Problem swobodnej granicy

W matematyce problem swobodnej granicy (problem FB) to równanie różniczkowe cząstkowe $,$ $.$ należy rozwiązać zarówno dla nieznanej funkcji, i nieznanej dziedziny Segment granicy $,$ ${\ displaystyle \ Omega}$ nie jest znany na początku problemu, jest swobodną granicą .

FB powstają w różnych modelach matematycznych obejmujących zastosowania, od zjawisk fizycznych po ekonomiczne, finansowe i biologiczne, gdzie występuje dodatkowy efekt medium. Efekt ten jest generalnie jakościową zmianą ośrodka, a więc pojawieniem się przejścia fazowego: lód w wodę, ciecz w kryształ, kupno w sprzedaż (aktywa), aktywność w nieaktywność (biologia), błękit w czerwień (zabawy w kolorowanki), zdezorganizowany do zorganizowanego (samoorganizująca się krytyczność). Interesującym aspektem takiej krytyczności jest tak zwana dynamika piaskownicy (lub wewnętrzna DLA).

Najbardziej klasycznym przykładem jest topnienie lodu: mając blok lodu, można rozwiązać równanie ciepła, mając odpowiednie warunki początkowe i brzegowe , aby określić jego temperaturę. Ale jeśli w jakimkolwiek regionie temperatura jest wyższa niż temperatura topnienia lodu, ta domena zostanie zamiast tego zajęta przez wodę w stanie ciekłym. Granica utworzona z granicy faz lód/ciecz jest kontrolowana dynamicznie przez rozwiązanie PDE.

Dwufazowe problemy Stefana

Topnienie lodu jest $problemem$ Stefana dla pola temperatury które jest sformułowane w następujący sposób. Rozważmy ośrodek zajmujący region $składający$ $displaystyle$ która jest obecna, gdy fazy 2, która jest obecna, gdy $T <0}$ . Niech dwie fazy mają cieplną i ${\ Displaystyle \ alpha _ {1}$ ${\ Displaystyle \ alfa _ {2}}$ . Na przykład dyfuzyjność cieplna wody wynosi 1,4⋅10-7 ^m2 / ^s , podczas gdy dyfuzyjność lodu wynosi 1,335⋅10-6 ^m2 / ^s .

W regionach składających się wyłącznie z jednej fazy temperaturę określa równanie ciepła: w obszarze , ${\ displaystyle T> 0$ }

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} = \ nabla \ cdot (\ alfa _ {1} \ nabla T) + Q }

będąc w regionie ${\ displaystyle T <0}$ ,

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy T} {\ częściowy t}} = \ nabla \ cdot (\ alfa _ {2} \ nabla T) + Q.}

Jest to uzależnione od odpowiednich warunków na (znanej) granicy ${\ Displaystyle \ Omega}$ ; ${\ displaystyle Q}$ reprezentuje źródła lub pochłaniacze ciepła.

Niech będzie powierzchnią, na której $Displaystyle$ $T = 0}$ w czasie $\ displaystyle t}$ ; ta powierzchnia jest interfejsem między dwiema fazami. Niech $oznacza$ jednostkowy zewnętrzny wektor normalny do drugiej (stałej) fazy Warunek Stefana określa ewolucję powierzchni , podając równanie rządzące prędkością $}$ $\ Gamma$ wolnej powierzchni w konkretnym kierunku ${\ displaystyle \ nu}$

{\ Displaystyle LV = \ alfa _ {1} \ częściowy _ {\ nu} T_ {1} - \ alfa _ {2} \ częściowy _ { \nu }T_{2},}

gdzie jest $ciepłem$ topnienia. Przez ${\ Displaystyle T_ {1}}$ rozumiemy granicę gradientu, gdy zbliża się $\$ $Displaystyle \ Gamma _ {t}}$ z regionu ${\ Displaystyle T> 0} T 1 {\ Displaystyle T_ {1}$ $\ displaystyle$ a dla mamy myśli granicę gradientu, gdy zbliża się $T_ {2}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma _ {t}}$ z regionu ${\ Displaystyle T <0}$ .

$góry$ cały region, znamy tylko interfejs lód-ciecz $displaystyle$ czasie $t = 0}$ . Aby rozwiązać problem Stefana, musimy nie tylko rozwiązać równanie ciepła w każdym regionie, ale musimy również prześledzić swobodną granicę ${\ displaystyle \ Gamma}$ .

Jednofazowy problem Stefana odpowiada przyjęciu wartości zero lub $alpha$ ${2}} ;$ jest to szczególny przypadek problemu dwufazowego. W kierunku większej złożoności moglibyśmy również rozważyć problemy z dowolną liczbą faz.

Problemy z przeszkodami

Innym znanym problemem swobodnej granicy jest problem przeszkody , który ma bliskie powiązania z klasycznym równaniem Poissona . Rozwiązania równań różniczkowych

{\ Displaystyle - \ nabla ^ {2} u = f, \ qquad u | _ {\ częściowe \ omega} = g}

spełniają zasadę wariacyjną, to znaczy minimalizują funkcjonał

{\ Displaystyle E [u] = {\ Frac {1} {2}} \ int _ {\ Omega} | \ nabla u | ^ {2} \, \ operatorname {d } x-\int _{\Omega}fu\,\mathrm {d} x}

nad wszystkimi funkcjami $przyjmując$ $wartość$ na granicy W problemie przeszkody nakładamy dodatkowe ograniczenie: minimalizujemy funkcjonalność ${\ displaystyle E}$ zastrzeżeniem warunku mi

{\ Displaystyle u \ równoważnik \ varphi \,}

w ${\ Displaystyle \ Omega}$ , dla określonej funkcji ${\ Displaystyle \ varphi}$ .

