Problem z przeszkodą

Problem przeszkody jest klasycznym motywującym przykładem w matematycznym badaniu nierówności wariacyjnych i problemów swobodnej granicy . Problem polega na znalezieniu położenia równowagi elastycznej membrany , której granica jest stała i która jest zmuszona leżeć nad daną przeszkodą. Jest głęboko powiązany z badaniem minimalnych powierzchni i pojemności zbioru w teorii potencjału również. Zastosowania obejmują badanie filtracji płynów w ośrodkach porowatych, ograniczone ogrzewanie, sprężysto-plastyczność, optymalną kontrolę i matematykę finansową.

Matematyczne sformułowanie problemu polega na poszukiwaniu minimalizatorów funkcjonału energetycznego Dirichleta ,

{\ Displaystyle J = \ int _ {D} | \ na bla u | ^ {2} \ operatorname {d} x}

w niektórych domenach $,$ gdzie funkcje $przemieszczenie$ membrany. Oprócz spełnienia warunków brzegowych Dirichleta odpowiadających ustalonej granicy membrany, funkcje $funkcja$ dodatkowo ograniczone tak, aby były większe niż pewna dana przeszkody φ $\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle ( ( X)}$ . Rozwiązanie dzieli się na obszar, w którym rozwiązanie jest równe funkcji przeszkody, zwane zbiorem kontaktowym, oraz obszar, w którym rozwiązanie znajduje się nad przeszkodą. Interfejs między dwoma regionami to wolna granica.

Ogólnie rzecz biorąc, rozwiązanie jest ciągłe i ma ciągłe pierwsze pochodne Lipschitza , ale rozwiązanie jest generalnie nieciągłe w drugich pochodnych na swobodnej granicy. Swobodna granica jest charakteryzowana jako ciągła powierzchnia Höldera , z wyjątkiem pewnych punktów osobliwych, które znajdują się na gładkiej rozmaitości.

Uwaga historyczna

Qualche tempo dopo Stampacchia, partendo semper dalla sua disequazione variazionale, aperse un nuovo campo di ricerche che si rivelò valide e fecondo. Si tratta di quello che oggi è chiamato il problema dell'ostacolo .

— Sandro Faedo , ( Faedo 1986 , s. 107)

Problemy z motywacją

Kształt membrany nad przeszkodą

Problem z przeszkodami pojawia się, gdy weźmie się pod uwagę kształt, jaki przyjmuje warstewka mydła w domenie, której położenie graniczne jest ustalone (patrz $problem$ Plateau ), z dodatkowym ograniczeniem polegającym na tym, że membrana jest zmuszona leżeć nad jakąś ${\ displaystyle (x)}$ również we wnętrzu domeny. W tym przypadku funkcjonał energii, który należy zminimalizować, to całka pola powierzchni lub

{\ Displaystyle J (u) = \ int _ {D} {\ sqrt {1 + | \ nabla u | ^ {2}}} \ \ operatorname {d} x.}

Problem ten można zlinearyzować w przypadku małych perturbacji, rozszerzając funkcjonał energii pod względem jego szeregu Taylora i biorąc tylko pierwszy wyraz, w którym to przypadku energia do zminimalizowania jest standardową energią Dirichleta

{\ Displaystyle J (u) = \ int _ {D} | \ nabla u | ^ {2} \ operatorname {d} x.}

Optymalne zatrzymanie

Problem przeszkód pojawia się również w $wypłaty$ , $w$ kwestii znalezienia optymalnego czasu zatrzymania procesu stochastycznego z funkcją .

$problemu$ którym procesem jest ruch Browna i proces jest zmuszony do zatrzymania się po wyjściu z dziedziny, rozwiązanie można scharakteryzować jako oczekiwaną wypłata, rozpoczynając proces o $przestrzegana$ jest optymalna strategia zatrzymania. Kryterium zatrzymania jest po prostu to, że należy zatrzymać się po osiągnięciu zestawu kontaktowego .

Oświadczenie formalne

Załóżmy, że podane są następujące dane:

otwarta domena ograniczona ⊂ $n$ z gładką granicą _ ^_
funkcja gładka ${\ Displaystyle f (x)}$ ${\ displaystyle D$ ∂ re $\ displaystyle D}$ ( granica ) re }
płynna $,$ $wszystkich$ na tak $_$ ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ varphi | _ {\ częściowe D}}$ < ${\ Displaystyle f}$ , czyli ograniczenie ${\ Displaystyle \ varphi}$ ${\ Displaystyle (x)$ } ${\ displaystyle D}$ (jego ślad ) jest mniejsze niż ${\ displaystyle f}$ .

