Podgrupy grup cyklicznych
W algebrze abstrakcyjnej każda podgrupa grupy cyklicznej jest cykliczna. Co więcej, dla skończonej grupy cyklicznej rzędu n każdy rząd podgrupy jest dzielnikiem n , a dla każdego dzielnika istnieje dokładnie jedna podgrupa. Wynik ten nazwano fundamentalnym twierdzeniem grup cyklicznych .
Skończone grupy cykliczne
Dla każdej skończonej grupy G rzędu n następujące stwierdzenia są równoważne:
- G jest cykliczny.
- Dla każdego dzielnika d od n , G ma co najwyżej jedną podgrupę rzędu d .
Jeśli którekolwiek (a więc oba) są prawdziwe, wynika z tego, że istnieje dokładnie jedna podgrupa rzędu d dla dowolnego dzielnika n . To stwierdzenie jest znane pod różnymi nazwami, takimi jak charakterystyka według podgrup . (Zobacz także grupę cykliczną , aby zapoznać się z charakterystyką).
Istnieją skończone grupy inne niż grupy cykliczne, których właściwość polega na tym, że wszystkie właściwe podgrupy są cykliczne; przykładem jest grupa Kleina . Jednak grupa Kleina ma więcej niż jedną podgrupę rzędu 2, więc nie spełnia warunków charakteryzacji.
Nieskończona grupa cykliczna
Nieskończona grupa cykliczna jest izomorficzna z addytywną podgrupą Z liczb całkowitych. Dla każdej liczby całkowitej d (składającej się z wielokrotności d ) istnieje jedna podgrupa d Z iz wyjątkiem grupy trywialnej (generowanej przez d = 0) każda taka podgrupa jest sama w sobie nieskończoną grupą cykliczną. Ponieważ nieskończona grupa cykliczna jest grupą swobodną na jednym generatorze (a grupa trywialna jest grupą swobodną na żadnym generatorze), wynik ten można postrzegać jako szczególny przypadek twierdzenia Nielsena – Schreiera że każda podgrupa wolnej grupy sama jest wolna.
Podstawowe twierdzenie o skończonych grupach cyklicznych można wyprowadzić z tego samego twierdzenia dla nieskończonych grup cyklicznych, postrzegając każdą skończoną grupę cykliczną jako grupę ilorazową nieskończonej grupy cyklicznej.
Krata podgrup
Zarówno w przypadku skończonym, jak i nieskończonym sieć podgrup grupy cyklicznej jest izomorficzna z podwójną siatką podzielności . W skończonym przypadku krata podgrup grupy cyklicznej rzędu n jest izomorficzna z podwójną kratą dzielników n , z podgrupą rzędu n / d dla każdego dzielnika d . Podgrupa rzędu n / d jest podgrupą podgrupy rzędu n / e wtedy i tylko wtedy, gdy e jest dzielnikiem d . Sieć podgrup nieskończonej grupy cyklicznej można opisać w taki sam sposób, jak podwójną kratę podzielności wszystkich dodatnich liczb całkowitych. Jeśli nieskończona grupa cykliczna jest reprezentowana jako grupa addytywna na liczbach całkowitych, to podgrupa generowana przez d jest podgrupą podgrupy generowanej przez e wtedy i tylko wtedy, gdy e jest dzielnikiem d .
Kraty podzielności są sieciami rozdzielczymi , a zatem są to kraty podgrup grup cyklicznych. Zapewnia to kolejną alternatywną charakterystykę skończonych grup cyklicznych: są to dokładnie skończone grupy, których sieci podgrup są rozdzielne. Mówiąc bardziej ogólnie, skończenie wygenerowana grupa jest cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej sieć podgrup jest rozdzielna, a dowolna grupa jest lokalnie cykliczna wtedy i tylko wtedy, gdy jej sieć podgrup jest rozdzielna. Grupa addytywna liczb wymiernych podaje przykład grupy, która jest lokalnie cykliczna i która ma rozdzielczą siatkę podgrup, ale sama nie jest cykliczna.