Zdefiniuj zbiór koincydencji C jako region, w którym ${\ displaystyle u = \ varphi}$ . Ponadto zdefiniuj zbiór niezbieżności jako region, w którym $Omega$ jest równy , a swobodna granica jest N = Ω ∖ do $C}$ \ $\$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$ jako interfejs między nimi. wtedy ${\ displaystyle u}$ spełnia problem swobodnej granicy

{\ Displaystyle - \ nabla ^ {2} u = f {\ tekst {w}} N, \ quad u = g}

na granicy i. ${\ displaystyle \ Omega$ }

{\ Displaystyle u \ leq \ varphi {\ tekst {w}} | \ Omega, \ quad \ nabla u = \ nabla \ varphi {\ tekst {na}} \ Gamma. \,}

$wypukły$ że zbiór wszystkich funkcji $,$ że jest Tam, gdzie problem Poissona odpowiada minimalizacji funkcjonału kwadratowego na liniowej podprzestrzeni funkcji, problem swobodnej granicy odpowiada minimalizacji na zbiorze wypukłym.

Związek z nierównościami wariacyjnymi

Wiele problemów z swobodną granicą można z zyskiem postrzegać jako nierówności wariacyjne ze względu na analizę. Aby zilustrować ten $,$ $;$ zajmiemy się minimalizacją funkcji $do$ rzeczywistych na zbiorze wypukłym minimalizator $charakteryzuje$ warunkiem

{\ Displaystyle \ nabla F (x) \ cdot (yx) \ geq 0 {\ tekst {dla wszystkich}} y \ w C. \,}

Jeśli $wynosić$ we wnętrzu , $zero$ $musi$ ; jeśli $.$ na granicy $,$ gradient w $punkcie$ $musi$ do

Ta sama idea dotyczy minimalizacji różniczkowalnego funkcjonału $Hilberta$ wypukłym podzbiorze przestrzeni , gdzie gradient jest teraz interpretowany jako pochodna wariacyjna. Aby skonkretyzować tę ideę, stosujemy ją do problemu przeszkód, który można zapisać jako

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} (\ nabla ^ {2} u + f) (vu) \ \ operatorname {d} x \ geq 0 {\ tekst {dla wszystkich}} v \ równoważnik \ varphi.}

To sformułowanie pozwala na zdefiniowanie słabego rozwiązania: daje to całkowanie przez części w ostatnim równaniu

{\ Displaystyle \ int _ {\ Omega} \ nabla u \ cdot \ nabla (vu) \ operatorname {d} x \ równoważnik \ int _ {\ omega} f (vu) \, \ operatorname {d} x {\ tekst { dla wszystkich}}v\leq \varphi .}

Ta definicja wymaga tylko, aby $pochodną$ , podobnie jak słabe sformułowanie eliptycznych problemów z wartościami brzegowymi.

Regularność granic swobodnych

W teorii eliptycznych równań różniczkowych cząstkowych można wykazać istnienie słabego rozwiązania równania różniczkowego z rozsądną łatwością, używając pewnych argumentów analizy funkcjonalnej. Jednak pokazane słabe rozwiązanie leży w przestrzeni funkcji z mniejszą liczbą pochodnych, niż by się chciało; $,$ że istnieje słabe rozwiązanie, które jest w ale może nie mieć drugich pochodnych Następnie stosuje się pewne oszacowania rachunku różniczkowego, aby wykazać, że słabe rozwiązanie jest w rzeczywistości wystarczająco regularne.

W przypadku problemów z granicami swobodnymi zadanie to jest trudniejsze z dwóch powodów. Po pierwsze, rozwiązania często wykazują nieciągłe pochodne w poprzek wolnej granicy, podczas gdy mogą być analityczne w dowolnym sąsiedztwie z dala od niej. Po drugie, trzeba też wykazać regularność samej wolnej granicy. Na $przypadku$ problemu Stefana swobodna granica

Powiązane problemy

Z czysto akademickiego punktu widzenia swobodne granice należą do większej klasy problemów, zwykle określanych jako problemy nadokreślone, lub jak opisali to David Kinderlehrer i Guido Stampacchia w swojej książce: Problem dopasowania danych Cauchy'ego. Inne pokrewne FBP, o których można wspomnieć, to problem Pompeiu, przypuszczenia Schiffera. Zobacz linki zewnętrzne poniżej.

Innym podejściem używanym do modelowania podobnych problemów jest model pola fazowego .

Alexiades, Vasilios (1993), Modelowanie matematyczne procesów topienia i zamrażania , Hemisphere Publishing Corporation, ISBN 1-56032-125-3
Friedman, Avner (1982), Zasady wariacyjne i problemy z wolnymi granicami , John Wiley and Sons, Inc., ISBN 978-0-486-47853-1
Kinderlehrer, Dawid; Stampacchia, Guido (1980), Wprowadzenie do nierówności wariacyjnych i ich zastosowań , Academic Press, ISBN 0-89871-466-4
Caffarelli, Ludwik; Salsa, Sandro (2005), Geometryczne podejście do problemów z wolnymi granicami. Studia podyplomowe z matematyki , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, ISBN 0-8218-3784-2
Petrosyan, Arszak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularność swobodnych granic w problemach typu przeszkodowego. Studia podyplomowe z matematyki , Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne, Providence, RI, ISBN 978-0-8218-8794-3