Podejdź do przestrzeni

W topologii , gałęzi matematyki , przestrzenie podejść są uogólnieniem przestrzeni metrycznych , opartym na odległościach punkt-zbiór , zamiast odległości punkt-punkt. Zostały one wprowadzone przez Roberta Lowena w 1989 roku w serii artykułów na temat teorii podejścia w latach 1988-1995.

Definicja

Mając przestrzeń metryczną ( X , d ), lub bardziej ogólnie rozszerzoną pseudokwasimetryczną (która będzie tutaj oznaczana skrótem ∞pq-metric ), można zdefiniować odwzorowanie indukowane d : X × P( X ) → [0,∞] przez re ( x , ZA ) = inf { re ( x , za ) : za ZA }. Biorąc pod uwagę ten przykład, odległość na X jest zdefiniowana jako mapa X × P( X ) → [0,∞] spełniająca dla wszystkich x w X i A , B X ,

  1. re ( x , { x }) = 0,
  2. re ( x , Ř) = ∞,
  3. re ( x , ZA b ) = min ( re ( x , ZA ), re ( x , b )),
  4. Dla wszystkich 0 ≤ ε ≤ ∞, re ( x , ZA ) ≤ d ( x , ZA (ε) ) + ε,

gdzie definiujemy A (ε) = { x : d ( x , A ) ≤ ε}.

(Konwencja „ puste infimum to dodatnia nieskończoność” przypomina konwencję zerowego przecięcia jest konwencją wszystkiego ).

Przestrzeń podejścia jest zdefiniowana jako para ( X , d ) , gdzie d jest funkcją odległości na X . Każda przestrzeń podejścia ma topologię , określoną przez traktowanie A A (0) jako operatora domknięcia Kuratowskiego .

Odpowiednimi mapami między przestrzeniami podejścia są skurcze . Przekształcenie f : ( X , d ) → ( Y , e ) jest skróceniem, jeśli e ( f ( x ), fa [ A ]) ≤ d ( x , A ) dla wszystkich x X i A X .

Przykłady

Każda przestrzeń ∞pq-metryczna ( X , d ) może być zdystansowana do ( X , d ), jak opisano na początku definicji.

Biorąc pod uwagę zbiór X , dyskretna odległość jest dana przez d ( x , A ) = 0 jeśli x A i d ( x , A ) = ∞ jeśli x A . Topologia indukowana jest topologią dyskretną .

Biorąc pod uwagę zbiór X , niedyskretna odległość jest dana przez d ( x , A ) = 0, jeśli A jest niepuste, oraz d ( x , A ) = ∞, jeśli A jest puste. Topologia indukowana jest topologią niedyskretną.

Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną X , odległość topologiczna jest dana przez d ( x , A ) = 0 jeśli x A , oraz d ( x , A ) = ∞ w przeciwnym razie. Topologia indukowana jest topologią pierwotną. W rzeczywistości jedynymi dwuwartościowymi odległościami są odległości topologiczne.

  Niech P = [0, ∞] będzie rozszerzonymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi . Niech re + ( x , ZA ) = max( x sup ZA , 0) dla x P i ZA P . Biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń podejścia ( X , d ), odwzorowania (dla każdego A X ) d (., A ) : ( X , d ) → ( P , d + ) są kontrakcjami.

Na P , niech e ( x , A ) = inf{| x za | : a A } dla x < ∞, niech e (∞, A ) = 0 jeśli A jest nieograniczone, i niech e (∞, A ) = ∞ jeśli A jest ograniczone. Wtedy ( P , e ) jest przestrzenią podejścia. Topologicznie P jest jednopunktowym zagęszczeniem [0, ∞). Zauważ, że e rozszerza zwykłą odległość euklidesową. Nie można tego zrobić za pomocą zwykłej metryki euklidesowej.

