Podział płaszczyzny

Płaska przegroda składająca się z 30 reprezentowana jako stosy kostek jednostkowych

W matematyce , a zwłaszcza w kombinatoryce , podział płaski to dwuwymiarowa tablica nieujemnych liczb całkowitych (z dodatnimi indeksami całkowitymi i i j ), która nie rośnie w obu wskaźnikach π ja , jot $\ pi _ {i, j}$ . To znaczy że

${\ Displaystyle \ pi _ {i, j} \ geq \ pi _ {i, j + 1}} i π$ ja $displaystyle \pi _{i,j}\geq \pi _{i+1,j}}$ dla wszystkich i oraz j .

$więcej$ tylko skończenie wiele z nich niezerowych Podziały płaskie są uogólnieniem podziałów liczby całkowitej .

$) w$ umieszczenie stosu sześcianów jednostkowych nad punktem ( ja , j daje trójwymiarową bryłę jak pokazano na rysunku. Obraz ma postać matrycy

${\ Displaystyle {\ początek {macierz} 4 i 4 i 3 i 2 i 1 \\ 4 i 3 i 1 i 1 \\ 3 i 2 i 1 \\ 1 \ koniec {macierzy}}}$

Przegrody płaskie są często opisywane także poprzez położenie kostek jednostkowych. Z tego punktu widzenia płaską partycję można zdefiniować jako skończony podzbiór dodatnich punktów sieci całkowitej ( $w$ , jot , k ) N $}$$\ displaystyle \ mathbb {N } ^$${3}$ , tak że jeśli ( r , s , t ) leży w jeśli ${\ Displaystyle (i, j, k)}$$\ równoważnik k \ równoważnik t}$ , ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i \ równoważnik r}$ 1 $\ Displaystyle 1 \ równoważnik j \ równoważnik s$ } 1 , to ( ja , jot , k ) również leży w ${\ displaystyle {\ mathcal {P}}}$

Suma podziału płaskiego wynosi

${\ Displaystyle n = \ suma _ {i, j} \ pi _ {i, j}.}$

Suma opisuje liczbę sześcianów, z których składa się płaska przegroda. Duże zainteresowanie przegrodami płaskimi dotyczy wyliczania przegród płaskich różnych klas. Liczba przegród płaskich o sumie n jest oznaczona przez PL( n ). Na przykład istnieje sześć przegród płaskich o sumie 3

${\ Displaystyle {\ początek {macierz} 3 \ koniec {macierz}} \ qquad {\ początek {macierz} 2 i 1 \ koniec {macierz}} \ qquad {\ początek {matrix}1&1&1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}2\\1\end{matrix}}\qquad {\begin{matrix}1&1\\1\end{matrix}}\qquad {\ rozpocząć{macierz}1\\1\\1\koniec{macierz}}}$

zatem PL(3) = 6.

Przegrody płaskie można klasyfikować według ich symetryczności. Wiele symetrycznych klas przegród płaskich wylicza się za pomocą prostych wzorów na iloczyn.

Funkcja generująca przegrody płaskie

Funkcja generująca dla PL( n ) to

${\ Displaystyle \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ operatorname {PL} (n) x ^ {n} = \ prod _ {k = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} (1-x^{k})^{k}}}=1+x+3x^{2}+6x^{3}+13x^{4}+24x^{5}+\cdots \qquad }$ ( sekwencja A000219 w OEIS ).

Czasami nazywa się ją funkcją MacMahona , ponieważ odkrył ją Percy A. MacMahon .

Wzór ten można postrzegać jako dwuwymiarowy odpowiednik wzoru na iloczyn Eulera na liczbę całkowitych podziałów n . Nie ma analogicznego wzoru znanego dla przegród o większych wymiarach (tj. dla przegród pełnych ). Asymptotykę podziałów płaskich po raz pierwszy obliczył EM Wright . Otrzymuje się $to$ dla

${\ Displaystyle \ operatorname {PL} (n) \ sim {\ Frac {\ zeta (3) ^ {7/36}} {\ sqrt {12 \ pi}}} \ \ lewo ({\ Frac {n} 2}}\right)^{-25/36}\ \exp \left(3\ \zeta (3)^{1/3}\left({\frac {n}{2}}\right)^{ 2/3}+\zeta '(-1)\prawo).}$

