Transformata Fouriera-Mukai

W geometrii algebraicznej transformata Fouriera – Mukai Φ _K jest funktorem między pochodnymi kategoriami spójnych krążków D ( X ) → D ( Y ) dla schematów X i Y , co jest w pewnym sensie transformacją całkową wzdłuż obiektu jądra K ∈ re( X × Y ). Większość naturalnych funktorów, w tym podstawowe, takie jak pushforward i pullback , są tego typu.

Tego rodzaju funktory zostały wprowadzone przez Mukai ( 1981 ) w celu udowodnienia równoważności między pochodnymi kategoriami spójnych snopów na rozmaitości abelowej i jej dualnej . Ta równoważność jest analogiczna do klasycznej transformaty Fouriera , która daje izomorfizm między rozkładami temperowanymi w skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej i jej podwójnej .

Definicja

Niech X i Y będą gładkimi rozmaitościami rzutowymi , K ∈ D ^b ( X × Y ) obiektem w pochodnej kategorii spójnych snopów na ich produkcie. Oznaczmy przez q rzut X × Y → X , przez p rzut X × Y → Y . Wtedy transformata Fouriera-Mukai Φ _K jest funktorem D ^b ( X )→D ^b ( Y ) podane przez

${\ Displaystyle {\ mathcal {F}} \ mapsto \ operatorname {R} p_ {*} \ lewo (q ^ {*} {\ mathcal {F}} \ czasami ^{L}K\right)}$

$gdzie$ R p _* jest pochodnym bezpośrednim funktorem obrazu i iloczynem tensorowym .

Transformacje Fouriera-Mukai zawsze mają lewe i prawe sprzężenia , z których oba są również transformacjami jądra. Mając dwa jądra K ₁ ∈ D ^b ( X × Y ) i K ₂ ∈ D ^b ( Y × Z ), złożony funktor Φ _{K 2} ∘ Φ _{K 1} jest również transformatą Fouriera-Mukai.

Snop struktury przekątnej ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {\ Delta} \ in \ operatorname {D} ^ {b} (X \ razy X)}$ , wzięte jako jądro, tworzy funktor tożsamości na D ^b ( X ). Dla morfizmu f : X → Y , snop struktury wykresu Γ _f wytwarza wypychanie do przodu , gdy jest postrzegane jako obiekt w D ^b ( X × Y ), lub a wycofanie , gdy jest postrzegane jako obiekt w D ^b ( Y × X ).

O odmianach abelowych

Niech $\ displaystyle X}$$.$ będzie rozmaitością abelową i będzie jej podwójną Wiązka Poincarégo $}$ , $\ displaystyle {\ mathcal {$ tak, aby była trywialna na włóknie przy zera, może być używana jako P { Jądro Fouriera-Mukai. niech ${\ displaystyle p}$ i ${\ displaystyle {\ hat {p}}}$ będą projekcjami kanonicznymi. Odpowiedni funktor Fouriera – Mukai z jądrem jest zatem ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle R {\ mathcal {S}}: {\ mathcal {F}} \ w re ( X)\mapsto R{\hat {p}}_{\ast}(p^{\ast}}{\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {P}})\w D({\hat {X }})}$

Istnieje podobny funktor

${\ Displaystyle R {\ widehat {\ mathcal {S}}}: D ({\ kapelusz {X}}) \ do D (X). \,}$

Jeśli kanoniczna klasa odmiany jest obfita lub anty-obfita, to pochodna kategoria spójnych snopów określa różnorodność. Ogólnie rzecz biorąc, rozmaitość abelowa nie jest izomorficzna ze swoją podwójną, więc ta transformata Fouriera-Mukai podaje przykłady różnych odmian (z trywialnymi wiązkami kanonicznymi), które mają równoważne kategorie pochodne.

Niech g oznacza wymiar X . Transformacja Fouriera – Mukai jest prawie inwolucyjna:

${\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} \ circ R {\ widehat {\ mathcal {S}}} = (-1) ^ {\ ast }[-G]}$

Zamienia iloczyn Pontrjagina i iloczyn tensorowy .

${\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}} \ ast {\ mathcal {G}}) = R {\mathcal {S}}({\mathcal {F}})\otimes R{\mathcal {S}}({\mathcal {G}})}$

${\ Displaystyle R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}} \ otimes {\ mathcal {G}}) = R {\ mathcal {S}} ({\ mathcal {F}}) \ ast R {\mathcal {S}}({\mathcal {G}})[g]}$

Deninger i Murre (1991) wykorzystali transformatę Fouriera-Mukai, aby udowodnić rozkład Künnetha dla motywów Chow odmian abelowych.

Zastosowania w teorii strun

W teorii strun T-dwoistość (skrót od dualności w przestrzeni docelowej ), która wiąże dwie kwantowe teorie pola lub teorie strun z różnymi geometriami czasoprzestrzeni, jest ściśle związana z transformacją Fouriera-Mukai.

Zobacz też

• Wyprowadzona nieprzemienna geometria algebraiczna

•   Deninger, Christopher; Murre, Jacob (1991), „Dekompozycja motywów schematów abelowych i transformata Fouriera”, J. Reine Angew. Matematyka , 422 : 201–219, MR 1133323

•    Huybrechts, D. (2006), przekształcenia Fouriera – Mukai w geometrii algebraicznej , Oxford Mathematical Monographs, tom. 1, The Clarendon Press Oxford University Press, doi : 10.1093/acprof:oso/9780199296866.001.0001 , ISBN 978-0-19-929686-6 , MR 2244106
•   Mukai, Shigeru (1981). „ $_$ i $.$ _ _ Dziennik matematyczny z Nagoi . 81 : 153–175. ISSN 0027-7630 .