Pojemność zestawu

W matematyce pojemność zbioru w przestrzeni euklidesowej jest miarą „rozmiaru” tego zbioru. W przeciwieństwie do, powiedzmy, miary Lebesgue'a , która mierzy objętość lub fizyczny rozmiar zbioru , pojemność jest matematycznym odpowiednikiem zdolności zbioru do utrzymywania ładunku elektrycznego . Dokładniej, jest to pojemność zestawu: całkowity ładunek, jaki zestaw może pomieścić przy zachowaniu danej energii potencjalnej . Energia potencjalna jest obliczana w odniesieniu do wyidealizowanej masy w nieskończoności dla harmonicznej lub newtonowskiej oraz w odniesieniu do powierzchni dla pojemności kondensatora .

Uwaga historyczna

Pojęcie pojemności zbioru i zbioru „pojemnościowego” zostało wprowadzone przez Gustave'a Choqueta w 1950 r.: szczegółowy opis można znaleźć w literaturze ( Choquet 1986 ).

Definicje

Pojemność skraplacza

Niech Σ będzie zamkniętą , gładką ( n − 1) -wymiarową hiperpowierzchnią w n -wymiarowej przestrzeni euklidesowej ℝ ⁿ , n ≥ 3; K będzie oznaczać n -wymiarowy zbiór zwarty (tj. domknięty i ograniczony ), którego brzegiem jest Σ . Niech S będzie inną ( n - 1)-wymiarową hiperpowierzchnią, która zawiera Σ: w odniesieniu do jej pochodzenia w elektromagnetyzmie , para (Σ, S ) jest znana jako kondensator . Pojemność skraplacza Σ względem S , oznaczona jako C (Σ, S ) lub cap(Σ, S ), jest określona przez całkę powierzchniową

${\ Displaystyle C (\ Sigma, S) = - {\ Frac {1} {(n-2 )\sigma _{n}}}\int _{S'}{\frac {\częściowe u}{\częściowe \nu}}\,\mathrm {d} \sigma ',}$

Gdzie:

• u jest unikalną funkcją harmoniczną zdefiniowaną w obszarze D między Σ a S z warunkami brzegowymi u ( x ) = 1 na Σ i u ( x ) = 0 na S ;
• S ′ jest dowolną powierzchnią pośrednią między Σ i S ;
• ν jest zewnętrznym jednostkowym polem normalnym do S ′ i

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe \ nu}} (x) = \ nabla u (x) \ cdot \ nu (x)}$

jest normalną pochodną u na S ′ ; a

• σ _n = 2 π ^{n ⁄2} ⁄ Γ( n ⁄ 2) jest polem powierzchni sfery jednostkowej w ℝ ⁿ .

C (Σ, S ) można równoważnie zdefiniować przez całkę objętości

${\ Displaystyle C (\ Sigma, S) = {\ Frac {1} {(n-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ operatorname {d } X.}$

Pojemność kondensatora ma również charakterystykę wariacyjną : C (Σ, S ) jest dolną krawędzią funkcjonału energii Dirichleta

${\ Displaystyle I [v] = {\ Frac {1} {(n-2) \ sigma _ {n}}} \ int _ {D} | \ nabla v | ^ {2} \ operatorname {d } X}$

nad wszystkimi funkcjami różniczkowalnymi w sposób ciągły v na D z v ( x ) = 1 na Σ i v ( x ) = 0 na S .

Pojemność harmoniczna/newtonowska

Heurystycznie , pojemność harmoniczną K , obszaru ograniczonego przez Σ, można znaleźć, biorąc pojemność kondensatora Σ względem nieskończoności. Dokładniej, niech u będzie funkcją harmoniczną w dopełnieniu K spełniającą u = 1 na Σ i u ( x ) → 0 jako x → ∞. Zatem u jest potencjałem newtonowskim prostej warstwy Σ. Następnie pojemność harmoniczna (znana również jako pojemność newtonowska ) K , oznaczona C ( K ) lub cap ( K ), jest następnie zdefiniowana przez

${\ Displaystyle C (K) = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus K} | \ nabla u | ^ {2} \ operatorname {d} x.}$

Jeśli S jest prostowalną hiperpowierzchnią całkowicie obejmującą K , to pojemność harmoniczną można równoważnie zapisać jako całkę po S zewnętrznej normalnej pochodnej u :

${\ Displaystyle C (K) = \ int _ {S} {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe \ nu}} \ \ operatorname {d} \ sigma.}$