Obliczanie liczbowe wyników

${\ Displaystyle \ ln \ nazwa operatora {PL} (n) \ sim 2,00945n ^ {2/3} -0,69444 \ ln n-1,4631.}$

Przegrody płaskie w pudełku

$podzbiorami$ 1896 roku MacMahon skonfigurował funkcję generującą przegród pudełka ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t) = \ {(i, j, k) | 1 \ równoważnik i \ równoważnik r, 1 \ równoważnik j \ równoważnik s, 1 \ równoważnik k \ leq t\}}$ w swoim pierwszym artykule na temat przegród płaskich. Formuła jest podana przez

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)} q ^ {|\ pi |} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ prod _ {j=1}^{s}{\frac {1-q^{i+j+t-1}}{1-q^{i+j-1}}}}$$

Dowód tej formuły można znaleźć w książce Combinatory Analysis napisanej przez MacMahona. MacMahon wspomina także o funkcjach generujących przegrody płaskie. Wzór na funkcję generującą można zapisać w alternatywny sposób, który podaje wzór

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)} q ^ {|\ pi |} = \ prod _ {i = 1} ^ {r} \ prod _ {j=1}^{s}\prod _{k=1}^{t}{\frac {1-q^{i+j+k-1}}{1-q^{i+j+k -2}}}}$$

Mnożenie każdego składnika przez $1$ = w ${\ Displaystyle N_ {1} (r, s, t)}$ całkowitą płaskich przegród, które mieszczą się w B $\ razy s \ razy$${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ jest równe następującemu wzorowi iloczynu: t ) {\ displaystyle {\ mathcal {B}}

$${\ Displaystyle N_ {1} (r, s, t) = \ prod _ {(i, j, k) \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)} {\ Frac {i + j +k-1}{i+j+k-2}}=\prod _{i=1}^{r}\prod _{j=1}^{s}{\frac {i+j+t- 1}{i+j-1}}.}$$

Przypadek planarny (kiedy t = 1) daje współczynniki dwumianu :

${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, 1) = {\ binom {r + s} {r}}.}$

Ogólne rozwiązanie jest takie

${\ Displaystyle {\ początek {wyrównane} {\ mathcal {B}} (r, s, t) i = \ prod _ {k = 1} ^ {t} {\ Frac {(r + s + k-1) !(k-1)!}{(r+k-1)!(s+k-1)!}}\\&=\prod _{k=1}^{t}{\frac {{\binom {r+s+k-1} }{r}}{\binom {s+k-1}{s}}}}\end{aligned}}}$

Specjalne przegrody płaskie

Specjalne przegrody płaskie obejmują symetryczne, cykliczne i samouzupełniające się przegrody płaskie oraz kombinacje tych właściwości.

W kolejnych podrozdziałach rozważono wyliczenie specjalnych podklas przegród płaskich wewnątrz skrzynki. W tych artykułach stosuje się zapis liczby takich płaskich przegród, gdzie r , s i t to wymiary pudełka. ${\ displaystyle N_ {i} (r, s, t)}$ rozpatrywany, a i jest indeksem rozpatrywanego przypadku.

Działanie S ₂ , S ₃ i C ₃ na przegrody płaskie

$to$ grupa permutacji działających na punktu. Grupa ta zawiera tożsamość, która wysyła do siebie ( i , j , k ) oraz transpozycję ( i , j , k ) → ( j , i , k ). Liczbę elementów na orbicie $przez$ się ${\ displaystyle |\ eta |}$ . oznacza zbiór orbit elementów pod działaniem $\ mathcal {B}} / {\ mathcal {S}} _ {2}$$Displaystyle {$ z ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {2}$ } Wysokość elementu ( i , j , k ) jest określona przez

$${\ displaystyle ht (i, j, k) = i + j + k-2.}$$

Wysokość zwiększa się o jeden z każdym krokiem od prawego tylnego rogu. Na przykład pozycja narożna (1, 1, 1) ma wysokość 1, a ht (2, 1, 1) = 2. Wysokość orbity definiuje się jako wysokość dowolnego elementu na orbicie. Ten zapis wzrostu różni się od zapisu Iana G. Macdonalda .

