przestrzeń wektorowa V = V _X , która jest przestrzenią wektorową z elementami X jako podstawą (przy użyciu dowolnego określonego ciała). Działanie skończonej grupy G na X indukuje działanie liniowe na V , zwane reprezentacją permutacyjną . Zbiór wszystkich skończenie wymiarowych reprezentacji G ma strukturę pierścienia, reprezentacyjnego pierścienia , oznaczanego jako R(G) .

Dla danego G - zbioru X charakter powiązanej reprezentacji to

{\ Displaystyle \ chi (g) = m_ {X} (\ langle g \ rangle)}

gdzie ${\ Displaystyle \ langle g \ rangle}$ jest grupą cykliczną generowaną przez ${\ displaystyle g}$ .

Wynikowa mapa

{\ Displaystyle \ beta: \ Omega (G) \ longrightarrow R (G)}

przyjęcie zbioru G do odpowiedniej reprezentacji nie jest na ogół ani iniekcyjne, ani surjekcyjne.

Najprostszy przykład pokazujący, że β nie jest na ogół iniekcją, dotyczy G = S ₃ (patrz tabela powyżej) i jest podany przez

{\ Displaystyle \ beta (2 [S_ {3} / \ mathbf {Z} _ {2}] + [S_ {3} / \ mathbf {Z} _ {3}]) = \ beta ([S_ {3} ]+2[S_{3}/S_{3}]).}

Rozszerzenia

Pierścień Burnside'a dla grup zwartych jest opisany w ( tom Dieck 1987 ).

Hipoteza Segala wiąże pierścień Burnside'a z homotopią .

Zobacz też

Kategoria Burnside'a

Burnside, William (1897), Teoria grup skończonego porządku , Cambridge University Press
tom Dieck, Tammo (1987), Grupy transformacyjne , de Gruyter Studies in Mathematics, tom. 8, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-009745-0 , MR 0889050 , OCLC 217014538
Dress, Andreas (1969), „Charakterystyka grup rozwiązywalnych”, Math. Z. , 110 (3): 213–217, doi : 10.1007/BF01110213
Kerber, Adalbert (1999), Zastosowane skończone działania grupowe , Algorytmy i kombinatoryka, tom. 19 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-65941-9 , MR 1716962 , OCLC 247593131
Solomon, L. (1967), „Algebra Burnside'a skończonej grupy”, J. Comb. Teoria , 1 : 603–615