Kalendarium teorii kategorii i matematyki pokrewnej

To jest oś czasu teorii kategorii i matematyki pokrewnej . Jego zakres („pokrewna matematyka”) przyjmuje się jako:

W tym artykule i ogólnie w teorii kategorii ∞ = ω .

Kalendarium do 1945 roku: przed definicjami

Rok Współtwórcy Wydarzenie
1890 Dawida Hilberta Rozdzielczość modułów i swobodna rozdzielczość modułów .
1890 Dawida Hilberta Twierdzenie syzygy Hilberta jest prototypem koncepcji wymiaru w algebrze homologicznej .
1893 Dawida Hilberta Podstawowe twierdzenie w geometrii algebraicznej , Hilbert Nullstellensatz . Później zostało to przeformułowane w następujący sposób: kategoria rozmaitości afinicznych nad ciałem k jest równoważna dualności kategorii (przemiennych) k -algebr zredukowanych skończenie generowanych .
1894 Henri Poincaré Grupa podstawowa przestrzeni topologicznej .
1895 Henri Poincaré Uproszczona homologia .
1895 Henri Poincaré Praca podstawowa Analiza situs , początek topologii algebraicznej .
ok. 1910 r LEJ Brouwer Brouwer rozwija intuicjonizm jako wkład w fundamentalną debatę na temat matematyki w okresie mniej więcej 1910-1930, przy czym logika intuicjonistyczna jest produktem ubocznym coraz bardziej sterylnej dyskusji na temat formalizmu.
1923 Hermanna Künnetha Wzór Künnetha na homologię iloczynu przestrzeni.
1926 Henryka Brandta definiuje pojęcie groupoidu .
1928 Arenda Heytinga Intuicjonistyczna logika Brouwera przekształcona w matematykę formalną, jako logika, w której algebra Heytinga zastępuje algebrę Boole'a .
1929 Walthera Mayera Kompleksy łańcuchowe .
1930 Ernst Zermelo – Abraham Fraenkel Stwierdzenie ostatecznych aksjomatów ZF teorii mnogości , po raz pierwszy sformułowane w 1908 roku i od tego czasu ulepszane.
ok. 1930 r Emmy Noether Noether i jej uczniowie rozwijają teorię modułów , a topologia algebraiczna zaczyna być właściwie oparta na algebrze abstrakcyjnej , a nie na argumentach ad hoc .
1932 Eduard Czech Kohomologia Čecha , grupy homotopii przestrzeni topologicznej.
1933 Salomona Lefschetza Osobliwa homologia przestrzeni topologicznych.
1934 Reinholda Baera Grupy Ext, funktor Ext (dla grup abelowych iz inną notacją).
1935 Witolda Hurewicza Wyższe grupy homotopii przestrzeni topologicznej.
1936 Marshalla Stone'a Twierdzenie o reprezentacji Stone'a dla algebr Boole'a inicjuje różne dualności Stone'a .
1937 Richard Brauer – Cecil Nesbitt Algebry Frobeniusa .
1938 Hasslera Whitneya „Nowoczesna” definicja kohomologii , podsumowująca prace od czasu, gdy James Alexander i Andriej Kołmogorow po raz pierwszy zdefiniowali kołańcuchy .
1940 Reinholda Baera Moduły iniekcyjne .
1940 Kurt Gödel – Paul Bernays Właściwe zajęcia z teorii mnogości.
1940 Heinza Hopfa Algebry Hopfa .
1941 Witolda Hurewicza Pierwsze fundamentalne twierdzenie algebry homologicznej: Mając krótki dokładny ciąg przestrzeni, istnieje łączący homomorfizm taki, że długi ciąg grup kohomologicznych przestrzeni jest dokładny.
1942 Samuel Eilenberg – Saunders Mac Lane Twierdzenie o uniwersalnym współczynniku dla kohomologii Čecha ; później stało się to ogólnym twierdzeniem o uniwersalnym współczynniku . Notacje Hom i Ext po raz pierwszy pojawiają się w ich artykule.
1943 Normana Steenroda Homologia ze współczynnikami lokalnymi .
1943 Israel Gelfand – Mark Naimark Twierdzenie Gelfanda – Naimarka (czasami nazywane twierdzeniem o izomorfizmie Gelfanda): Kategoria Haus lokalnie zwartych przestrzeni Hausdorffa z ciągłymi właściwymi odwzorowaniami jako morfizmami jest równoważna kategorii C * Alg przemiennych C * -algebr z odpowiednimi * -homomorfizmami jako morfizmami.
1944 Garrett Birkhoff – Ruda Øysteina Połączenia Galois uogólniające korespondencję Galois: para sprzężonych funktorów między dwiema kategoriami, które wynikają z częściowo uporządkowanych zbiorów (w nowoczesnym ujęciu).
1944 Samuela Eilenberga „Nowoczesna” definicja homologii pojedynczej i kohomologii pojedynczej.
1945 Beno Eckmanna Definiuje budowę pierścienia kohomologicznego w pracy Heinza Hopfa .

