Podejdź do przestrzeni
W topologii , gałęzi matematyki , przestrzenie podejść są uogólnieniem przestrzeni metrycznych , opartym na odległościach punkt-zbiór , zamiast odległości punkt-punkt. Zostały one wprowadzone przez Roberta Lowena w 1989 roku w serii artykułów na temat teorii podejścia w latach 1988-1995.
Definicja
Mając przestrzeń metryczną ( X , d ), lub bardziej ogólnie rozszerzoną pseudokwasimetryczną (która będzie tutaj oznaczana skrótem ∞pq-metric ), można zdefiniować odwzorowanie indukowane d : X × P( X ) → [0,∞] przez re ( x , ZA ) = inf { re ( x , za ) : za ∈ ZA }. Biorąc pod uwagę ten przykład, odległość na X jest zdefiniowana jako mapa X × P( X ) → [0,∞] spełniająca dla wszystkich x w X i A , B ⊆ X ,
- re ( x , { x }) = 0,
- re ( x , Ř) = ∞,
- re ( x , ZA ∪ b ) = min ( re ( x , ZA ), re ( x , b )),
- Dla wszystkich 0 ≤ ε ≤ ∞, re ( x , ZA ) ≤ d ( x , ZA (ε) ) + ε,
gdzie definiujemy A (ε) = { x : d ( x , A ) ≤ ε}.
(Konwencja „ puste infimum to dodatnia nieskończoność” przypomina konwencję zerowego przecięcia jest konwencją wszystkiego ).
Przestrzeń podejścia jest zdefiniowana jako para ( X , d ) , gdzie d jest funkcją odległości na X . Każda przestrzeń podejścia ma topologię , określoną przez traktowanie A → A (0) jako operatora domknięcia Kuratowskiego .
Odpowiednimi mapami między przestrzeniami podejścia są skurcze . Przekształcenie f : ( X , d ) → ( Y , e ) jest skróceniem, jeśli e ( f ( x ), fa [ A ]) ≤ d ( x , A ) dla wszystkich x ∈ X i A ⊆ X .
Przykłady
Każda przestrzeń ∞pq-metryczna ( X , d ) może być zdystansowana do ( X , d ), jak opisano na początku definicji.
Biorąc pod uwagę zbiór X , dyskretna odległość jest dana przez d ( x , A ) = 0 jeśli x ∈ A i d ( x , A ) = ∞ jeśli x ∉ A . Topologia indukowana jest topologią dyskretną .
Biorąc pod uwagę zbiór X , niedyskretna odległość jest dana przez d ( x , A ) = 0, jeśli A jest niepuste, oraz d ( x , A ) = ∞, jeśli A jest puste. Topologia indukowana jest topologią niedyskretną.
Biorąc pod uwagę przestrzeń topologiczną X , odległość topologiczna jest dana przez d ( x , A ) = 0 jeśli x ∈ A , oraz d ( x , A ) = ∞ w przeciwnym razie. Topologia indukowana jest topologią pierwotną. W rzeczywistości jedynymi dwuwartościowymi odległościami są odległości topologiczne.
Niech P = [0, ∞] będzie rozszerzonymi nieujemnymi liczbami rzeczywistymi . Niech re + ( x , ZA ) = max( x − sup ZA , 0) dla x ∈ P i ZA ⊆ P . Biorąc pod uwagę dowolną przestrzeń podejścia ( X , d ), odwzorowania (dla każdego A ⊆ X ) d (., A ) : ( X , d ) → ( P , d + ) są kontrakcjami.
Na P , niech e ( x , A ) = inf{| x − za | : a ∈ A } dla x < ∞, niech e (∞, A ) = 0 jeśli A jest nieograniczone, i niech e (∞, A ) = ∞ jeśli A jest ograniczone. Wtedy ( P , e ) jest przestrzenią podejścia. Topologicznie P jest jednopunktowym zagęszczeniem [0, ∞). Zauważ, że e rozszerza zwykłą odległość euklidesową. Nie można tego zrobić za pomocą zwykłej metryki euklidesowej.