Następnie rozważ zestaw

{\ Displaystyle K = \ lewo \ {u (x) \ w H ^ {1} (D): u | _ {\ częściowe D} = f (x) {\text{ i }}u\geq \varphi \right\},}

który jest zamkniętym wypukłym podzbiorem przestrzeni Sobolewa kwadratowych funkcji całkowalnych z kwadratowymi całkowalnymi słabymi pierwszymi pochodnymi , zawierającymi dokładnie te funkcje z pożądanymi warunkami brzegowymi, które znajdują się również nad przeszkodą. Rozwiązaniem problemu przeszkód jest funkcja minimalizująca całkę energii

{\ Displaystyle J (u) = \ int _ {D} |\ nabla u | ^ {2} \ operatorname {d} x}

nad wszystkimi funkcjami $Displaystyle$ do $K$ } istnienie takiego minimalizatora zapewniają rozważania teorii przestrzeni Hilberta .

Alternatywne preparaty

Nierówność wariacyjna

Problem przeszkody można przeformułować jako problem standardowy w teorii nierówności wariacyjnych na przestrzeniach Hilberta . Poszukiwanie minimalizatora energii w zbiorze $poszukiwaniem$ funkcji jest równoznaczne z

{\ Displaystyle u \ in K.}

takie, że

{\ Displaystyle \ int _ {D} \ langle {\ nabla u} ,{\nabla (vu)}\rangle \mathrm {d} x\geq 0\qquad \forall v\in K,}

Gdzie ⟨ . , . ⟩ : ℝ ⁿ × ℝ ⁿ → ℝ jest zwykłym iloczynem skalarnym w skończenie wymiarowej rzeczywistej przestrzeni wektorowej ℝ ⁿ . Jest $\ displaystyle u$ szczególny przypadek bardziej ogólnej postaci nierówności wariacyjnych w przestrzeniach Hilberta, których rozwiązaniami są funkcje $}$ pewnym zamkniętym wypukłym podzbiorze całej przestrzeni, tak że u {

{\ Displaystyle a (u, vu) \ geq f (vu) \ qquad \ forall v \ w K. \,}

dla wymuszonych , rzeczywistych , ograniczonych dwuliniowych form ${\ Displaystyle a$ ograniczonych $v)}$ liniowych ,

Najmniejsza funkcja nadharmoniczna

Argument wariacyjny pokazuje, że z dala od zestawu kontaktowego rozwiązanie problemu przeszkody jest harmoniczne. Podobny argument, który ogranicza się do pozytywnych zmian, pokazuje, że rozwiązanie jest nadharmoniczne na zbiorze kontaktowym. Razem te dwa argumenty sugerują, że rozwiązaniem jest funkcja nadharmoniczna.

W rzeczywistości zastosowanie zasady maksimum pokazuje wtedy, że rozwiązaniem problemu przeszkody jest najmniejsza funkcja nadharmoniczna w zbiorze dopuszczalnych funkcji.

Właściwości regularności

Rozwiązanie jednowymiarowego problemu z przeszkodami. Zwróć uwagę, jak rozwiązanie pozostaje nadharmoniczne (wklęsłe w 1-D) i dopasowuje pochodne do przeszkody (która jest warunkiem) do

displaystyle C ^ {1,1} }

,

Optymalna regularność

Rozwiązanie problemu przeszkody ma $regularność$ lub ograniczone drugie pochodne sama przeszkoda ma te moduł ciągłości rozwiązania i moduł ciągłości jego pochodnej są powiązane z modułem przeszkody.

$\ scriptstyle \ sigma (r)$ przeszkoda ma moduł ciągłości $Displaystyle$ , ${\ Displaystyle \ scriptstyle |\ phi (x) - \ phi (y) | \ równoważnik \ sigma (| xy |)}$ , to rozwiązanie ${\ Displaystyle \ scriptstyle u (x)}$ ma moduł ciągłości określony przez ${\ Displaystyle \ scriptstyle C \ sigma (2r)}$ , gdzie stała zależy tylko od dziedziny, a nie od przeszkody .
Jeśli pierwsza pochodna przeszkody ma moduł ciągłości $\$ $sigma (2r)}$ pierwsza pochodna rozwiązania ma moduł ciągłości określony przez $Displaystyle \ scriptstyle Cr$ , gdzie stała ponownie zależy tylko od domeny.

