przypuszczenie Segala

Hipoteza Segala o pierścieniu Burnside'a lub, mówiąc krócej, hipoteza Segala , jest twierdzeniem w teorii homotopii , gałęzi matematyki . Twierdzenie wiąże pierścień Burnside'a skończonej grupy G ze stabilną kohomotopią przestrzeni klasyfikacyjnej BG . Przypuszczenie zostało postawione w połowie lat 70. przez Graeme'a Segala i udowodnione w 1984 roku przez Gunnara Carlssona . Od 2016 roku to stwierdzenie jest nadal powszechnie określane jako hipoteza Segala, mimo że ma teraz status twierdzenia.

Stwierdzenie twierdzenia

Hipoteza Segala ma kilka różnych sformułowań, z których nie wszystkie są równoważne. Oto słaba forma: dla każdej skończonej grupy G istnieje izomorfizm

{\ Displaystyle \ varprojlim \ pi _ {S} ^ {0} \ lewo (BG_ {+} ^ {(k)} \ prawej) \ do {\ widehat {A}} (G).}

Tutaj lim oznacza granicę odwrotną , $π$ _S * oznacza stabilny pierścień kohomotopii, B oznacza przestrzeń klasyfikującą, indeks górny k oznacza k - szkielet , a indeks dolny + oznacza dodanie rozłącznego punktu bazowego. Po prawej stronie kapelusz oznacza ukończenie pierścienia Burnside'a w odniesieniu do jego ideału augmentacji .

Pierścień Burnside'a

Pierścień Burnside'a skończonej grupy G jest skonstruowany z kategorii skończonych zbiorów G jako grupa Grothendiecka . Dokładniej, niech M ( G ) będzie monoidem przemiennym klas izomorfizmu skończonych G -zbiorów, z dodatkiem rozłącznej sumy G -zbiorów i elementu tożsamości zbioru pustego (który jest G -zbiorem w unikalny sposób). Następnie A ( G ), grupa Grothendiecka M ( G ) jest grupą abelową. W rzeczywistości jest to wolna grupa abelowa z elementami bazowymi reprezentowanymi przez zbiory G G / H , gdzie H zmienia się w podgrupach G. (Zauważ, że H nie zakłada się tutaj, że jest normalną podgrupą G , ponieważ chociaż G / H nie jest w tym przypadku grupą, to nadal jest zbiorem G. ) Struktura pierścienia na A ( G ) jest indukowana przez bezpośredni produkt z zestawy G ; tożsamość multiplikatywna to (klasa izomorfizmu dowolnego) zbioru jednopunktowego, który w unikalny sposób staje się zbiorem G.

Pierścień Burnside'a jest odpowiednikiem pierścienia reprezentacji w kategorii zbiorów skończonych, w przeciwieństwie do kategorii skończenie wymiarowych przestrzeni wektorowych nad polem (patrz motywacja poniżej). Okazało się, że jest ważnym narzędziem w teorii reprezentacji grup skończonych.

Przestrzeń klasyfikacyjna

Dla dowolnej grupy topologicznej G dopuszczającej strukturę CW-kompleksu , można rozważyć kategorię głównych wiązek G. Można zdefiniować funktor z kategorii CW-zespołów do kategorii zbiorów, przypisując każdemu CW-zespołowi X zbiór głównych wiązek G na X . Ten funktor schodzi do funktora w kategorii homotopii kompleksów CW i naturalne jest pytanie, czy tak otrzymany funktor jest reprezentowalny . Odpowiedź jest twierdząca, a obiekt reprezentujący nazywa się przestrzenią klasyfikującą grupy G i zazwyczaj oznacza BG . Jeśli ograniczymy naszą uwagę do kategorii homotopii kompleksów CW, to BG jest wyjątkowy. Każdy kompleks CW, który jest homotopią równoważną z BG, nazywany jest modelem dla BG .

Na przykład, jeśli G jest grupą rzędu 2, to model dla BG jest nieskończenie wymiarową rzeczywistą przestrzenią rzutową. Można pokazać, że jeśli G jest skończony, to dowolny BG modelujący CW-kompleks ma komórki o dowolnie dużych wymiarach. Z drugiej strony, jeśli G = Z , liczby całkowite, to przestrzeń klasyfikacyjna BG jest homotopią równoważną okręgowi S ¹ .

Motywacja i interpretacja

Treść twierdzenia staje się nieco jaśniejsza, jeśli zostanie umieszczona w kontekście historycznym. W teorii reprezentacji grup skończonych można utworzyć obiekt $pierścieniem$ reprezentacji w sposób całkowicie analogiczny do przedstawionej konstrukcji pierścienia Burnside'a $\ Displaystyle R [G]}$ powyżej. Stabilna kohomotopia jest w pewnym sensie naturalnym odpowiednikiem złożonej teorii K , co jest oznaczone ${\ Displaystyle KU ^ {*}}$ . Segal zainspirował się do postawienia hipotezy po tym, jak Michael Atiyah udowodnił istnienie izomorfizmu

{\ Displaystyle KU ^ {0} (BG) \ do {\ widehat {R}} [G]}

co jest szczególnym przypadkiem twierdzenia Atiyaha – Segala o uzupełnieniu .

Adams, J. Frank (1980). „Przypuszczenie pierścienia Burnside'a Graeme'a Segala” . Sympozjum topologiczne, Siegen 1979 . Notatki z wykładów z matematyki. Tom. 788. Berlin: Springer. s. 378–395. MR 0585670 .
Carlsson, Gunnar (1984). „Ekwiwariantna stabilna homotopia i hipoteza pierścienia Burnside'a Segala”. Roczniki matematyki . 120 (2): 189–224. doi : 10.2307/2006940 . JSTOR 2006940 . MR 0763905 .