Podstawowe twierdzenie teorii toposu

W matematyce podstawowe twierdzenie teorii toposu stwierdza, że $mathbf {E$ toposu nad dowolnym z jego obiektów mi ${\ Displaystyle$ $\$ $X}$ samo w sobie jest toposem. $in$ $E}$ jeśli istnieje morfizm to jest mi { \ displaystyle funktor ${\ displaystyle f ^ {*}: \ mathbf {E} / B \ rightarrow \ mathbf {E} / A},$ który zachowuje wykładniki i klasyfikator podobiektów .

Funktor zwrotny

Dla każdego morfizmu $∗$ w istnieje powiązany „fullback funktor” ${\ displaystyle f ^ {*}: = - \ mapsto f \$ , która jest kluczowa w dowodzie twierdzenia. Dla każdego innego morfizmu g w , który ma tę samą kodomenę co $\ displaystyle \ mathbf {E$ ich $} }$ mi $f jest$ a morfizm przechodzący z domeny do dziedziny do g w kwadracie wycofywania, więc jest to wycofywanie g wzdłuż fa , co można oznaczyć jako ${\ Displaystyle f ^ {*} g}$ .

Zauważ, że topos ${\ displaystyle \ mathbf {e} \ cong \ mathbf {e} / 1$ izomorficzny z przekrojem nad własnym obiektem końcowym, tj. $}$ , więc dla dowolnego obiektu A w istnieje morfizm $Displaystyle f: A \ rightarrow 1}$ $\$ a tym samym funktor pullback ${\ Displaystyle f ^ {*}: \ mathbf {E} \ rightarrow \ mathbf {E} / A}$ $,$ jest również toposem.

Dla danego wycinka $niech$ oznacza $jego$ gdzie jest obiektem podstawowej Wtedy ${\ Displaystyle B ^ {*}}$ jest funktorem, który odwzorowuje: ${\ displaystyle - \ mapsto {B \ razy - \ nad B}}$ . Teraz zastosuj ${\ Displaystyle f ^ {*}}$ do ${\ Displaystyle B ^ {*}}$ . To daje

ZA

${\ displaystyle \ mathbf {e} / a}$ w ten sposób funktor pullback $/$ obiekty mi ${E} / B}$ na . Ponadto zauważ, że każdy element C toposu podstawowego jest izomorficzny z $\ Displaystyle {1 \ razy C \ ponad 1} = 1 ^ {*} C}$ , więc jeśli ${\ Displaystyle f: A \ rightarrow 1}$ wtedy ${\ Displaystyle f ^ {*}: 1 ^ {*} \ rightarrow A ^ {*}}$ i ${\ Displaystyle f ^ {*}: C \ mapsto A ^ {*} C}$ tak, że ${\ Displaystyle f ^ {*}}$ jest rzeczywiście funktorem z podstawowego toposu mi $\ displaystyle \ mathbf {E}}$ do jego wycinka ${\ displaystyle \ mathbf {E} / A}$ .

Interpretacja logiczna

${\ Displaystyle [\ _ | \ fi ]}$ parę $formuł$ i $rozszerzenia$ [ i ${\ Displaystyle [\ _ | \ psi ]}$ (gdzie podkreślenie tutaj oznacza kontekst zerowy) to obiekty podstawowego toposu. Wtedy ${\ Displaystyle \ phi}$ implikuje ${\ Displaystyle \ psi}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje monika z ${\ Displaystyle [\ _ | \ fi ]}$ do ${\ Displaystyle [\ _ | \ psi ]}$ . Jeśli tak jest, to zgodnie z twierdzeniem formuła $jest$ w wycinku ${\ Displaystyle \ mathbf {E} / [\ _ | \ phi ]}$ , ponieważ obiekt końcowy ${\ Displaystyle [\ _ | \ phi ] \ ponad [\ _ | \ phi ]}$ współczynników wycinka poprzez jego rozszerzenie ${\ Displaystyle [\ _ | \ psi ]}$ . W kategoriach logicznych można to wyrazić jako

{\ Displaystyle \ vdash \ phi \ strzałka w prawo \ psi \ nad \ phi \ vdash \ psi}

tak $odpowiadałoby$ że $przecięcie$ przez $rozszerzenie$ przyjęciu Wtedy twierdzenie mówiłoby, że przyjęcie logicznego założenia nie zmienia reguł logiki toposu.

Zobacz też

McLarty, Colin (1992). „§17.3 Podstawowe twierdzenie” . Podstawowe kategorie, podstawowe toposy . Oxford Logic Guides. Tom. 21. Oxford University Press. P. 158. ISBN 978-0-19-158949-2 .