Pojemność harmonicznych może być również rozumiana jako granica pojemności kondensatora. Mianowicie niech S _r oznacza sferę o promieniu r o początku układu współrzędnych w ℝ ⁿ . Ponieważ K jest ograniczony, dla wystarczająco dużego r , S _r będzie obejmował K i (Σ, S _r ) utworzy parę kondensatorów. Pojemność harmoniczna jest wtedy granicą , ponieważ r dąży do nieskończoności:

${\ Displaystyle C (K) = \ lim _ {r \ do \ infty} C (\ Sigma, S_ {r}).}$

Pojemność harmoniczna jest matematycznie abstrakcyjną wersją pojemności elektrostatycznej przewodnika K i jest zawsze nieujemna i skończona: 0 ≤ C ( K ) < + ∞.

Uogólnienia

charakterystyka pojemności zbioru jako minimum funkcjonału energii osiągającego określone wartości graniczne może być rozciągnięta na inne funkcjonały energii w rachunku wariacyjnym .

Operatory eliptyczne z postaci dywergencji

Rozwiązania jednostajnie eliptycznego równania różniczkowego cząstkowego o postaci rozbieżności

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot (A \ nabla u) = 0}$

są minimalizatorami powiązanego funkcjonału energetycznego

${\ Displaystyle I [u] = \ int _ {D} (\ nabla u) ^ {T} A (\ nabla u) \, \mathrm {d} x}$

z zastrzeżeniem odpowiednich warunków brzegowych.

Pojemność zbioru E w odniesieniu do dziedziny D zawierającej E jest zdefiniowana jako infimum energii po wszystkich funkcjach różniczkowalnych w sposób ciągły v na D z v ( x ) = 1 na E ; i v ( x ) = 0 na granicy D .

Minimalną energię uzyskuje się dzięki funkcji znanej jako potencjał pojemnościowy E w odniesieniu do D i rozwiązuje problem przeszkody na D z funkcją przeszkody zapewnianą przez funkcję wskaźnika E . Potencjał pojemnościowy jest naprzemiennie charakteryzowany jako unikalne rozwiązanie równania z odpowiednimi warunkami brzegowymi.

Zobacz też

• Zdolność analityczna
• Pojemność
• Potencjał Newtona
• Teoria potencjału

•    Brélot, Marcel (1967) [1960], Wykłady z teorii potencjału (Notatki KN Gowrisankaran i MK Venkatesha Murthy.) (PDF) , Tata Institute of Fundamental Research Wykłady z matematyki i fizyki. Matematyka., tom. Nr 19 (wyd. 2), Bombaj: Tata Institute of Fundamental Research, s. ii+170+iv, MR 0259146 , Zbl 0257.31001 . Drugie wydanie tych notatek z wykładów, poprawione i powiększone z pomocą S. Ramaswamy, przeredagowane, raz przeczytane i bezpłatnie dostępne do pobrania.
•    Choquet, Gustave (1986), „La naissance de la théorie des capacités: réflexion sur une expérience staffle” , Comptes rendus de l'Académie des sciences. Série générale, La Vie des sciences (w języku francuskim), 3 (4): 385–397, MR 0867115 , Zbl 0607.01017 , dostępne w Gallica . Historyczny opis rozwoju teorii pojemności przez jej założyciela i jednego z głównych współtwórców; angielskie tłumaczenie tytułu brzmi: „Narodziny teorii pojemności: refleksje nad osobistym doświadczeniem”.
•     Doob, Joseph Leo (1984), Klasyczna teoria potencjału i jej probabilistyczny odpowiednik , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, tom. 262, Berlin – Heidelberg – Nowy Jork: Springer-Verlag, s. XXIV + 846 , ISBN 0-387-90881-1 , MR 0731258 , Zbl 0549.31001
•    Littman, W.; Stampacchia, G .; Weinberger, H. (1963), „Punkty regularne dla równań eliptycznych ze współczynnikami nieciągłości” , Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Classe di Scienze , Serie III, 17 (12): 43–77, MR 0161019 , Zbl 0116,30302 , dostępne w NUMDAMU .
•    Ransford, Thomas (1995), Teoria potencjału na płaszczyźnie zespolonej , London Mathematical Society Student Texts, tom. 28, Cambridge: Cambridge University Press , ISBN 0-521-46654-7 , Zbl 0828.31001
• Solomentsev, ED (2001) [1994], „Pojemność zbioru” , Encyklopedia matematyki , EMS Press