Poziome powierzchnie i wolna granica

Z zastrzeżeniem warunku degeneracji, poziom ustawia różnicę między rozwiązaniem a przeszkodą, ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ {x: u (x) - \ phi ( x) = t \}}$ dla ${\ Displaystyle \ scriptstyle t> 0}$ są ${\ Displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alfa}}$ powierzchnie. Wolna granica, która jest granicą zbioru, w którym rozwiązanie styka się z przeszkodą, jest również ${\ displaystyle \ scriptstyle C ^ {1, \ alpha}}$ wyjątkiem zbioru punktów osobliwych, które same są albo do $rozmaitości$ zawarte w .

Uogólnienia

Teoria problemu przeszkód jest rozszerzona na inne rozbieżności z operatorami jednolicie eliptycznymi i związanymi z nimi funkcjonałami energii. Można go również uogólnić na zdegenerowane operatory eliptyczne.

Interesujący jest również problem podwójnej przeszkody, w którym funkcja jest ograniczona do leżenia powyżej jednej funkcji przeszkody i poniżej drugiej.

Problem Signoriniego jest wariantem problemu przeszkody, w którym funkcjonał energii jest minimalizowany z zastrzeżeniem ograniczenia, które występuje tylko na powierzchni o jednym mniejszym wymiarze, co obejmuje problem przeszkód brzegowych , w którym ograniczenie działa na granicy dziedziny.

paraboliczne , zależne od czasu przypadki problemu z przeszkodami i jego warianty.

Zobacz też

Notatki

odniesienia historyczne

Faedo, Sandro (1986), „Leonida Tonelli e la scuola matematica Pisana”, w: Montalenti, G.; Amerio, L. ; Acquaro, G.; Baiada, E.; i in. (red.), Convegno celebrativo del centenario della nascita di Mauro Picone e Leonida Tonelli (6–9 maggio 1985) , Atti dei Convegni Lincei (w języku włoskim), tom. 77, Roma: Accademia Nazionale dei Lincei , s. 89–109, zarchiwizowane z oryginału w dniu 2011-02-23 , pobrane 2013-02-12 . „ Leonida Tonelli i szkoła matematyczna w Pizie ” to przegląd prac Tonelli w Pisa i jego wpływ na rozwój szkoły, przedstawiony na Międzynarodowym Kongresie z okazji stulecia urodzin Mauro Picone i Leonidy Tonelli (odbył się w Rzymie w dniach 6–9 maja 1985 r.). Autor był jednym z jego uczniów, a po jego śmierci objął katedrę analizy matematycznej na Uniwersytecie w Pizie , zostając dziekanem wydziału nauk ścisłych, a następnie rektorem: wywarł silny pozytywny wpływ na rozwój uniwersytetu.

Caffarelli, Luis (lipiec 1998), „Powrót do problemu przeszkód”, The Journal of Fourier Analysis and Applications , 4 (4–5): 383–402, doi : 10.1007 / BF02498216 , MR 1658612 , S2CID 123431389 , Zbl 0928.49030
Evans, Lawrence , Wprowadzenie do stochastycznych równań różniczkowych (PDF) , s. 130 , pobrane 11 lipca 2011 . Zbiór notatek z wykładów geodezyjnych „ bez zbyt wielu precyzyjnych szczegółów, podstaw rachunku prawdopodobieństwa, losowych równań różniczkowych i niektórych zastosowań ”, jak stwierdza sam autor.
Frehse, Jens (1972), „O regularności rozwiązania nierówności wariacyjnej drugiego rzędu”, Bolletino della Unione Matematica Italiana , Serie IV, tom. 6, s. 312–315, MR 0318650 , Zbl 0261.49021 .
Friedman, Avner (1982), Zasady wariacyjne i problemy z wolnymi granicami , Pure and Applied Mathematics , Nowy Jork: John Wiley & Sons , s. IX + 710, ISBN 0-471-86849-3 , MR 0679313 , Zbl 0564.49002 .
Kinderlehrer, Dawid ; Stampacchia, Guido (1980), Wprowadzenie do nierówności wariacyjnych i ich zastosowań , Matematyka czysta i stosowana, tom. 88, Nowy Jork: Academic Press , s. xiv+313, ISBN 0-12-407350-6 , MR 0567696 , Zbl 0457.35001
Petrosyan, Arszak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularność swobodnych granic w problemach typu przeszkodowego. Studia podyplomowe z matematyki , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3

Linki zewnętrzne

Caffarelli, Luis (sierpień 1998), The Obstacle Problem (PDF) , szkic z wykładów Fermiego, s. 45 , pobrane 11 lipca 2011 r. , wygłoszone przez autora w Scuola Normale Superiore w 1998 r.