Twierdzenie Atiyaha-Segala o uzupełnieniu

Twierdzenie Atiyaha – Segala o uzupełnieniu jest twierdzeniem matematycznym o ekwiwariantnej teorii K w teorii homotopii . Niech G będzie zwartą grupą Liego i niech X będzie G - CW-kompleksem . Twierdzenie następnie stwierdza, że ​​mapa projekcji

${\ Displaystyle \ pi \ dwukropek X \ razy EG \ do X}$

indukuje izomorfizm proringów

${\ Displaystyle \ pi ^ {*} \ dwukropek K_ {G} ^ {*} (X) _ {\ widehat {I \,}} \ do K ^ {*} ((X \ razy EG) / G). }$

Tutaj indukowana mapa ma jako domenę uzupełnienie G -ekwiwariantnej K-teorii X w odniesieniu do I , gdzie I oznacza ideał augmentacji pierścienia reprezentacji G .

W szczególnym przypadku punktu X , twierdzenie specjalizuje się w dawaniu izomorfizmu ${\ Displaystyle K ^ {*} (BG) \ cong R (G) _ {\ widehat {I\,}}}$ między K-teorią przestrzeni klasyfikującej G a zakończeniem pierścienia reprezentacji.

Twierdzenie to można interpretować jako dające porównanie między geometrycznym procesem przyjmowania ilorazu homotopii przestrzeni G , poprzez uwolnienie działania przed przejściem do ilorazu, a algebraicznym procesem dopełniania względem ideału.

Twierdzenie zostało po raz pierwszy udowodnione dla grup skończonych przez Michaela Atiyah w 1961 r., A dowód ogólnego przypadku został opublikowany przez Atiyah wraz z Graeme Segalem w 1969 r. Od tego czasu pojawiły się różne dowody uogólniające twierdzenie do końca w odniesieniu do rodzin podgrup. Odpowiednie stwierdzenie dla algebraicznej teorii K zostało udowodnione przez Aleksandra Merkurjewa , utrzymującego w przypadku, gdy grupa jest algebraiczna względem liczb zespolonych.

Zobacz też

• Przypuszczenie Segala