1945–1970

Rok Współtwórcy Wydarzenie
1945 Saunders Mac Lane – Samuel Eilenberg Początek teorii kategorii: aksjomaty kategorii , funktory i przekształcenia naturalne .
1945 Norman Steenrod – Samuel Eilenberg Aksjomaty Eilenberga-Steenroda dla homologii i kohomologii.
1945 Jeana Leraya Rozpoczyna teorię snopów : w tym czasie snop był mapą, która przypisywała moduł lub pierścień do zamkniętej podprzestrzeni przestrzeni topologicznej. Pierwszym przykładem był snop przypisując zamkniętej podprzestrzeni jej p-tą grupę kohomologiczną.
1945 Jeana Leraya Definiuje kohomologię Snopa , używając swojej nowej koncepcji Snopa.
1946 Jeana Leraya Wymyśla sekwencje widmowe jako metodę iteracyjnego przybliżania grup kohomologii przez poprzednie przybliżone grupy kohomologii. W przypadku granicznym daje poszukiwane grupy kohomologiczne.
1948 Seminarium Cartana Pisze teorię snopów po raz pierwszy.
1948 AL Blakers Skrzyżowane kompleksy (nazywane systemami grupowymi przez Blakersa), według sugestii Samuela Eilenberga : nieabelowe uogólnienie kompleksów łańcuchowych grup abelowych, które są równoważne ścisłym ω-grupoidom . Tworzą one kategorię Crs , która ma wiele zadawalających właściwości, takich jak struktura monoidalna .
1949 Johna Henry'ego Whiteheada Skrzyżowane moduły .
1949 Andrzej Weil Formułuje przypuszczenia Weila na temat niezwykłych relacji między strukturą kohomologiczną rozmaitości algebraicznych nad C a strukturą diofantyczną rozmaitości algebraicznych nad ciałami skończonymi .
1950 Henryk Cartan W książce Teoria snopów z seminarium Cartana definiuje: Przestrzeń snopów (przestrzeń étale), podpory snopów aksjomatycznie, kohomologię snopów z podporami w postaci aksjomatycznej i więcej.
1950 Johna Henry'ego Whiteheada Przedstawia program homotopii algebraicznej do opisywania, rozumienia i obliczania typów homotopii przestrzeni i klas homotopii odwzorowań
1950 Samuel Eilenberg – Joe Zilber Zbiory uproszczone jako czysto algebraiczny model dobrze zachowanych przestrzeni topologicznych. Zestaw uproszczony może być również postrzegany jako snop wstępny w kategorii simplex . Kategoria jest uproszczonym zbiorem takim, że mapy Segala są izomorfizmami.
1951 Henryk Cartan Nowoczesna definicja teorii snopów , w której snop jest definiowany za pomocą otwartych podzbiorów zamiast zamkniętych podzbiorów przestrzeni topologicznej, a wszystkie podzbiory otwarte są traktowane jednocześnie. Snop na przestrzeni topologicznej X staje się funktorem przypominającym funkcję zdefiniowaną lokalnie na X , przyjmującym wartości w zbiorach, grupach abelowych, pierścieniach przemiennych , modułach lub ogólnie w dowolnej kategorii C . Właściwie Aleksandra Grothendiecka później stworzył słownik między snopami a funkcjami. Inna interpretacja snopów to ciągle zmieniające się zbiory (uogólnienie zbiorów abstrakcyjnych). Jego celem jest zapewnienie ujednoliconego podejścia do łączenia lokalnych i globalnych właściwości przestrzeni topologicznych oraz klasyfikowania przeszkód w przechodzeniu od obiektów lokalnych do obiektów globalnych w przestrzeni topologicznej poprzez sklejanie lokalnych elementów. Krążki C w przestrzeni topologicznej i ich homomorfizmy tworzą kategorię.
1952 Williama Masseya Wymyśla dokładne pary do obliczania sekwencji widmowych.
1953 Jean-Pierre'a Serre'a Serre C -teoria i podkategorie Serre'a .
1955 Jean-Pierre'a Serre'a Pokazuje, że istnieje zgodność 1–1 między wiązkami wektorów algebraicznych w rozmaitości afinicznej i skończenie generowanymi modułami rzutowymi w jego pierścieniu współrzędnych ( twierdzenie Serre – Swana ).
1955 Jean-Pierre'a Serre'a Kohomologia spójnych snopów w geometrii algebraicznej.
1956 Jean-Pierre'a Serre'a Korespondencja GAGA .
1956 Henri Cartan – Samuel Eilenberg Wpływowa książka: Homological Algebra , podsumowująca stan wiedzy w swoim temacie w tamtym czasie. Notacja Tor n i Ext n , a także pojęcia modułu rzutowego , rozdzielczości rzutowej i iniekcyjnej modułu, funktora pochodnego i hiperhomologii pojawiają się w tej książce po raz pierwszy.
1956 Daniel Kan Teoria homotopii uproszczonej zwana także teorią homotopii kategorycznej: Teoria homotopii całkowicie wewnętrzna w stosunku do kategorii zbiorów uproszczonych .
1957 Charles Ehresmann – Jean Bénabou Bezcelowe budowanie topologii na podstawie pracy Marshalla Stone'a .
1957 Aleksandra Grothendiecka Kategorie abelowe w algebrze homologicznej, które łączą dokładność i liniowość.
1957 Aleksandra Grothendiecka Wpływowy artykuł Tohoku przepisuje algebrę homologiczną ; udowodnienie dwoistości Grothendiecka (dwoistość Serre'a dla możliwie osobliwych rozmaitości algebraicznych). Pokazał również, że koncepcyjne podstawy algebry homologicznej na pierścieniu dotyczą również obiektów liniowych zmieniających się jak snopki w przestrzeni.
1957 Aleksandra Grothendiecka Względny punkt widzenia Grothendiecka , S-schematy .
1957 Aleksandra Grothendiecka Twierdzenie Grothendiecka – Hirzebrucha – Riemanna – Rocha dla gładkich ; dowód wprowadza K-teorię .
1957 Daniel Kan Kompleksy Kan : zbiory uproszczone (w których każdy róg ma wypełniacz), które są geometrycznymi modelami uproszczonych ∞-grupoid . Kompleksy Kan są również obiektami fibrantowymi (i kofibrantowymi) kategorii modelowych zbiorów uproszczonych, dla których fibracje są fibracjami Kan .
1958 Aleksandra Grothendiecka Rozpoczyna nowe podstawy geometrii algebraicznej poprzez uogólnienie rozmaitości i innych przestrzeni w geometrii algebraicznej na schematy , które mają strukturę kategorii z otwartymi podzbiorami jako obiektami i ograniczeniami jako morfizmami. tworzą kategorię, która jest toposem Grothendiecka , a do schematu, a nawet stosu można przypisać topos Zaryńskiego, topos étale, topos fppf, topos fpqc, topos Nisnevicha, topos płaski, ... w zależności od topologia narzucona schematowi. Cała geometria algebraiczna została z czasem skategoryzowana.
1958 Rogera Godementa Monady w teorii kategorii (nazywane wówczas konstrukcjami standardowymi i trójkami). Monady uogólniają klasyczne pojęcia z algebry uniwersalnej iw tym sensie można je traktować jako teorię algebraiczną nad kategorią: teorię kategorii T-algebr. Algebra monady obejmuje i uogólnia pojęcie modelu teorii algebraicznej.
1958 Daniel Kan Funktory sprzężone .
1958 Daniel Kan Granice w teorii kategorii.
1958 Aleksandra Grothendiecka Kategorie włókien .
1959 Bernarda Dworka Dowodzi racjonalności części przypuszczeń Weila (pierwsza hipoteza).
1959 Jean-Pierre'a Serre'a Algebraiczna teoria K zapoczątkowana przez wyraźną analogię teorii pierścieni z przypadkami geometrycznymi.
1960 Aleksandra Grothendiecka Funktory światłowodowe
1960 Daniel Kan Rozszerzenia kan
1960 Aleksandra Grothendiecka Formalna geometria algebraiczna i schematy formalne
1960 Aleksandra Grothendiecka Reprezentowalne funktory
1960 Aleksandra Grothendiecka Kategoryzuje teorię Galois ( teoria Galois Grothendiecka )
1960 Aleksandra Grothendiecka Teoria pochodzenia : pomysł rozszerzający pojęcie sklejania w topologii do schematu w celu obejścia brutalnych relacji równoważności. Uogólnia również lokalizację w topologii
1961 Aleksandra Grothendiecka Kohomologia lokalna . Wprowadzony na seminarium w 1961 roku, ale notatki zostały opublikowane w 1967 roku
1961 Jima Stasheffa Associahedra użyta później w definicji słabych n -kategorii
1961 Richarda Swana Pokazuje, że istnieje zgodność 1–1 między wiązkami wektorów topologicznych w zwartej przestrzeni Hausdorffa X i skończenie generowanymi modułami rzutowymi na pierścieniu C ( X ) funkcji ciągłych na X ( twierdzenie Serre – Swana )
1963 Frank Adams – Saunders Mac Lane Kategorie PROP i kategorie PACT dla wyższych homotopii. PROP to kategorie opisujące rodziny operacji z dowolną liczbą wejść i wyjść. Operady to specjalne PROP z operacjami z tylko jednym wyjściem
1963 Aleksandra Grothendiecka Topologia Étale , specjalna topologia Grothendiecka
1963 Aleksandra Grothendiecka Kohomologia Étale
1963 Aleksandra Grothendiecka Grothendieck toposy , które są kategoriami, które są jak wszechświaty (uogólnione przestrzenie) zbiorów, w których można uprawiać matematykę
1963 Williama Lawvere'a Teorie algebraiczne i kategorie algebraiczne
1963 Williama Lawvere'a Zakłada logikę kategoryczną , odkrywa logikę wewnętrzną kategorii i uznaje jej znaczenie oraz wprowadza teorie Lawvere'a . Zasadniczo logika kategoryczna jest podniesieniem różnych logik do bycia wewnętrznymi logikami kategorii. Każdy rodzaj kategorii z dodatkową strukturą odpowiada systemowi logicznemu z własnymi regułami wnioskowania. Teoria Lawvere'a jest teorią algebraiczną jako kategorią o produktach skończonych i posiadającą „algebrę rodzajową” (grupę rodzajową). Struktury opisane przez teorię Lawvere'a są modelami teorii Lawvere'a
1963 Jeana-Louisa Verdiera Kategorie triangulowane i funktory triangulowane . Szczególnymi przypadkami są kategorie pochodne i funktory pochodne
1963 Jima Stasheffa A ∞ -algebry : dg-algebry analogi topologicznych monoidów asocjacyjnych aż do homotopii występujące w topologii (tj. H-przestrzenie )
1963 Jana Girauda Twierdzenie o charakterystyce Girauda charakteryzujące toposy Grothendiecka jako kategorie snopów na małym stanowisku
1963 Karola Ehresmanna Teoria kategorii wewnętrznej: internalizacja kategorii w kategorii V z wycofaniami polega na zastąpieniu kategorii Zestaw (to samo dla klas zamiast zestawów) przez V w definicji kategorii. Internalizacja jest sposobem na podniesienie wymiaru kategorycznego
1963 Karola Ehresmanna Wiele kategorii i wiele funktorów
1963 Saundersa MacLane'a Kategorie monoidalne , zwane także kategoriami tensorowymi: Ścisłe 2-kategorie z jednym obiektem utworzone przez sztuczkę ponownego etykietowania do kategorii z iloczynem tensorowym obiektów, który jest potajemnie złożonym morfizmem w 2-kategorii. Istnieje kilka obiektów w kategorii monoidalnej, ponieważ sztuczka ponownego etykietowania tworzy 2-morfizmy kategorii 2 na morfizmy, morfizmy kategorii 2 na obiekty i zapomina o pojedynczym obiekcie. Ogólnie rzecz biorąc, wyższa sztuczka ponownego etykietowania działa dla n -kategorii z jednym obiektem, aby utworzyć ogólne kategorie monoidalne. Najczęstsze przykłady to: kategorie wstążki , splecione kategorie tensorowe , kategorie sferyczne , zwarte kategorie zamknięte , symetryczne kategorie tensorowe , kategorie modularne , kategorie autonomiczne , kategorie z dualnością
1963 Saundersa MacLane'a Twierdzenie o koherencji Mac Lane'a do wyznaczania przemienności diagramów w kategoriach monoidalnych
1964 Williama Lawvere'a Elementarna teoria kategorii zbiorów ETCS : Aksjomatyzacja kategorii zbiorów , która jest również stałym przypadkiem elementarnego toposu
1964 Barry Mitchell – Peter Freyd Twierdzenie Mitchella – Freyda o osadzeniu : Każda mała kategoria abelowa dopuszcza dokładne i pełne osadzenie w kategorii (lewych) modułów Mod R na pewnym pierścieniu R
1964 Rudolf Haag – Daniel Kastler Algebraiczna kwantowa teoria pola według idei Irvinga Segala
1964 Aleksandra Grothendiecka Topologizuje kategorie aksjomatycznie, narzucając topologię Grothendiecka kategoriom, które następnie nazywane są miejscami . Celem obszarów jest zdefiniowanie na nich pokrycia, aby można było zdefiniować snopy nad obszarami. Inne „przestrzenie”, dla których można zdefiniować snopy, z wyjątkiem przestrzeni topologicznych, to lokalizacje
1964 Michael Artin – Alexander Grothendieck ℓ-adyczna kohomologia , rozwój techniczny w SGA4 długo oczekiwanej kohomologii Weila .
1964 Aleksandra Grothendiecka Dowodzi przypuszczeń Weila z wyjątkiem analogu hipotezy Riemanna
1964 Aleksandra Grothendiecka sześciu operacji w algebrze homologicznej ; R fa * , fa -1 , R fa ! , f ! , ⊗ L , RHom i dowód domknięcia
1964 Aleksandra Grothendiecka Wprowadzony w liście do Jean-Pierre'a Serre'a motywy domniemań , aby wyrazić ideę, że istnieje jedna uniwersalna teoria kohomologii leżąca u podstaw różnych teorii kohomologii dla rozmaitości algebraicznych. Zgodnie z filozofią Grothendiecka powinien istnieć uniwersalny funktor kohomologii dołączający czysty motyw h( X ) do każdej gładkiej rozmaitości rzutowej X . Gdy X nie jest gładkie lub rzutowe, h( X ) musi zostać zastąpione bardziej ogólnym motywem mieszanym który ma filtrację wagową, której ilorazy są czystymi motywami. Kategoria motywów (ramy kategoryczne dla teorii kohomologii uniwersalnej) może być używana jako abstrakcyjny substytut kohomologii pojedynczej (i kohomologii racjonalnej) do porównywania, wiązania i łączenia „motywowanych” właściwości i zjawisk równoległych różnych teorii kohomologii oraz do wykrywania struktura topologiczna rozmaitości algebraicznych. Kategorie motywów czystych i motywów mieszanych to abelowe kategorie tensorowe, a kategoria czystych motywów jest również kategorią Tannakian . Kategorie motywów tworzy się, zastępując kategorię odmian kategorią z tymi samymi przedmiotami, ale których morfizmy są odpowiednikami , modulo odpowiednią relacją równoważności ; różne równoważności dają różne teorie. Racjonalna równoważność daje kategorię motywów Chow z grupami Chow jako morfizmy, które są w pewnym sensie uniwersalne. Każda teoria kohomologii geometrycznej jest funktorem kategorii motywów. Każdy indukowany funktor ρ:motywy modulo równoważność liczbowa→stopniowane Q -wektorowe jest nazywany realizacji kategorii motywów funktory odwrotne nazywane są ulepszeniami. Mieszane motywy wyjaśniają zjawiska w tak różnych dziedzinach, jak: teoria Hodge'a, algebraiczna teoria K, polilogarytmy, mapy regulatorów, formy automorficzne, funkcje L, reprezentacje ℓ-adyczne, sumy trygonometryczne, homotopie rozmaitości algebraicznych, cykle algebraiczne, przestrzenie modułowe, a tym samym ma potencjał wzbogacenia każdego obszaru i zjednoczenia ich wszystkich.
1965 Edgara Browna Abstrakcyjne kategorie homotopii : właściwe ramy do badania teorii homotopii kompleksów CW
1965 Maks Kelly kategorie dg
1965 Max Kelly – Samuel Eilenberg Wzbogacona teoria kategorii : Kategorie C wzbogacone o kategorię V to kategorie z Hom-sets Hom C nie tylko zbiorem lub klasą, ale ze strukturą obiektów w kategorii V. Wzbogacanie o V jest sposobem na podniesienie wymiaru kategorycznego
1965 Karola Ehresmanna Definiuje zarówno ścisłe 2-kategorie, jak i ścisłe n -kategorie
1966 Aleksandra Grothendiecka Kryształy (rodzaj snopka stosowanego w kohomologii krystalicznej )
1966 Williama Lawvere'a ETAC Elementarna teoria kategorii abstrakcyjnych, pierwsze zaproponowane aksjomaty dla Cat lub teorii kategorii przy użyciu logiki pierwszego rzędu
1967 Jean Bénabou Dwukategorie (słabe 2-kategorie) i słabe 2-funktory
1967 Williama Lawvere'a Tworzy syntetyczną geometrię różniczkową
1967 Simon Kochen – Ernst Specker Twierdzenie Kochena-Speckera w mechanice kwantowej
1967 Jeana-Louisa Verdiera Definiuje kategorie pochodne i redefiniuje funktory pochodne w kategoriach kategorii pochodnych
1967 Peter Gabriel-Michel Zisman Aksjomatyzuje uproszczoną teorię homotopii
1967 Daniela Quillena Kategorie modelu Quillena i funktory modelu Quillena : ramy do wykonywania teorii homotopii w sposób aksjomatyczny w kategoriach i abstrakcja kategorii homotopii w taki sposób, że hC = C [ W −1 ], gdzie W −1 to odwrócone słabe równoważności Kategoria modelu Quillena C. Kategorie modeli Quillena są homotopicznie kompletne i kokompletne i mają wbudowaną dualność Eckmanna – Hiltona
1967 Daniela Quillena Algebra homotopiczna (opublikowana jako książka, a także czasami nazywana nieprzemienną algebrą homologiczną): badanie różnych kategorii modeli i wzajemne oddziaływanie między fibracjami, kofibracjami i słabymi równoważnościami w dowolnych zamkniętych kategoriach modeli
1967 Daniela Quillena Aksjomaty Quillena dla teorii homotopii w kategoriach modeli
1967 Daniela Quillena Pierwsze fundamentalne twierdzenie teorii homotopii uproszczonej: Kategoria zbiorów uproszczonych jest (właściwą) zamkniętą (uproszczoną) kategorią modelu
1967 Daniela Quillena Drugie fundamentalne twierdzenie teorii homotopii uproszczonej: Funktor realizacji i funktor liczby pojedynczej jest równoważnością kategorii hΔ i hTop ( Δ kategoria zbiorów uproszczonych )
1967 Jean Bénabou V-actegories : Kategoria C z działaniem ⊗ : V × C → C , które jest asocjacyjne i jednolite aż do spójnego izomorfizmu, dla V jest symetryczną kategorią monoidalną . V-actegories można postrzegać jako kategoryzację modułów R na przemiennym pierścieniu R
1968 Chen-Ning Yang - Rodney Baxter Równanie Yanga-Baxtera , później używane jako relacja w plecionych kategoriach monoidalnych dla skrzyżowań warkoczy
1968 Aleksandra Grothendiecka Kohomologia krystaliczna : Teoria kohomologii p -adycznej w charakterystyce p , wymyślona w celu wypełnienia luki pozostawionej przez kohomologię etalną , która nie wykorzystuje w tym przypadku współczynników mod p . Jest czasami określany przez Grothendiecka jako joga współczynników de Rham i współczynników Hodge'a, ponieważ kohomologia krystaliczna rozmaitości X w charakterystyce p jest jak kohomologia de Rham mod p X i istnieje izomorfizm między grupami kohomologii de Rham a grupami kohomologii Hodge'a form harmonicznych
1968 Aleksandra Grothendiecka Połączenie Grothendiecka
1968 Aleksandra Grothendiecka Formułuje standardowe przypuszczenia dotyczące cykli algebraicznych
1968 Michał Artin Przestrzenie algebraiczne w geometrii algebraicznej jako uogólnienie schematu
1968 Karola Ehresmanna Szkice : Alternatywny sposób przedstawienia teorii (która ma charakter kategoryczny w przeciwieństwie do lingwistycznej), której modele mają być badane w odpowiednich kategoriach. Szkic jest małą kategorią ze zbiorem wyróżnionych stożków i zbiorem wyróżnionych stożków spełniających pewne aksjomaty. Model szkicu jest funktorem o wartościach zbiorczych, przekształcającym wyróżnione stożki w stożki graniczne, a wyróżnione stożki w stożki współgraniczne. Kategorie modeli szkiców są dokładnie dostępnymi kategoriami
1968 Joachima Lambka Wiele kategorii
1969 Max Kelly jako Nobuo Yoneda Końcówki i końcówki
1969 Pierre'a Deligne'a - Davida Mumforda Stosy Deligne-Mumford jako uogólnienie schematu
1969 Williama Lawvere'a Doktryny (teoria kategorii) , doktryna jest monadą na 2-kategorii
1970 Williama Lawvere'a - Mylesa Tierneya Toposy elementarne : kategorie wzorowane na kategorii zbiorów, które są jak wszechświaty (przestrzenie uogólnione) zbiorów, w których można uprawiać matematykę. Jednym z wielu sposobów definiowania toposu jest: odpowiednio zamknięta kategoria kartezjańska z klasyfikatorem podobiektów . Każdy topos Grothendiecka jest toposem elementarnym
1970 Johna Conwaya Teoria motków węzłów : Obliczanie niezmienników węzłów za pomocą modułów motków . Moduły motków mogą być oparte na niezmiennikach kwantowych