Istnieje naturalne działanie grupy permutacji na diagramie Ferrersa płaskiego podziału - odpowiada to jednoczesnemu permutowaniu trzech współrzędnych $.$ To uogólnia operację koniugacji dla partycji całkowitych . Działanie $płaskie,$ danej przegrody płaskiej. Poniżej pokazano sześć płaskich przegród po 4, które są generowane przez ${\ displaystyle {\ mathcal {S}} _ {3}}$ działanie. Na poniższym przedstawieniu widoczna jest jedynie zamiana dwóch pierwszych współrzędnych.

$\ początek {smallmatrix} 3 \\ 1 \ koniec {smallmatrix }}\quad {\begin{smallmatrix}2&1&1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}2\\1\\1\end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}1&1&1\\1 \end{smallmatrix}}\quad {\begin{smallmatrix}1&1\\1\\1\end{smallmatrix}}}$

nazywa się grupą permutacji cyklicznych i składa się z do ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} _ ​​{3}$

${\ Displaystyle (i, j, k) \rightarrow (i, j, k), \ quad (i, j, k) \rightarrow (j, k, i), \ quad {\ tekst {i}} \ quad (i,j,k)\rightarrow (k,i,j).}$

Symetryczne przegrody płaskie

Płaską partycję $nazywa$ się symetryczną, jeśli π _{ja , jot} = π _{jot, i} wszystkich ja , jot . Innymi słowy, przegroda płaska jest symetryczna, jeśli ${\ displaystyle (i, j, k) \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle (j, i, k) \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ . Przegrody płaskie tego typu są symetryczne względem płaszczyzny x = y . Poniżej znajduje się przykład podziału płaszczyzny symetrycznej i jego wizualizacja.

Symetryczny podział płaszczyzny, suma 35

$i 1 \\ 3 i 3 i 2 i 1 i \\ 3 i 2 i 2 i 1 i \\ 2 i 1 i 1 i \\ 1 i i&& \ koniec {macierzy}}}$

$są$ funkcji generującej dla symetrycznych przegród płaskich Hipoteza ta nazywa się hipotezą MacMahona . Funkcja generująca jest dana przez

$${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, t) / {\ mathcal { S}}_{2}}q^{|\pi |}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {1-q^{t+2i-1}}{1 -q^{2i-1}}}\prod _{j=i+1}^{r}{\frac {1-q^{2(i+j+t-1)}}{1-q^ {2(i+j-1)}}}\prawo]}$$

Macdonald wskazał, że przypuszczenie Percy'ego A. MacMahona sprowadza się do:

${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ w {\ mathcal {B}} (r, r, t) / {\ mathcal {S}} _ {2}} q ^ {|\ pi | }=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,t)/{\mathcal {S}}_{2}}{\frac {1-q^{|\eta | (1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}}$

W 1972 roku Edward A. Bender i Donald E. Knuth wysnuli hipotezę o prostej domkniętej postaci funkcji generującej dla podziału płaszczyzny, która ma co najwyżej r rzędów i ścisły spadek wzdłuż rzędów. George Andrews wykazał, że hipoteza Bendera i Knutha oraz hipoteza MacMahona są równoważne. Hipoteza MacMahona została udowodniona niemal jednocześnie przez George'a Andrewsa w 1977 r., a później Ian G. Macdonald przedstawił alternatywny dowód. Gdy ustawienie q = 1 daje funkcję zliczającą ${\ Displaystyle N_ {2} (r, r, t)},$ który jest podany przez

${\ displaystyle N_ { 2}(r,r,t)=\prod _{i=1}^{r}{\frac {2i+t-1}{2i-1}}\prod _{1\leq i<j\leq r}{\frac {i+j+t-1}{i+j-1}}}$

Dowód przypadku q = 1 można znaleźć w artykule George'a Andrewsa pt. Hipoteza MacMahona o przegrodach w płaszczyźnie symetrycznej .

