Pierwsza dekompozycja 3-rozmaitości

W matematyce twierdzenie o rozkładzie liczb pierwszych dla 3-rozmaitości głosi, że każda zwarta , orientowalna 3-rozmaitość jest spójną sumą unikalnego ( z dokładnością do homeomorfizmu ) skończonego zbioru pierwszych 3-rozmaitości .

Rozmaitość jest liczbą pierwszą , jeśli nie można jej przedstawić jako połączonej sumy więcej niż jednej rozmaitości, z których żadna nie jest kulą tego samego wymiaru. Ten warunek jest konieczny, ponieważ dla dowolnej rozmaitości M o wymiarze jest prawdą, że ${\ displaystyle n}$

$${\ Displaystyle M = M \ # S ^ {n}.}$$

(gdzie ${\ displaystyle M$ połączoną sumę i $}$ i $\ displaystyle S ^ {n}$ . Jeśli jest to pierwsza 3-rozmaitość, to albo jest to $albo$ nieorientowalna $^ {1}}$$Displaystyle$ pakiet ponad ${\ Displaystyle S ^ {1},}$ lub jest nieredukowalny , co oznacza, że ​​każda osadzona 2-kula ogranicza piłkę. Tak więc twierdzenie można powtórzyć, mówiąc, że istnieje unikalny połączony rozkład sumy na nieredukowalne 3-rozmaitości i wiązki włókien ${\ displaystyle S ^ {2}}$ nad ${\ Displaystyle S ^ {1}.}$

Rozkład pierwszy dotyczy również nieorientowalnych 3-rozmaitości, ale stwierdzenie wyjątkowości musi zostać nieco zmodyfikowane: każda zwarta, nieorientowana 3-rozmaitość jest połączoną sumą nieredukowalnych 3-rozmaitości i nieorientowalnych S 2 { $S ^{2}}$ wiązek w ${\ displaystyle S ^ {1}.} Ta suma jest unikalna$$, że każda$${\ Displaystyle S ^ {1}.}$ jest albo nieredukowalna, albo nieorientowalna wiązką nad

Dowód opiera się na technikach normalnej powierzchni, zapoczątkowanych przez Hellmutha Knesera . Istnienie zostało udowodnione przez Knesera, ale dokładnego sformułowania i dowodu wyjątkowości dokonał ponad 30 lat później John Milnor .

•     Hempel, Jan (1976). 3-kolektory . Roczniki Studiów Matematycznych . Tom. 86. Princeton, NJ: Princeton University Press . doi : 10.1090/chel/349 . ISBN 0-8218-3695-1 . MR 0415619 . Zbl 0345.57001 .
•     Jaco, William (1980). Wykłady z topologii trójrozmaitościowej . Regionalna seria konferencji CBMS z matematyki. Tom. 43. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne . doi : 10.1090/cbms/043 . ISBN 0-8218-1693-4 . MR 0565450 . Zbl 0433.57001 .
•   Kneser, Hellmuth (1929). „Geschlossene Flächen in dreidimensionalen Mannigfaltigkeiten” . Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung . 38 : 248–259. doi : 10.1515/9783110894516.147 . JFM 55.0311.03 .
•     Milnor, J. (1962). „Unikalne twierdzenie o rozkładzie dla 3 rozmaitości”. American Journal of Mathematics . 84 (1): 1–7. doi : 10.2307/2372800 . MR 0142125 . S2CID 122595895 . Zbl 0108.36501 .