1971–1980

Rok Współtwórcy Wydarzenie
1971 Saundersa MacLane'a Wpływowa książka: Kategorie dla pracującego matematyka , która stała się standardowym odniesieniem w teorii kategorii
1971 Horsta Herrlicha – Oswalda Wylera Topologia kategorialna : badanie kategorii topologicznych zbiorów strukturalnych (uogólnienia przestrzeni topologicznych, przestrzeni jednolitych i różnych innych przestrzeni w topologii) oraz relacji między nimi, których kulminacją jest topologia uniwersalna. Ogólne badanie topologii kategorialnej i wykorzystuje zbiory strukturalne w kategorii topologicznej jako ogólne badanie topologii i wykorzystuje przestrzenie topologiczne. Algebraiczna topologia kategorialna próbuje zastosować maszynerię topologii algebraicznej dla przestrzeni topologicznych do zbiorów strukturalnych w kategorii topologicznej.
1971 Harolda Temperleya – Elliotta Lieba Algebry Temperleya – Lieba : algebry splotów zdefiniowane przez generatory splotów i relacje między nimi
1971 William Lawvere – Myles Tierney Topologia Lawvere'a-Tierneya na toposie
1971 William Lawvere – Myles Tierney Forsowanie teorii toposu (forsing in toposs): Klasyfikacja metody forsowania teorii mnogości do toposów dla prób udowodnienia lub obalenia hipotezy continuum , niezależności aksjomatu wyboru itp. w toposach
1971 Bob Walters – Ross Street Struktury Yoneda na 2-kategoriach
1971 Rogera Penrose'a Diagramy strunowe do manipulowania morfizmami w kategorii monoidalnej
1971 Jana Girauda Gerbes : Skategoryzowane pakiety główne, które są również specjalnymi przypadkami stosów
1971 Joachima Lambka Uogólnia korespondencję Haskella – Curry – Williama – Howarda na trójdrożny izomorfizm między typami, zdaniami i przedmiotami zamkniętej kategorii kartezjańskiej
1972 Maks Kelly Kluby (teoria kategorii) i spójność (teoria kategorii) . Trefl jest szczególnym rodzajem dwuwymiarowej teorii lub monoidem w Cat / (kategoria zbiorów skończonych i permutacji P ), każdy trefl daje 2-monadę na Cat
1972 Johna Isbella Lokalizacje : „Uogólniona przestrzeń topologiczna” lub „przestrzenie bezsensowne” zdefiniowane przez kratę ( kompletna algebra Heytinga zwana także siatką Brouwera), tak jak w przypadku przestrzeni topologicznej otwarte podzbiory tworzą kratę. Jeśli krata ma wystarczającą liczbę punktów, jest przestrzenią topologiczną. Lokalizacje są głównymi obiektami bezsensownej topologii , obiekty dualne to ramki . Zarówno ustawienia regionalne, jak i ramki tworzą kategorie, które są sobie przeciwne . Krążki można definiować w ustawieniach narodowych. Inne „przestrzenie”, nad którymi można zdefiniować snopy, to miejsca. Chociaż lokalizacje były znane wcześniej, John Isabell jako pierwszy je nazwał
1972 ulica Rossa Formalna teoria monad: Teoria monad w 2 kategoriach
1972 Piotra Freyda Podstawowe twierdzenie teorii toposu : Każda kategoria wycinka ( E , Y ) toposu E jest toposem, a funktor f *: ( E , X ) → ( E , Y ) zachowuje wykładniki , a klasyfikator podobiektów obiekt Ω i ma prawo i lewy funktor sprzężony
1972 Aleksandra Grothendiecka Uniwersa Grothendiecka dla zbiorów jako część podstaw kategorii
1972 Jean Bénabou – ulica Rossa Kosmosy , które kategoryzują wszechświaty : Kosmos to uogólniony wszechświat składający się z 1-kategorii, w których można przeprowadzić teorię kategorii. Kiedy teoria mnogości jest uogólniana do badania toposu Grothendiecka , analogicznym uogólnieniem teorii kategorii jest badanie kosmosu.
  1. Definicja Ross Street: taka dwukategoria
  2. istnieją małe produkty uboczne;
  3. każda monada dopuszcza konstrukcję Kleisliego (analogicznie do ilorazu relacji równoważności w toposie);
  4. jest lokalnie mały-kokompletny; I
  5. istnieje mały generator Cauchy'ego .