Niech β N będzie zwartością Stone-Čecha liczb całkowitych . Punkt U ∈ β N jest ultrafiltrem na N . Podzbiór A ⊆ β N indukuje filtr F ( A ) = ∩ { U : U ∈ A }. Niech b ( U , ZA ) = sup{ inf { | n - j | : n ∈ X , j ∈ mi } : X ∈ U , mi ∈ fa ( ZA ) }. Wtedy (β N , b ) jest przestrzenią podejścia, która rozciąga zwykłą odległość euklidesową na N . Natomiast β N nie jest metryzowalny.
Równoważne definicje
Lowen zaoferował co najmniej siedem równoważnych preparatów. Dwa z nich znajdują się poniżej.
Niech XPQ( X ) oznacza zbiór xpq-metryk na X . Podrodzina G XPQ( X ) nazywana jest miernikiem jeśli
- 0 ∈ G , gdzie 0 jest metryką zerową, czyli 0( x , y ) = 0 dla wszystkich x , y ,
- mi ≤ re ∈ G implikuje mi ∈ G ,
- d , e ∈ G implikuje max( d , e ) ∈ G („max” jest tutaj maksimum punktowym ),
- Dla wszystkich d ∈ XPQ( X ), jeśli dla wszystkich x ∈ X , ε > 0, N < ∞ istnieje e ∈ G takie, że min( d ( x , y ), N ) ≤ e ( x , y ) + ε dla wszystkich y , wtedy re ∈ G .
Jeśli G jest miernikiem na X , to d ( x , A ) = sup { e ( x , a ) } : e ∈ G } jest funkcją odległości na X . I odwrotnie, biorąc pod uwagę funkcję odległości d na X , zbiór e ∈ XPQ( X ) taki, że e ≤ d jest miernikiem na X . Te dwie operacje są do siebie odwrotne.
Skrócenie f : ( X , d ) → ( Y , e ) jest, pod względem powiązanych mierników odpowiednio G i H , odwzorowaniem takim, że dla wszystkich d ∈ H , d ( f (.), f (.)) ∈ G. _
Wieża na X jest zbiorem odwzorowań A → A [ε] dla A ⊆ X , ε ≥ 0, spełniających dla wszystkich A , B ⊆ X i δ, ε ≥ 0
- ZA ⊆ ZA [ε] ,
- Ř [ε] = Ř,
- ( ZA ∪ b ) [ε] = ZA [ε] ∪ b [ε] ,
- ZA [ε][δ] ⊆ ZA [ε+δ] ,
- ZA [ε] = ∩ δ>ε ZA [δ] .
Biorąc pod uwagę odległość d , powiązane A → A (ε) jest wieżą. I odwrotnie, mając wieżę, mapa d ( x , A ) = inf{ε : x ∈ A [ε] } jest odległością, a te dwie operacje są odwrotne.
Skrócenie f :( X , d )→( Y , e ) jest, pod względem powiązanych wież, odwzorowaniem takim, że dla wszystkich ε ≥ 0, f [ A [ε] ] ⊆ f [ A ] [ε] .
Właściwości kategoryczne
Głównym zainteresowaniem przestrzeniami podejścia i ich skurczami jest to, że tworzą one kategorię o dobrych właściwościach, a jednocześnie są ilościowe jak przestrzenie metryczne. Można wziąć dowolne iloczyny , koprodukty i ilorazy, a wyniki odpowiednio uogólnić odpowiednie wyniki dla topologii. Można nawet „zdystansować” tak źle niemetryzowalne przestrzenie, jak β N , kompaktyfikacja liczb całkowitych Stone'a – Čecha .
Pewne hiperprzestrzenie, przestrzenie miar i probabilistyczne przestrzenie metryczne okazują się w naturalny sposób obdarzone odległością. Zastosowano również teorię aproksymacji .
- Lowen, Robert (1997). Przestrzenie podejścia: brakujące ogniwo w triadzie topologia-jednolitość-metryka . Oksfordzkie monografie matematyczne. Oksford: Clarendon Press . ISBN 0-19-850030-0 . Zbl 0891.54001 .
- Lowen, Robert (2015). Analiza indeksu: teoria podejścia w pracy . Skoczek.