Niech β N będzie zwartością Stone-Čecha liczb całkowitych . Punkt U ∈ β N jest ultrafiltrem na N . Podzbiór A ⊆ β N indukuje filtr F ( A ) = ∩ { U : U A }. Niech b ( U , ZA ) = sup{ inf { | n - j | : n X , j mi } : X U , mi fa ( ZA ) }. Wtedy (β N , b ) jest przestrzenią podejścia, która rozciąga zwykłą odległość euklidesową na N . Natomiast β N nie jest metryzowalny.

Równoważne definicje

Lowen zaoferował co najmniej siedem równoważnych preparatów. Dwa z nich znajdują się poniżej.

Niech XPQ( X ) oznacza zbiór xpq-metryk na X . Podrodzina G XPQ( X ) nazywana jest miernikiem jeśli

  1. 0 ∈ G , gdzie 0 jest metryką zerową, czyli 0( x , y ) = 0 dla wszystkich x , y ,
  2. mi re G implikuje mi G ,
  3. d , e G implikuje max( d , e ) ∈ G („max” jest tutaj maksimum punktowym ),
  4. Dla wszystkich d ∈ XPQ( X ), jeśli dla wszystkich x X , ε > 0, N < ∞ istnieje e G takie, że min( d ( x , y ), N ) ≤ e ( x , y ) + ε dla wszystkich y , wtedy re G .

Jeśli G jest miernikiem na X , to d ( x , A ) = sup { e ( x , a ) } : e G } jest funkcją odległości na X . I odwrotnie, biorąc pod uwagę funkcję odległości d na X , zbiór e ∈ XPQ( X ) taki, że e d jest miernikiem na X . Te dwie operacje są do siebie odwrotne.

Skrócenie f : ( X , d ) → ( Y , e ) jest, pod względem powiązanych mierników odpowiednio G i H , odwzorowaniem takim, że dla wszystkich d H , d ( f (.), f (.)) ∈ G. _

Wieża na X jest zbiorem odwzorowań A A [ε] dla A X , ε ≥ 0, spełniających dla wszystkich A , B X i δ, ε ≥ 0

  1. ZA ZA [ε] ,
  2. Ř [ε] = Ř,
  3. ( ZA b ) [ε] = ZA [ε] b [ε] ,
  4. ZA [ε][δ] ZA [ε+δ] ,
  5. ZA [ε] = ∩ δ>ε ZA [δ] .

Biorąc pod uwagę odległość d , powiązane A A (ε) jest wieżą. I odwrotnie, mając wieżę, mapa d ( x , A ) = inf{ε : x A [ε] } jest odległością, a te dwie operacje są odwrotne.

Skrócenie f :( X , d )→( Y , e ) jest, pod względem powiązanych wież, odwzorowaniem takim, że dla wszystkich ε ≥ 0, f [ A [ε] ] ⊆ f [ A ] [ε] .

Właściwości kategoryczne

Głównym zainteresowaniem przestrzeniami podejścia i ich skurczami jest to, że tworzą one kategorię o dobrych właściwościach, a jednocześnie są ilościowe jak przestrzenie metryczne. Można wziąć dowolne iloczyny , koprodukty i ilorazy, a wyniki odpowiednio uogólnić odpowiednie wyniki dla topologii. Można nawet „zdystansować” tak źle niemetryzowalne przestrzenie, jak β N , kompaktyfikacja liczb całkowitych Stone'a – Čecha .

Pewne hiperprzestrzenie, przestrzenie miar i probabilistyczne przestrzenie metryczne okazują się w naturalny sposób obdarzone odległością. Zastosowano również teorię aproksymacji .

  •    Lowen, Robert (1997). Przestrzenie podejścia: brakujące ogniwo w triadzie topologia-jednolitość-metryka . Oksfordzkie monografie matematyczne. Oksford: Clarendon Press . ISBN 0-19-850030-0 . Zbl 0891.54001 .
  • Lowen, Robert (2015). Analiza indeksu: teoria podejścia w pracy . Skoczek.

Linki zewnętrzne