Kosmosy zamykają się na dualizm, parametryzację i lokalizację. Ross Street wprowadza również elementarne kosmosy .

Definicja Jeana Bénabou: bikompletna , symetryczna, monooidalna kategoria zamknięta

1972 Piotr Maj Operady : abstrakcja rodziny składanych funkcji kilku zmiennych wraz z akcją permutacji zmiennych. Operady można postrzegać jako teorie algebraiczne, a algebry nad operami są wówczas modelami teorii. Każda operada daje monadę na górze . Multikategorie z jednym obiektem to opery. PROP uogólniają operady, aby dopuszczać operacje z kilkoma wejściami i kilkoma wyjściami. Operady są używane do definiowania opetopów , teoria kategorii wyższych, teoria homotopii, algebra homologiczna, geometria algebraiczna, teoria strun i wiele innych dziedzin.
1972 William Mitchell – Jean Bénabou toposu Mitchella – Bénabou : dla toposu E z obiektem klasyfikatora podobiektów Ω język (lub teoria typów ) L ( E ) gdzie:
  1. typy są obiektami E
  2. wyrazy typu X w zmiennych x i typu X i są wyrażeniami wielomianowymi φ( x 1 ,..., x m ): 1→ X w strzałkach x i : 1→ X i w E
  3. wzory są wyrazami typu Ω (strzałki od typów do Ω)
  4. spójniki są indukowane z wewnętrznej struktury algebry Heytinga Ω
  5. omówiono również kwantyfikatory ograniczone typami i stosowane do formuł
  6. dla każdego typu X istnieją również dwie relacje binarne = X (zdefiniowane przy zastosowaniu mapy diagonalnej do iloczynu terminu argumentów) oraz ∈ X (zdefiniowane przy zastosowaniu mapy oceny do iloczynu terminu i potęgi terminu argumentów).

Formuła jest prawdziwa, jeśli strzałka, która ją interpretuje, przechodzi przez strzałkę prawda: 1→Ω. Wewnętrzny język Mitchella-Bénabou jest potężnym sposobem opisywania różnych obiektów w toposie, tak jakby były zbiorami, a zatem jest sposobem przekształcania toposu w uogólnioną teorię mnogości, pisania i udowadniania twierdzeń w toposie przy użyciu intuicjonistycznego predykatu pierwszego rzędu logiki, rozpatrywać toposy jako teorie typu i wyrażać właściwości toposu. Każdy język L generuje również topos językowy E (L)

1973 Chrisa Reedy'ego Kategorie Reedy'ego: kategorie „kształtów”, które można wykorzystać do teorii homotopii. Kategoria Reedy'ego to kategoria R wyposażona w strukturę umożliwiającą indukcyjne konstruowanie diagramów i naturalnych przekształceń kształtu R . Najważniejszą konsekwencją struktury Reedy'ego na R jest istnienie struktury modelowej na kategorii funktorów M R zawsze, gdy M jest kategorią modelową . Kolejną zaletą struktury Reedy'ego jest to, że jej kofibracje, fibracje i faktorizacje są jawne. W kategorii Reedy'ego istnieje pojęcie morfizmu iniekcyjnego i surjektywnego, tak że każdy morfizm można jednoznacznie rozłożyć na czynniki jako surjekcję, po której następuje iniekcja. Przykładami są porządkowa α uważana za poset , a zatem za kategorię. Przeciwieństwem R ° kategorii Reedy'ego R jest również kategoria Reedy'ego. Kategoria simpleks Δ i bardziej ogólnie dla dowolnego zbioru uproszczonego X jego kategoria uproszczeń Δ / X to kategoria Reedy'ego. Struktura modelu na M Δ dla kategorii modelu M jest opisana w niepublikowanym manuskrypcie autorstwa Chrisa Reedy'ego
1973 Kenneth Brown – Stephen Gersten Pokazuje istnienie globalnej zamkniętej struktury modelu w kategorii snopów uproszczonych w przestrzeni topologicznej, ze słabymi założeniami dotyczącymi przestrzeni topologicznej
1973 Kennetha Browna Uogólniona kohomologia snopów przestrzeni topologicznej X ze współczynnikami snop na X o wartościach w kategorii Kans widm z pewnymi warunkami skończoności. Uogólnia uogólnioną teorię kohomologii i kohomologię snopów ze współczynnikami w zespole snopów abelowych
1973 Williama Lawvere'a Stwierdza, że ​​zupełność Cauchy'ego można wyrazić dla ogólnych kategorii wzbogaconych z kategorią uogólnionych przestrzeni metrycznych jako przypadkiem szczególnym. Sekwencje Cauchy'ego stają się lewymi modułami sprzężonymi, a zbieżność staje się reprezentowalnością
1973 Jean Bénabou Dystrybutorzy (nazywani także modułami, profunktorami, mostami kierowanymi)
1973 Pierre'a Deligne'a Dowodzi ostatniej z hipotez Weila , analogicznej do hipotezy Riemanna
1973 Michael Boardman – Rainer Vogt Kategorie Segal : Uproszczone odpowiedniki A∞ - kategorii . W naturalny sposób uogólniają kategorie uproszczone , w tym sensie, że można je uważać za kategorie uproszczone, w których skład został oddany jedynie homotopii.

0 Def: Przestrzeń uproszczona X taka, że ​​X (zbiór punktów) jest dyskretnym zbiorem uproszczonym , a mapa Segala

φ k : X k → X 1 × X 0 ... × X 0 X 1 (indukowane przez X (α i ): X k → X 1 ) przypisane do X

jest słabą równoważnością zbiorów uproszczonych dla k ≥ 2.


Kategorie Segal są słabą formą S-kategorii, w których skład jest zdefiniowany tylko do spójnego systemu równoważności. Kategorie Segal zostały zdefiniowane rok później w sposób dorozumiany przez Graeme'a Segala . Zostały one nazwane kategoriami Segala po raz pierwszy przez Williama Dwyera – Daniela Kana – Jeffreya Smitha 1989. W swojej słynnej książce Homotopy niezmienne struktury algebraiczne w przestrzeniach topologicznych J. Michael Boardman i Rainer Vogt nazwali je quasi-kategoriami . Quasi-kategoria to uproszczony zbiór spełniający warunek słabego Kan, dlatego quasi-kategorie nazywane są również słabymi zespołami Kan