Cyklicznie symetryczne przegrody płaskie

π nazywa się cyklicznie symetrycznym, jeśli $.$ -ty ​​wiersz jest sprzężony z i -tą kolumną dla wszystkich i I -ty rząd jest uważany za zwykły podział. Koniugat podziału $,$$którego$ diagram jest transpozycją . Innymi słowy, podział płaszczyzny jest cyklicznie symetryczny, jeśli kiedykolwiek ${\ Displaystyle (i, j, k) \ in {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ wtedy ( k , ja , jot ) i ( jot , k , ja ) również należą do ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ . Poniżej podano przykład cyklicznie symetrycznego podziału płaszczyzny oraz jego wizualizację.

Cyklicznie symetryczny podział płaszczyzny

$5 i 5 i 4 i 3 i 3 \\ 6 i 4 i 3 i 3 i 1 i \\ 6 i 4 i 3 i 1 i 1 i \\ 4 i 2 i 1 i i \\ 3 i 1 i 1 i&&\ \ 1&1&1&&&\end{macierz}}}$

Hipoteza Macdonalda dostarcza wzoru na obliczenie liczby cyklicznie symetrycznych przegród płaskich dla danej liczby całkowitej r . Hipoteza ta nazywa się hipotezą Macdonalda . Funkcja generująca dla cyklicznie symetrycznych przegród płaskich, które są podzbiorami, jest dana wzorem: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, r, r)}$

${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ w {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {C}} _ ​​{3}} q ^ {|\ pi | }=\prod _{\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {C}}_{3}}{\frac {1-q^{|\eta | (1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}}$

Równanie to można zapisać także w inny sposób

${\ Displaystyle \ prod _ {\ eta \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {C}} _ ​​{3}} {\ Frac {1-q ^ {|\ eta |(1+ht(\eta ))}}{1-q^{|\eta |ht(\eta )}}}=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac { 1-q^{3i-1}}{1-q^{3i-2}}}\prod _{j=i}^{r}{\frac {1-q^{3(r+i+j -1)}}{1-q^{3(2i+j-1)}}}\right]}$

W 1979 roku Andrews udowodnił hipotezę Macdonalda dla przypadku q = 1 jako „słabą” hipotezę Macdonalda . Trzy lata później William. H. Mills, David Robbins i Howard Rumsey udowodnili ogólny przypadek hipotezy Macdonalda w swoim artykule Dowód hipotezy Macdonalda . Wzór na ${\ displaystyle N_ {3} (r, r, r)}$ wynika z „słabej” hipotezy Macdonalda

${\ Displaystyle N_ {3} (r,r,r)=\prod _{i=1}^{r}\left[{\frac {3i-1}{3i-2}}\prod _{j=i}^{r} \frac {i+j+r-1}{2i+j-1}}\right]}$

Całkowicie symetryczne przegrody płaskie

Całkowicie symetryczna przegroda płaska $.$ przegroda płaska, która jest symetryczna i cyklicznie symetryczna Oznacza to, że diagram jest symetryczny we wszystkich trzech płaszczyznach ukośnych, czyli innymi słowy, jeśli ${\ displaystyle (i, j, k) \ in {\ mathcal {B}}(r,s,t)}$ to wszystkie sześć permutacji ( i , j , k ) są także w ${\ Displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$ . Poniżej podano przykład macierzy całkowicie symetrycznego podziału płaszczyzny. Na zdjęciu wizualizacja matrycy.

Całkowicie symetryczny podział płaski

${\ Displaystyle {\ początek {macierz} 5 i 4 i 4 i 3 i 1 \\ 4 i 3 i 3 i 1 i \\ 4 i 3 i 2 i 1 i \\ 3 i 1 i 1 i \\ 1 i i&& \ koniec {macierzy}}}$