1973 Daniela Quillena Kategorie Frobeniusa : Dokładna kategoria , w której klasy obiektów iniekcyjnych i rzutowych pokrywają się i dla wszystkich obiektów x w kategorii występuje deflacja P( x )→ x (pokrycie rzutowe x) i inflacja x →I( x ) (powłoka iniekcyjna x ) taka, że ​​zarówno P(x), jak i I( x ) należą do kategorii obiektów pro/iniekcyjnych. Kategoria E Frobeniusa jest przykładem kategorii wzorcowej a iloraz E /P (P jest klasą obiektów rzutowych/iniekcyjnych) jest jego kategorią homotopii hE
1974 Michał Artin Uogólnia stosy Deligne-Mumford na stosy Artina
1974 Roberta Pare Twierdzenie Paré o monadyczności: E jest toposem → E ° jest monadyczne nad E
1974 Andy'ego Magida Uogólnia teorię Galois Grothendiecka z grup na przypadek pierścieni za pomocą grupoid Galois
1974 Jean Bénabou Logika kategorii światłowodowych
1974 Johna Graya Szare kategorie z produktem Grey tensor
1974 Kennetha Browna Pisze bardzo wpływową pracę, w której definiuje kategorie Browna obiektów fibrantowych i podwójnie Browna kategorie obiektów współfibrantowych
1974 Shiing-Shen Chern – James Simons Teoria Cherna-Simonsa : szczególny TQFT, który opisuje niezmienniki węzłów i rozmaitości , w tamtym czasie tylko w 3D
1975 Saul Kripke – André Joyal Kripke-Joyal semantyka wewnętrznego języka Mitchell-Bénabou dla toposów: logika w kategoriach snopów to intuicjonistyczna logika predykatów pierwszego rzędu
1975 Radu Diaconescu Twierdzenie Diaconescu : Wewnętrzny aksjomat wyboru zachodzi w toposie → topos jest toposem boolowskim. Tak więc w IZF aksjomat wyboru implikuje prawo wyłączonego środka
1975 Manfred Szabo Polikategorie
1975 Williama Lawvere'a Zauważa, że ​​twierdzenie Deligne'a o wystarczającej liczbie punktów w spójnym toposie implikuje twierdzenie Gödla o kompletności dla logiki pierwszego rzędu w tym toposie
1976 Aleksandra Grothendiecka Schematyczne typy homotopii
1976 Marcela Crabbe'a Kategorie Heytinga zwane także logozami: regularne kategorie , w których podobiekty obiektu tworzą siatkę i w których każda odwrócona mapa obrazu ma prawe sprzężenie. Dokładniej spójna kategoria C taka, że ​​dla wszystkich morfizmów f : A → B w C funktor f *:Sub C ( B ) → Sub C ( A ) ma lewy spójnik i prawy spójnik. Sub C ( A ) to zamówienie w przedsprzedaży podobiektów A (pełna podkategoria C / A , której obiekty są podobiektami A ) w C . Każdy topos jest logosem. Kategorie Heytinga uogólniają algebry Heytinga .
1976 ulica Rossa Komputery
1977 Michael Makkai – Gonzalo Reyes rozwija wewnętrzny język toposu Mitchella – Bénabou w bardziej ogólnym kontekście
1977 Andre Boileau – André Joyal – John Zangwill LST, lokalna teoria mnogości: lokalna teoria mnogości jest typową teorią mnogości , której podstawową logiką jest logika intuicjonistyczna wyższego rzędu . Jest to uogólnienie klasycznej teorii mnogości, w której zbiory są zastępowane terminami określonych typów. Kategoria C(S) zbudowana z lokalnej teorii S, której obiektami są zbiory lokalne (lub S-zbiory), a strzałkami są lokalne mapy (lub S-mapy), jest toposem lingwistycznym. Każdy topos E jest odpowiednikiem toposu językowego C(S( E ))
1977 Johna Robertsa Wprowadza najbardziej ogólną nieabelową kohomologię kategorii ω z kategoriami ω jako współczynnikami, kiedy zdał sobie sprawę, że ogólna kohomologia polega na kolorowaniu uproszczeń w kategoriach ω. Istnieją dwie metody konstruowania ogólnej kohomologii nieabelowej, jako kohomologia snopów nieabelowych pod względem pochodzenia dla snopów o wartościach kategorii ω oraz pod względem teorii kohomologii homotopicznej, która realizuje kocykle. Oba podejścia są powiązane przez kodowanie
1978 Johna Robertsa Zestawy złożone (uproszczone zestawy ze strukturą lub zaklęciem)
1978 Francois Bayen – Moshe Flato – Chris Fronsdal – André Lichnerowicz – Daniel Sternheimer Kwantyzacja deformacji , później część kwantyzacji kategorycznej
1978 Andrzej Joyal Gatunki kombinatoryczne w kombinatoryce enumeratywnej
1978 Dona Andersona Opierając się na pracy Kennetha Browna, definiuje kategorie (ko)fibracji ABC do wykonywania teorii homotopii i bardziej ogólnych kategorii modeli ABC, ale teoria ta pozostaje uśpiona do 2003 r. Każda kategoria modelu Quillena jest kategorią modelu ABC. Różnica w stosunku do kategorii modeli Quillena polega na tym, że w kategoriach modeli ABC fibracje i kofibracje są niezależne, a dla modelu ABC kategoria MD jest kategorią modelu ABC. Z kategorią (ko)fibracji ABC jest kanonicznie powiązany (lewo) prawy derywat Hellera . Przestrzenie topologiczne z równoważnościami homotopii jako równoważnościami słabymi, kofibracjami Hurewicza jako kofibracjami i fibracjami Hurewicza jako fibracjami tworzą kategorię modelu ABC, strukturę modelu Hurewicza na górze . Kompleksy obiektów w kategorii abelowej z quasi-izomorfizmami jako słabymi równoważnościami i monomorfizmami jako kofibracjami tworzą kategorię prekofibracji ABC
1979 Dona Andersona Aksjomaty Andersona dla teorii homotopii w kategoriach z funktorem ułamkowym
1980 Aleksander Zamołodczikow Równanie Zamolodczikowa zwane także równaniem czworościanu
1980 ulica Rossa Dwukategoryczny lemat Yonedy
1980 Masaki Kashiwara – Zoghman Mebkhout Dowodzi korespondencji Riemanna – Hilberta dla rozmaitości zespolonych
1980 Piotra Freyda Cyfry w toposie

1981–1990

Rok Współtwórcy Wydarzenie
1981 Shigeru Mukai Transformata Mukai-Fouriera
1982 Boba Waltersa Wzbogacone kategorie o bikategorie jako bazę
1983 Aleksandra Grothendiecka W pogoni za stosami : Rękopis rozesłany z Bangor, napisany w języku angielskim w odpowiedzi na korespondencję w języku angielskim z Ronaldem Brownem i Timem Porterem , począwszy od listu zaadresowanego do Daniela Quillena , rozwijanie matematycznych wizji w 629-stronicowym rękopisie, rodzaj pamiętnika, i do zostanie opublikowany przez Société Mathématique de France pod redakcją G. Maltsiniotisa.
1983 Aleksandra Grothendiecka Pierwsze pojawienie się ścisłych ∞-kategorii w ściganiu stosów, zgodnie z opublikowaną w 1981 definicją autorstwa Ronalda Browna i Philipa J. Higginsa.
1983 Aleksandra Grothendiecka Fundamentalna grupoida nieskończoności : kompletny niezmiennik homotopii Π ∞ ( X ) dla CW-kompleksów X . Funktor odwrotny jest geometrycznym funktorem realizacji | . | i razem tworzą „równoważność” między kategorią CW-kompleksów a kategorią ω-grupoid
1983 Aleksandra Grothendiecka Hipoteza homotopii : kategoria homotopii kompleksów CW jest Quillenem równoważna kategorii homotopii rozsądnych słabych ∞-grupoid
1983 Aleksandra Grothendiecka Pochodne Grothendiecka : model teorii homotopii podobny do kategorii modeli Quilena , ale bardziej zadowalający. Pochodne Grothendiecka są dualne do pochodnych Hellera
1983 Aleksandra Grothendiecka Elementarne modelizatory: kategorie presnopów, które modelują typy homotopii (uogólniając w ten sposób teorię zbiorów uproszczonych ). Modelizatory kanoniczne są również używane w ściganiu stosów
1983 Aleksandra Grothendiecka Funktory gładkie i funktory właściwe
1984 Władimir Bażanow – Razumow Stroganow Równanie d-simplex Bazhanova – Stroganowa uogólniające równanie Yanga – Baxtera i równanie Zamolodczikowa
1984 Horsta Herrlicha Topologia uniwersalna w topologii kategorycznej : unifikujące podejście kategoryczne do różnych zbiorów strukturalnych (struktur topologicznych, takich jak przestrzenie topologiczne i przestrzenie jednolite), których klasa tworzy kategorię topologiczną podobną do algebra uniwersalna dla struktur algebraicznych
1984 Andrzej Joyal Snopy uproszczone (krążki z wartościami w zbiorach uproszczonych). Uproszczone krążki w przestrzeni topologicznej X są modelem hiperkompletnego ∞-toposu Sh( X ) ^
1984 Andrzej Joyal Pokazuje, że kategoria obiektów uproszczonych w toposie Grothendiecka ma zamkniętą strukturę modelową
1984 André Joyal – Myles Tierney Główne twierdzenie Galois dotyczące toposów: każdy topos jest równoważny z kategorią wstępnych snopów étale na otwartej grupoidzie étale
1985 Michael Schlessinger – Jim Stasheff L ∞ -algebry
1985 André Joyal – Ross Street Plecione kategorie monoidalne
1985 André Joyal – Ross Street Twierdzenie o koherencji Joyala-Streeta dla splecionych kategorii monoidalnych
1985 Paul Ghez – Ricardo Lima – John Roberts C*-kategorie
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Wpływowa książka: Wprowadzenie do logiki kategorialnej wyższego rzędu
1986 Joachim Lambek – Phil Scott Podstawowe twierdzenie topologii: funktor sekcji Γ i funktor zarodka Λ ustanawiają podwójne sprzężenie między kategorią snopów wstępnych a kategorią wiązek (w tej samej przestrzeni topologicznej), które ogranicza się do podwójnej równoważności kategorii (lub dwoistości) między odpowiednie pełne podkategorie snopów i wiązek etale
1986 Peter Freyd – David Yetter Konstruuje monooidalną (zwartą) kategorię splotów
1986 Vladimir Drinfeld – Michio Jimbo Grupy kwantowe : Innymi słowy, quasi-trójkątne algebry Hopfa . Chodzi o to, że kategorie reprezentacji grup kwantowych są kategoriami tensorowymi z dodatkową strukturą. Stosowane są w konstrukcji kwantowych niezmienników węzłów i połączeń oraz rozmaitości niskowymiarowych, teorii reprezentacji, teorii q-deformacji, CFT , układów całkowalnych . Niezmienniki są zbudowane z plecionych kategorii monoidalnych , które są kategoriami reprezentacji grup kwantowych. Podstawowa struktura TQFT jest modułową kategorią reprezentacji grupy kwantowej
1986 Saundersa MacLane'a Matematyka, forma i funkcja (podstawy matematyki)
1987 Jean-Yves Girard Logika liniowa : Wewnętrzna logika kategorii liniowej ( kategoria wzbogacona z jej zbiorami Hom będącymi przestrzeniami liniowymi )
1987 Piotra Freyda Twierdzenie Freyda o reprezentacji dla toposów Grothendiecka
1987 ulica Rossa Definicja nerwu słabej n -kategorii i otrzymanie w ten sposób pierwszej definicji słabej n -kategorii za pomocą uproszczeń
1987 Ross Street – John Roberts Formułuje hipotezę Streeta-Robertsa: Ścisłe kategorie ω są równoważne zbiorom komplikacyjnym
1987 André Joyal – Ulica Rossa – Mei Chee Shum Kategorie wstążek : zbalansowana kategoria sztywnych plecionych monoidów
1987 ulica Rossa n-komputery
1987 Ianem Aitchisonem Oddolny algorytm trójkąta Pascala do obliczania nieabelowych warunków n -kocyklu dla kohomologii nieabelowej
1987 Vladimir Drinfeld - Gérard Laumon Formułuje geometryczny program Langlandsa
1987 Władimir Turajew Uruchamia topologię kwantową przy użyciu grup kwantowych i macierzy R w celu uzyskania algebraicznej unifikacji większości znanych wielomianów węzłów . Szczególnie ważna była Vaughana Jonesa i Edwarda Wittensa nad wielomianem Jonesa
1988 Alex Heller Aksjomaty Hellera dla teorii homotopii jako specjalnego abstrakcyjnego hiperfunktora. Cechą tego podejścia jest bardzo ogólna lokalizacja
1988 Alex Heller Derywatory Hellera , podwójne derywaty Grothendiecka
1988 Alex Heller Daje globalną zamkniętą strukturę modelu w kategorii uproszczonych snopów wstępnych . John Jardine podał również modelową strukturę w kategorii uproszczonych snopów wstępnych
1988 Gregory'ego Moore'a - Nathana Seiberga Racjonalne konforemne teorie pola prowadzą do modularnych kategorii tensorowych
1988 Graem Segal Obiekty eliptyczne: funktor, który jest skategoryzowaną wersją wiązki wektorów wyposażonej w połączenie, jest to transport równoległy 2D dla łańcuchów
1988 Graem Segal Konformalna teoria pola CFT : Symetryczny funktor monoidalny Z: nCob C → Hilb spełniający pewne aksjomaty
1988 Edwarda Wittena Topologiczna kwantowa teoria pola TQFT : Funktor monooidalny Z: nCob → Hilb spełniający pewne aksjomaty
1988 Edwarda Wittena Topologiczna teoria strun
1989 Hansa Bauesa Wpływowa książka: homotopia algebraiczna
1989 Michael Makkai – Robert Paré Dostępne kategorie : kategorie z „dobrym” zestawem generatorów pozwalających manipulować dużymi kategoriami tak, jakby były małymi kategoriami , bez obawy napotkania jakichkolwiek paradoksów teorii mnogości. Kategorie, które można prezentować lokalnie, są kompletnymi dostępnymi kategoriami. Dostępne kategorie to kategorie modeli szkiców . Nazwa pochodzi od tego, że kategorie te są dostępne jako modele szkiców.
1989 Edwarda Wittena Funkcjonalny formalizm całkowy Wittena i niezmienniki Wittena dla rozmaitości.
1990 Piotra Freyda Alegorie : Abstrakcja kategorii zbiorów z relacjami jako morfizmami , wykazuje takie samo podobieństwo do relacji binarnych, jak kategorie do funkcji i zbiorów. Jest to kategoria, w której oprócz składu istnieje odwrotność operacji jednoargumentowej R ° i część przecięcia operacji binarnej R ∩ S , podobnie jak w kategorii zbiorów z relacjami jako morfizmami (zamiast funkcji), dla których istnieje szereg aksjomatów wymagany. Uogólnia algebrę relacji na relacje między różnymi rodzajami.
1990 Nicolai Reshetikhin – Vladimir Turaev – Edward Witten Niezmienniki węzłów Reshetikhina – Turajewa – Wittena z modularnych kategorii tensorowych reprezentacji grup kwantowych .

1991-2000

Rok Współtwórcy Wydarzenie
1991 Jean-Yves Girard Polaryzacja logiki liniowej .
1991 ulica Rossa Kompleksy parytetu. Kompleks parzystości generuje wolną kategorię ω.
1991 André Joyal - Ross Street Formalizacja diagramów strun Penrose'a do obliczeń z abstrakcyjnymi tensorami w różnych kategoriach monoidalnych z dodatkową strukturą. Rachunek zależy teraz od połączenia z topologią niskowymiarową .
1991 ulica Rossa Definicja pochodzenia ścisłej kategorii ω cosimplicial ścisłej kategorii ω.
1991 ulica Rossa Algorytm wycinania ekstremów z góry na dół do obliczania nieabelowych warunków n -kocykli dla kohomologii nieabelowej .
1992 Yves Diers Aksjomatyczna geometria kategorialna z wykorzystaniem kategorii algebraiczno-geometrycznych i funktorów algebraiczno-geometrycznych.
1992 Saunders Mac Lane - Ieke Moerdijk Wpływowa książka: Krążki w geometrii i logice .
1992 John Greenlees – Peter May Dualizm Greenleesa-Maya
1992 Władimir Turajew Modułowe kategorie tensorów. Specjalne kategorie tensorowe powstające przy konstruowaniu niezmienników węzłów , przy konstruowaniu TQFT i CFT , jako obcięcie (iloraz półprosty) kategorii reprezentacji grupy kwantowej (u pierwiastków jedności), jako kategorie reprezentacji słabych algebr Hopfa , jako kategoria reprezentacje RCFT .
1992 Vladimir Turaev - Oleg Viro Modele sum stanu Turaev-Viro oparte na kategoriach sferycznych (modele sum pierwszego stanu) i niezmienniki sumy stanu Turaev-Viro dla 3-rozmaitości.
1992 Władimir Turajew Cień świata powiązań: Cienie powiązań dają niezmienniki cieni powiązań przez sumy stanów cienia.
1993 Ruth Lawrence Rozszerzone TQFT
1993 David Yetter- Louis Crane Modele sum stanu Crane-Yetter oparte na kategoriach wstążki i niezmiennikach sumy stanu Crane-Yetter dla 4-rozmaitości.
1993 Kenji Fukaya A ∞ -kategorie i A ∞ -funktory : Najczęściej w algebrze homologicznej , kategoria z kilkoma składami, tak że pierwsza kompozycja jest asocjacyjna aż do homotopii, która spełnia równanie, które jest zgodne z inną homotopią itp. (asocjacyjna do wyższej homotopii ). A oznacza skojarzenie.

Def: Kategoria C taka, że

  1. dla wszystkich X , Y w Ob( C ) zbiory Hom Hom C ( X , Y ) są skończonymi wymiarowymi kompleksami łańcuchowymi modułów o stopniowaniu Z
  2. dla wszystkich obiektów X 1 , ..., X n w Ob( C ) istnieje rodzina liniowych map składu (składy wyższe)
00 m n : Hom do ( X , X 1 ) ⊗ Hom do ( X 1 , X 2 ) ⊗ ... ⊗ Hom do ( X n −1 , X n ) → Hom do ( X , X n )
stopnia n - 2 (stosuje się konwencję klasyfikacji homologicznej) dla n ≥ 1
  1. m 1 jest różniczką na łańcuchu złożonym Hom C ( X , Y )
  2. m n spełniają kwadratowe równanie A ∞ -asocjatywności dla wszystkich n ≥ 0.

m1 i m2 będą mapami łańcuchowymi , ale kompozycje mi wyższego rzędu nie są mapami łańcuchowymi ; niemniej jednak są to produkty Massey . W szczególności jest to kategoria liniowa .

Przykładami są kategoria Fukayi Fuk( X ) i przestrzeń pętli Ω X , gdzie X jest przestrzenią topologiczną i A ∞ -algebry jako A ∞ -kategorie z jednym obiektem.

Gdy nie ma wyższych map (trywialnych homotopii), C jest kategorią dg . Każda A ∞ jest quasiisomorficzna w sposób funktoralny do kategorii dg. Quasiisomorfizm to mapa łańcucha, która jest izomorfizmem w homologii.

Ramy kategorii dg i funktorów dg są zbyt wąskie dla wielu problemów i lepiej jest rozważyć szerszą klasę kategorii A ∞ i funktorów A ∞ . Wiele cech A ∞ -kategorii i A ∞ -funktorów wynika z faktu, że tworzą one symetryczną zamkniętą multikategorię , co ujawnia się w języku komonad . Z perspektywy wielowymiarowej A ∞ -kategorie są słabymi ω -kategoriami ze wszystkimi morfizmami odwracalnymi. A ∞ -kategorie można również postrzegać jako nieprzemienne formalne dg-rozmaitości z zamkniętym zaznaczonym podschematem obiektów.