$które$ całkowitą liczbę całkowicie , Formuła jest podana przez

${\ Displaystyle N_ {4} (r, r, r$

W 1995 roku John R. Stembridge po raz pierwszy udowodnił wzór na, a później w 2005 roku udowodnili to George Andrews, Peter Paule i ${\ displaystyle N_ {4} (r, r, r)}$ Carstena Schneidera. Około 1983 roku Andrews i Robbins niezależnie opracowali wyraźny wzór na iloczyn funkcji generującej zliczanie orbit dla całkowicie symetrycznych przegród płaskich. Do wzoru tego nawiązano już w artykule George'a E. Andrewsa Całkowicie symetryczne przegrody płaszczyzny . Hipoteza ta nazywa się hipotezą q -TSPP i jest wyrażona wzorem:

Niech $. Funkcja$ grupą $,$ orbit dla całkowicie symetrycznych przegród płaskich, określona

${\ Displaystyle \ suma _ {\ pi \ in {\ mathcal {B}} (r, r, r) / {\ mathcal {S}} _ {3}} q ^ {|\ pi |} = \ prod _ {\eta \in {\mathcal {B}}(r,r,r)/{\mathcal {S}}_{3}}{\frac {1-q^{1+ht(\eta)}} {1-q^{ht(\eta )}}}=\prod _{1\leq i\leq j\leq k\leq r}{\frac {1-q^{i+j+k-1} }{1-q^{i+j+k-2}}}.}$

Hipotezę tę udowodnili w 2011 roku Christoph Koutschan , Manuel Kauers i Doron Zeilberger .

Samouzupełniające się przegrody płaskie

Jeśli ${\ displaystyle \ pi _ {i, j} + \ pi _ {r-i + 1, s-j + 1} = t }$ dla $,$$_$ płaski _ Konieczne jest, aby iloczyn jest parzysta ${\ displaystyle r \ cdot s \ cdot t}$ Poniżej podano przykład samouzupełniającego się podziału płaszczyzny symetrycznej i jego wizualizację.

Samouzupełniająca się przegroda płaska

$\ Displaystyle {\ początek {macierz} 4 i 4 i 3 i 2 i 1 \\ 4 i 2 i 2 i 2 i \\ 3 i 2 i 1 i& \ koniec {macierzy}}}$

Richard P. Stanley wysunął hipotezy na całkowitą liczbę samouzupełniających się przegród płaszczyznowych. ${\ displaystyle N_ {5} (r, s, t)}$ . Według Stanleya Robbins sformułował również wzory na całkowitą liczbę samouzupełniających się przegród płaskich w innej, ale równoważnej formie. Całkowita liczba samouzupełniających się przegród płaskich, które są podzbiorami wyrażona jest wzorem: ${\ displaystyle {\ mathcal {B}} (r, s, t)}$

${\ Displaystyle N_ {5} (2r, 2s, 2t) = N_ {1} (r, s, t) ^ {2}}$

${\ Displaystyle N_ {5} (2r + 1,2s, 2t) = N_ {1} (r, s, t) N_ {1} (r + 1, s, t) }$

${\ Displaystyle N_ {5} (2r + 1,2 s + 1,2 t) = N_ {1} (r + 1, s, t) N_ {1} (r, s + 1, t)}$

Konieczne jest, aby iloczyn r, s i t był parzysty. Dowód można znaleźć w artykule Symmetries of Plane Partitions napisanym przez Stanleya. Dowód działa z funkcjami Schura. ${\ displaystyle s_ {s ^ {r}} (x)$ } Dowód Stanleya na zwykłe wyliczenie samouzupełniających się przegród płaskich daje q poprzez zastąpienie $}}$ { i} = q ^ { ${\ Displaystyle i = 1, \ ldots, n}$ . Jest to szczególny przypadek wzoru na zawartość haczyka Stanleya. Funkcja generująca dla samouzupełniających się przegród płaskich jest dana przez

${\ Displaystyle s _ {\ gamma ^ {\ alfa}} (q, q ^ {2}, \ ldots, q ^ {n}) = q ^ {\ gamma \ alfa (\ alfa +1)/2} \ prod _{i=1}^{\alfa }\prod _{j=0}^{\gamma -1}{\frac {1-q^{i+n-\alfa +j}}{1-q^ {i+j}}}}$

Zastępując tę ​​formułę w

${\ displaystyle s_ {s ^ {r}} (x_ {1}, x_ {2 },\ldots ,x_{t+r})^{2}\ {\text{ for }}{\mathcal {B}}(2r,2s,2t)}$