1993 Johna Barreta-Bruce'a Westbury'ego Kategorie sferyczne : kategorie monoidalne z liczbami podwójnymi dla diagramów na sferach zamiast na płaszczyźnie.
1993 Maksym Koncewicz Niezmienniki Kontsevicha dla węzłów (są całkami Feynmana rozwinięcia perturbacji dla całki funkcyjnej Wittena) określone przez całkę Kontsevicha. Są uniwersalnymi niezmiennikami Vassilieva dla węzłów.
1993 Daniel Freed Nowe spojrzenie na TQFT przy użyciu kategorii tensorów modułowych, które łączy trzy podejścia do TQFT (modułowe kategorie tensorów z całek po trajektoriach).
1994 Franciszek Borceux Podręcznik algebry kategorialnej (3 tomy).
1994 Jean Bénabou – Bruno Loiseau Orbitale w toposie.
1994 Maksym Koncewicz Formułuje hipotezę homologicznej symetrii lustrzanej : X zwarta rozmaitość symplektyczna z pierwszą klasą Cherna c 1 ( X ) = 0 i Y zwarta rozmaitość Calabiego-Yau są parami lustrzanymi wtedy i tylko wtedy, gdy D (Fuk X ) (kategoria pochodna Fukaya triangulowana kategoria X wymyślona z cykli Lagrange'a z układami lokalnymi) jest równoważna podkategorii D b (Coh Y ) (ograniczona kategoria pochodna spójnych snopów na Y ).
1994 Louis Crane – Igor Frenkel Kategorie Hopfa i konstruowanie przez nie TQFT 4D.
1994 Johna Fischera Definiuje kategorię 2 węzłów 2 (powierzchnie z węzłami).
1995 Bob Gordon-John Power- Ross Street Trikategorie i odpowiadające im twierdzenie o koherencji : Każda słaba 3-kategoria jest równoważna 3-kategorii Graya.
1995 Ross Street – Dominic Verity Diagramy powierzchniowe dla trikategorii.
1995 Ludwik Crane Kategoryzacja monet prowadząca do drabiny kategorycznej.
1995 Sjoerd Crans Ogólna procedura przenoszenia zamkniętych struktur modelu na kategorii wzdłuż przylegających par funktorów do innej kategorii.
1995 André Joyal - Ieke Moerdijk AST, algebraiczna teoria mnogości: czasami nazywana także kategoryczną teorią mnogości. Był rozwijany od 1988 roku przez André Joyala i Ieke Moerdijka i po raz pierwszy został przez nich szczegółowo przedstawiony jako książka w 1995 roku. AST to ramy oparte na teorii kategorii do badania i organizowania teorii mnogości oraz konstruowania modeli teorii mnogości. Celem AST jest zapewnienie jednolitej semantyki kategorycznej lub opisu różnych rodzajów teorii mnogości (klasycznych lub konstruktywnych, ograniczonych, predykatywnych lub impredykatywnych, dobrze uzasadnionych lub nieuzasadnionych, ...), różnych konstrukcji skumulowana hierarchia zbiorów, modele forsowania, modele snopów i modele realizacyjności. Zamiast skupiać się na kategoriach zbiorów, AST skupia się na kategoriach klas. Podstawowym narzędziem AST jest pojęcie kategorii ze strukturą klasową (kategoria klas wyposażona w klasę małych map (intuicja jest taka, że ​​ich włókna są w pewnym sensie małe), klasy mocy i obiekt uniwersalny (a wszechświat )), który zapewnia ramy aksjomatyczne, w których można konstruować modele teorii mnogości. Pojęcie kategorii klas pozwala zarówno na definiowanie algebr ZF (algebr Zermelo-Fraenkla), jak i struktur pokrewnych, wyrażających ideę, że hierarchia zbiorów jest strukturą algebraiczną, z jednej strony oraz interpretację logiki pierwszego rzędu elementarnych teoria mnogości z drugiej strony. Podkategoria zbiorów w kategorii klasowej jest toposem elementarnym a każdy topos elementarny występuje jako zbiory w kategorii klasowej. Sama kategoria klasowa zawsze wpisuje się w idealne uzupełnienie toposu. Interpretacja logiki jest taka, że ​​w każdej kategorii klas wszechświat jest modelem podstawowej intuicjonistycznej teorii mnogości (BIST), który jest logicznie kompletny w odniesieniu do modeli kategorii klas. Dlatego kategorie klas uogólniają zarówno teorię toposu, jak i intuicjonistyczną teorię mnogości. AST zakłada i formalizuje teorię mnogości na algebrze ZF z sumą operacji i następnikiem (singleton) zamiast na relacji przynależności. Aksjomaty ZF to nic innego jak opis wolnej algebry ZF, podobnie jak Aksjomaty Peano to opis swobodnego monoidu na jednym generatorze. W tej perspektywie modele teorii mnogości są algebrami odpowiednio przedstawionej teorii algebraicznej , a wiele znanych warunków teorii mnogości (takich jak zasadność) jest powiązanych ze znanymi warunkami algebraicznymi (takimi jak swoboda). Używając pomocniczego pojęcia małej mapy, można rozszerzyć aksjomaty toposu i podać ogólną teorię jednolitego konstruowania modeli teorii mnogości z toposów.
1995 Michał Makkaj SFAM, strukturalistyczna podstawa matematyki abstrakcyjnej. W SFAM wszechświat składa się z kategorii o wyższych wymiarach, funktory są zastępowane nasyconymi anafunktorami, zbiory są zbiorami abstrakcyjnymi, formalną logiką dla bytów jest FOLDS (logika pierwszego rzędu z zależnymi sortowaniami), w których relacja tożsamości nie jest dana a priori przez aksjomaty pierwszego rzędu, ale wywodzące się z kontekstu.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Zbiory opetopowe ( opetopy ) oparte na operadach . Słabe n -kategorie to zbiory n -opetopowe.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Wprowadził do matematyki układ okresowy, który identyfikuje k-krotność monoidalnych n-kategorii. Odzwierciedla tabelę grup homotopii sfer .
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Nakreślił program, w którym n -wymiarowe TQFT są opisane jako reprezentacje n-kategorii.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Proponowana kwantyzacja deformacji n -wymiarowej .
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Hipoteza splotu : n -kategoria obramowanych n -splątań w n + k wymiarach jest ( n + k )-równoważna swobodnej słabej k -tuply monooidalnej n -kategorii z liczbami podwójnymi na jednym obiekcie.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Hipoteza kobordyzmu (hipoteza rozszerzonego TQFT I): n -kategoria, której n -wymiarowe rozszerzone TQFT są reprezentacjami, nCob , to wolna stabilna słaba n -kategoria z liczbami podwójnymi na jednym obiekcie.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Hipoteza stabilizacji : Po dwukrotnym zawieszeniu słabej n -kategorii n + kolejne zawieszenia nie mają istotnego wpływu. Funktor zawieszenia S : nCat k → nCat k +1 jest równoważnością kategorii dla k = n + 2.
1995 Johna Baeza – Jamesa Dolana Hipoteza II rozszerzonego TQFT : N -wymiarowa jednostkowa rozszerzona TQFT jest słabym n -funktorem, zachowującym wszystkie poziomy dualności, od swobodnej stabilnej słabej n -kategorii z liczbami podwójnymi na jednym obiekcie do nHilb .
1995 Walenty Łychagin Kwantyzacja kategoryczna
1995 Pierre Deligne - Vladimir Drinfeld - Maxim Kontsevich Wyprowadzona geometria algebraiczna z pochodnymi schematami i pochodnymi stosami modułów . Program do rozwiązywania problemów z geometrii algebraicznej, a zwłaszcza modułów, w pochodnej kategorii schematów lub rozmaitości algebraicznych zamiast w ich normalnych kategoriach.
1997 Maksym Koncewicz o kwantyzacji deformacji formalnej : każda rozmaitość Poissona dopuszcza różniczkowalny iloczyn gwiazdowy i są one klasyfikowane do równoważności przez formalne deformacje struktury Poissona.
1998 Claudio Hermida-Michael-Makkai-John Power Wielotopy, zbiory wielotematyczne.
1998 Carlosa Simpsona Hipoteza Simpsona: każda słaba ∞-kategoria jest równoważna z ∞-kategorią, w której prawa składu i wymiany są surowe, a tylko prawa dotyczące jednostek mogą być słabe. Udowodniono to dla 1,2,3 -kategorii z pojedynczym obiektem.
1998 André Hirschowitz-Carlos Simpson Podaj modelową strukturę kategorii na kategorii kategorii Segal. Kategorie Segala to obiekty fibrant-kofibrant, a mapy Segala to słabe równoważności . W rzeczywistości uogólniają definicję na definicję n -kategorii Segala i podają modelową strukturę dla n -kategorii Segala dla dowolnego n ≥ 1.
1998 Chris Isham – Jeremy Butterfield Twierdzenie Kochena-Speckera w teorii toposów snopów wstępnych: snop widmowy (snop wstępny, który przypisuje każdemu operatorowi jego widmo) nie ma elementów globalnych ( sekcji globalnych ), ale może zawierać elementy częściowe lub elementy lokalne. Element globalny jest odpowiednikiem presnopów zwykłej idei elementu zestawu. W teorii kwantowej jest to równoważne z widmem C*-algebry obserwowalnych w toposie bez punktów.
1998 Richarda Thomasa Richard Thomas, uczeń Simona Donaldsona , wprowadza niezmienniki Donaldsona-Thomasa , które są systemami niezmienników numerycznych zespolonych 3-rozmaitości X , analogicznie do niezmienników Donaldsona w teorii 4-rozmaitości. Są to pewne ważone charakterystyki Eulera przestrzeni modułów krążków na X i „liczba” półstabilnych koherentnych krążków Giesekera ze stałym charakterem Cherna na X . W idealnym przypadku przestrzenie modułów powinny być krytycznymi zbiorami holomorficznych funkcji Cherna-Simonsa, a niezmiennikami Donaldsona-Thomasa powinna być liczba punktów krytycznych tej funkcji, policzonych poprawnie. Obecnie takie holomorficzne funkcje Cherna-Simonsa istnieją co najwyżej lokalnie.
1998 Johna Baeza Modele wirującej pianki : dwuwymiarowy kompleks komórek z twarzami oznaczonymi reprezentacjami i krawędziami oznaczonymi przez przeplatających się operatorów . Pianki spinowe to funktory pomiędzy kategoriami sieci spinowych. Każdy kawałek pianki spinowej daje sieć spinową.
1998 Johna Baeza – Jamesa Dolana Zasada mikrokosmosu: Pewne struktury algebraiczne można zdefiniować w dowolnej kategorii wyposażonej w skategoryzowaną wersję tej samej struktury.
1998 Aleksandra Rosenberga Schematy nieprzemienne : Para (Spec( A ),O A ), gdzie A jest kategorią abelową i jest z nią powiązana przestrzeń topologiczna Spec( A ) wraz z leżącym na niej snopem pierścieni O A. W przypadku gdy A = QCoh ( X ) dla schematu X para (Spec( A ),O A ) jest naturalnie izomorficzna ze schematem ( X Zar ,O X ) z wykorzystaniem równoważności kategorii QCoh (Spec( R )) = Mod R . Bardziej ogólnie kategorie abelowe lub kategorie triangulowane lub kategorie dg lub kategorie A ∞ powinny być traktowane jako kategorie quasi-koherentnych snopów (lub kompleksów snopów) na schematach nieprzemiennych. Jest to punkt wyjścia w nieprzemiennej geometrii algebraicznej . Oznacza to, że można myśleć o samej kategorii A jako o przestrzeni. Ponieważ A jest abelowe, pozwala to naturalnie wykonywać algebrę homologiczną na schematach nieprzemiennych, a zatem kohomologia snopów .
1998 Maksym Koncewicz Kategorie Calabiego – Yau: kategoria liniowa z mapą śledzenia dla każdego obiektu kategorii i powiązanym symetrycznym (w odniesieniu do obiektów) niezdegenerowanym parowaniem z mapą śledzenia. Jeśli X jest gładką rzutową rozmaitością Calabiego-Yau o wymiarze d , to Db ( Coh( X )) jest jednostkową kategorią Calabiego-Yau A ∞ o wymiarze Calabiego-Yau d . Kategoria Calabiego – Yau z jednym obiektem to algebra Frobeniusa .
1999 Joseph Bernstein – Igor Frenkel – Michaił Khovanov Kategorie Temperleya – Lieba: Obiekty są wyliczane za pomocą nieujemnych liczb całkowitych . Zbiór homomorfizmów od obiektu n do obiektu m jest wolnym modułem R z bazą na pierścieniu R . R jest podane przez klasy izotopów układów (| n | + | m |)/2 prostych parami rozłącznych łuków wewnątrz poziomego paska na płaszczyźnie, które łączą się parami | n | punkty na dole i | M | punkty na górze w jakiejś kolejności. Morfizmy są tworzone przez łączenie ich diagramów. Kategorie Temperleya – Lieba są podzielone na kategorie algebr Temperleya – Lieba .
1999 Moira Chas – Dennis Sullivan Konstruuje topologię ciągów według kohomologii. Jest to teoria strun dotycząca ogólnych rozmaitości topologicznych.
1999 Michaił Chowanow Homologia Khovanova : Teoria homologii dla węzłów, w której wymiary grup homologii są współczynnikami wielomianu Jonesa węzła.
1999 Władimir Turajew Kwantowa teoria pola homotopii HQFT
1999 Vladimir Voevodsky – Fabien Morel Konstruuje kategorię homotopii schematów .
1999 Ronald Brown – George Janelidze Dwuwymiarowa teoria Galois
2000 Władimir Wojewodski Podaje dwie konstrukcje motywicznej kohomologii rozmaitości, według kategorii modelowych w teorii homotopii i według triangulowanej kategorii motywów DM.
2000 Yasha Eliashberg – Alexander Givental – Helmut Hofer Symplektyczna teoria pola SFT : Funktor Z z kategorii geometrycznej uformowanych struktur hamiltonowskich i ujętych w ramki kobordyzmów między nimi do algebraicznej kategorii pewnych D-modułów różniczkowych i operatorów całkowych Fouriera między nimi i spełniających niektóre aksjomaty.
2000 Paweł Taylor ASD (Abstract Stone duality): Reaksjomatyzacja przestrzeni i map w ogólnej topologii pod względem rachunku λ obliczalnych funkcji ciągłych i predykatów, który jest zarówno konstruktywny, jak i obliczalny. Topologia w przestrzeni jest traktowana nie jako krata, ale jako wykładniczy obiekt tej samej kategorii co pierwotna przestrzeń, z powiązanym rachunkiem λ . Każde wyrażenie w rachunku λ oznacza zarówno funkcję ciągłą, jak i program. ASD nie posługuje się kategorią zbiorów , ale pełną podkategorię jawnych obiektów dyskretnych pełni tę rolę (obiekt jawny jest dualny do obiektu zwartego), tworząc arytmetyczny wszechświat (pretopos z listami) z ogólną rekurencją.