${\ displaystyle s_ {s ^ {r}} (x_ {1},x_{2},\ldots,x_{t+r})s_{(s+1)^{r}}(x_{1},x_{2},\ldots,x_{t+r }){\text{for }}{\mathcal {B}}(2r,2s+1,2t)}$

${\ Displaystyle s_ {s ^ {r + 1}} (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {t + r + 1}) s_ {s ^ {r}} (x_ {1}, x_{2},\ldots ,x_{t+r+1}){\text{ for }}{\mathcal {B}}(2r+1,2s,2t+1)}$

dostarcza żądany przypadek q -analogowy.

Cyklicznie symetryczne, samouzupełniające się przegrody płaskie

Podział płaski $cyklicznie$ jest cyklicznie symetrycznym samouzupełniającym się, jeśli jest symetryczny i samouzupełniający się . Rysunek przedstawia cyklicznie symetryczny, samouzupełniający się podział płaszczyzny, a odpowiednia macierz znajduje się poniżej.

Cyklicznie symetryczny, samouzupełniający się podział płaszczyzny

$4 i 4 i 1 \\ 3 i 3 i 2 i 1 \\ 3 i 2 i 1 i 1 \\ 3 i i i \ koniec {macierzy}}}$

W prywatnej komunikacji ze Stanleyem Robbins przypuszczał, że całkowitą liczbę cyklicznie symetrycznych, samouzupełniających się przegród płaszczyznowych oblicza się wzorem ${\ displaystyle N_ {6} (2r, 2r, 2r) }$ . Całkowita liczba cyklicznie symetrycznych, samouzupełniających się przegród płaskich jest podana przez

${\ displaystyle N_ {6} (2r, 2r, 2r) = D_ {r} ^ {2}}$

$r}}$$przemiennych$ { to liczba macierzy znaków Wzór na jest podany przez ${\ displaystyle D_ {r}}$

${\ Displaystyle D_ {r} = \ prod _ {j = 0} ^ {r-1} {\ Frac {(3j + 1)!} {(r + j)!}}}$

Greg $_$ wzór _

Całkowicie symetryczne, samouzupełniające się przegrody płaskie

Całkowicie symetryczny, samouzupełniający się przegroda płaska to przegroda płaska, która jest zarówno całkowicie symetryczna , jak i samouzupełniająca się . Na przykład poniższa macierz jest takim podziałem płaskim; widać to na załączonym obrazku.

Całkowicie symetryczna, samouzupełniająca się przegroda płaska

$3 i 1 \\ 6 i 5 i 5 i 3 i 3 i 1 \\ 5 i 3 i 3 i 1 i 1& \\5&3&3&1&1&\\3&1&1&&&\end{macierz}}}$

Wzór został $wymyślony$ przez Williama H. ​​Millsa, Robbinsa i Howarda Rumseya Partitions . Całkowita liczba całkowicie symetrycznych, samouzupełniających się przegród płaskich jest podana przez

${\ displaystyle N_ {7} (2r, 2r, 2r) = D_ {r}}$

Andrews udowadnia tę formułę w 1994 roku w swoim artykule Plane Partitions V: The TSSCPP Conjecture .

Zobacz też

• Współczynniki dwumianu Gaussa
• Woksel

•   G. Andrews , Teoria partycji , Cambridge University Press, Cambridge, 1998, ISBN 0-521-63766-X
•    Bender, Edward A.; Knuth, Donald E. (1972), „Wyliczenie płaszczyzn partycji”, Journal of Combinatorial Theory, Series A , 13 : 40–54, doi : 10.1016/0097-3165(72)90007-6 , ISSN 1096-0899 , MR 0299574
•   IG Macdonald , Funkcje symetryczne i wielomiany Halla , Oxford University Press, Oxford, 1999, ISBN 0-19-850450-0
• PA MacMahon , Analiza kombinatoryczna , 2 tomy, Cambridge University Press, 1915–16.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Podział samolotu” . Świat Matematyki .
• Strona DLMF na temat partycji płaszczyzn