2001 – obecnie

Rok Współtwórcy Wydarzenie
2001 Karol Rez Konstruuje kategorię modelu z pewnymi uogólnionymi kategoriami Segala jako obiektami fibrantowymi, uzyskując w ten sposób model dla teorii homotopii teorii homotopii. Kompletne przestrzenie Segal są wprowadzane w tym samym czasie.
2001 Karol Rez Toposy modelowe i ich toposy homotopii uogólnienia (topos modelowy bez założenia t-zupełności).
2002 Bertrand Toën – Gabriele Vezzosi Toposy Segal pochodzące z topologii Segal, witryn Segal i stosów nad nimi.
2002 Bertrand Toën-Gabriele Vezzosi Homotopijna geometria algebraiczna : Główną ideą jest rozszerzenie schematów poprzez formalne zastąpienie pierścieni dowolnym rodzajem „obiektu podobnego do pierścienia homotopii”. Dokładniej obiekt ten jest monoidem przemiennym w kategorii monoidów symetrycznych obdarzonym pojęciem równoważności, które są rozumiane jako „monoid aż do homotopii” (np. E ∞ -pierścienie ).
2002 Petera Johnstone'a Wpływowa książka: szkice słonia – kompendium teorii toposu. Służy jako encyklopedia toposu (dwa z trzech tomów wydanych od 2008 r.).
2002 Dennis Gaitsgory – Kari Vilonen – Edward Frenkel Dowodzi geometrycznego programu Langlandsa dla GL( n ) nad ciałami skończonymi.
2003 Denis-Charles Cisiński Wykonuje dalsze prace nad kategoriami modeli ABC i wydobywa je z powrotem na światło dzienne. Odtąd nazywane są one kategoriami modeli ABC, na cześć ich autorów.
2004 Dennis Gaitsgory Rozszerzono dowód geometrycznego programu Langlandsa , aby obejmował GL( n ) nad C . Pozwala to na rozważenie krzywych nad C zamiast nad polami skończonymi w geometrycznym programie Langlandsa.
2004 Mario Caccamo Teoretyczny rozszerzony rachunek formalny kategorii λ dla kategorii.
2004 Francis Borceux-Dominique Bourn Kategorie homologiczne
2004 Samson Abramsky i Bob Coecke artykuł Kategoryczna semantyka protokołów kwantowych , który zapoczątkował oksfordzką szkołę kategorycznej mechaniki kwantowej , opartą na teorii zwartych kategorii zamkniętych .
2004 William Dwyer-Philips Hirschhorn- Daniel Kan -Jeffrey Smith W książce Funktory graniczne homotopii na kategoriach modelowych i kategoriach homotopicznych wprowadza formalizm kategorii homotopicznych i funktorów homotopicznych (funktory zachowujące słabą równoważność), które uogólniają formalizm kategorii modelowej Daniela Quillena . Kategoria homotopiczna ma tylko wyróżnioną klasę morfizmów (zawierającą wszystkie izomorfizmy) zwaną słabymi równoważnościami i spełniającą dwa z sześciu aksjomatów. Pozwala to na zdefiniowanie homotopicznych wersji obiektów początkowych i końcowych , granicy i kolimitu funktory (wyliczane w książce przez konstrukcje lokalne), zupełność i kozupełność , dowiązania , rozszerzenia Kan i własności uniwersalne .
2004 Dominik Verity Dowodzi hipotezy Streeta-Robertsa.
2004 ulica Rossa Definicja zejścia słabej ω-kategorii cosimplicial słabej ω-kategorii.
2004 ulica Rossa Twierdzenie o charakterystyce kosmosów : Bikategoria M jest kosmosem , jeśli istnieje podstawowa bikategoria W taka , że ​​M jest równoważna Mod W. W można przyjąć, że W jest dowolną pełną podkategorią M , której obiekty tworzą mały generator Cauchy'ego .
2004 Ross Street - Dzień Briana Kategorie kwantowe i grupoidy kwantowe : Kategoria kwantowa nad splecioną kategorią monooidalną V jest obiektem R z opmorfizmem h : R op ⊗ R → A w pseudomonoid A takim, że h * jest silnie monooidalną (zachowuje iloczyn tensorowy i jednostkę do spójnej naturalne izomorfizmy) i wszystkie R, h i A leżą w autonomicznej dwukategorii monoidalnej Comod( V ) co komonoidów. Comod( V ) = Mod ( V op ) kooperacja . Kategorie kwantowe zostały wprowadzone w celu uogólnienia i grupoidów Hopfa . Groupoida kwantowa to algebra Hopfa z kilkoma obiektami.
2004 Stephan Stolz – Peter Teichner Definicja nD QFT stopnia p sparametryzowanego przez rozmaitość.
2004 Stephan Stolz – Peter Teichner Graeme Segal zaproponował w latach 80. zapewnienie geometrycznej konstrukcji kohomologii eliptycznej (prekursora tmf ) jako pewnego rodzaju przestrzeni modułów CFT. Stephan Stolz i Peter Teichner kontynuowali i rozwinęli te idee w programie konstruowania TMF jako przestrzeni modułów supersymetrycznych euklidesowych teorii pola. Przypuszczali obraz Stolza-Teichnera (analogia) między przestrzeniami klasyfikującymi teorii kohomologii w filtracji chromatycznej (kohomologia de Rham, K-teoria, Morava K-teorie) i przestrzenie modułów supersymetrycznych QFT sparametryzowanych przez rozmaitość (udowodnione w 0D i 1D).
2005 Piotra Selingera Ukuł termin kategorie sztyletów i funktory sztyletów . Kategorie sztyletów wydają się być częścią większej struktury obejmującej n-kategorie z liczbami podwójnymi.
2005 Peter Ozsváth – Zoltán Szabó Homologia węzła Floera
2006 P. Carrasco-AR Garzon-EM Vitale Kategoryczne moduły skrzyżowane
2006 Aslak Bakke Buan – Robert Marsh – Markus Reineke – Idun Reiten – Gordana Todorov Kategorie klastrów: Kategorie klastrów to szczególny przypadek triangulowanych kategorii Calabiego – Yau o wymiarze 2 Calabiego – Yau oraz uogólnienie algebr klastrów .
2006 Jakub Luri Monumentalna książka: Wyższa teoria toposu : na swoich 940 stronach Jacob Lurie uogólnia powszechne koncepcje teorii kategorii na wyższe kategorie i definiuje n-toposy, ∞-toposy , snopki n-typów, ∞-miejsca, ∞- lemat Yoneda i udowadnia Lurie twierdzenie o charakterystyce dla toposów o wyższych wymiarach. Teorię wyższych toposów Luriego można interpretować jako dającą dobrą teorię snopów przyjmujących wartości w ∞-kategoriach. Z grubsza ∞-topos jest ∞-kategorią, która wygląda jak ∞-kategoria wszystkich typów homotopii . W toposie można zrobić matematykę. W wyższym toposie można nie tylko uprawiać matematykę, ale także „ n -geometrię”, czyli teorię wyższej homotopii. Hipoteza toposu głosi, że kategoria ( n +1) n Kot jest toposem Grothendiecka ( n +1). Teorię wyższych toposów można również wykorzystać w sposób czysto algebraiczno-geometryczny do rozwiązywania różnych problemów z modułami w tym ustawieniu.
2007 Bernhard Keller-Thomas Hugh kategorie klastrów d
2007 Dennis Gaitsgory jako Jacob Lurie Przedstawia pochodną wersję geometrycznej równoważności Satake i formułuje geometryczną dualność Langlandsa dla grup kwantowych .

Geometryczna równoważność Satake zrealizowała kategorię reprezentacji podwójnej grupy Langlandsa L G pod względem sferycznych krążków perwersyjnych (lub D-modułów ) na afinicznym Grassmannianie Gr G = G (( t ))/ G [[t]] Oryginalna grupa G.

2008 Ieke Moerdijk – Clemens Berger Rozszerza i ulepsza definicję kategorii Reedy'ego, aby stała się niezmienna w ramach równoważności kategorii .
2008 Michael J. Hopkins – Jacob Lurie Szkic dowodu hipotezy splątania Baeza-Dolana i hipotezy kobordyzmu Baeza-Dolana , które klasyfikują rozszerzone TQFT we wszystkich wymiarach.
2019 Brendan Fong – David Spivak Pierwszy podręcznik dla powstającej dziedziny, która określa się jako stosowana teoria kategorii , w której teoria kategorii jest stosowana poza czystą matematyką: An Invitation to Applied Category Theory: Seven Sketches in Compositionality

Zobacz też

Notatki

Pobrano z „ https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Timeline_of_category_theory_and_related_mathematics&oldid=1129502734 ”