Kwestia Stefana

W matematyce i jej zastosowaniach, zwłaszcza do przejść fazowych w materii, problem Stefana jest szczególnym rodzajem problemu wartości brzegowych dla układu równań różniczkowych cząstkowych (PDE), w którym granica między fazami może przesuwać się w czasie. Klasyczny problem Stefana ma na celu opisanie ewolucji granicy między dwiema fazami materiału przechodzącego przemianę fazową , na przykład topnienie ciała stałego, takiego jak lód w wodę . Osiąga się to poprzez rozwiązanie równań ciepła w obu obszarach, z zastrzeżeniem danych warunków brzegowych i początkowych. Na styku faz (w klasycznym problemie) temperatura jest ustawiana na temperaturę przemiany fazowej. Aby zamknąć system matematyczny, wymagane jest dalsze równanie, warunek Stefana . Jest to bilans energetyczny, który określa położenie poruszającego się interfejsu. Zauważ, że ta ewoluująca granica jest nieznaną (hiper-)powierzchnią ; stąd problemy Stefana są przykładami problemów z brzegami swobodnymi .

Analogiczne problemy pojawiają się na przykład w badaniu przepływu mediów porowatych, matematycznych finansów i wzrostu kryształów z roztworów monomerów.

Uwaga historyczna

Problem został nazwany na cześć Josefa Stefana (Jožefa Stefana), słoweńskiego fizyka , który około 1890 roku przedstawił ogólną klasę takich problemów w serii czterech artykułów dotyczących zamarzania gruntu i tworzenia się lodu morskiego . Jednak około 60 lat wcześniej, w 1831 roku, podobny problem, dotyczący formowania się skorupy ziemskiej, badali Lamé i Clapeyron . Problem Stefana dopuszcza rozwiązanie podobieństwa , często nazywane Neumannem rozwiązanie, które rzekomo zostało przedstawione w serii wykładów na początku lat sześćdziesiątych XIX wieku.

Obszerny opis historii problemów Stefana można znaleźć u Rubinsteina.

Przesłanki opisu matematycznego

Z matematycznego punktu widzenia fazy są jedynie regionami, w których rozwiązania bazowego PDE są ciągłe i różniczkowalne aż do rzędu PDE. W problemach fizycznych takie rozwiązania reprezentują właściwości ośrodka dla każdej fazy. Ruchome granice (lub interfejsy ) to nieskończenie cienkie powierzchnie , które oddzielają sąsiednie fazy; w związku z tym rozwiązania podstawowego środowiska PDE i jego pochodnych mogą wykazywać nieciągłości między interfejsami.

Bazowe PDE nie są ważne na interfejsach zmiany fazy; dlatego do uzyskania domknięcia potrzebny jest dodatkowy warunek — warunek Stefana . Warunek Stefana wyraża lokalną prędkość poruszającej się granicy jako funkcję wielkości ocenianych po obu stronach granicy faz i jest zwykle wyprowadzany z ograniczenia fizycznego. Na przykład w problemach wymiany ciepła ze zmianą fazy zasada zachowania energii nakazuje, aby nieciągłość strumienia ciepła na granicy była uwzględniana przez szybkość ciepła utajonego (które jest proporcjonalne do lokalnej prędkości interfejsu).

Regularność równania została zbadana głównie przez Luisa Caffarelliego i udoskonalona przez prace Alessio Figalli , Xaviera Ros-Otona i Joaquima Serry

Sformułowanie matematyczne

Jednowymiarowy jednofazowy problem Stefana

Jednofazowy problem Stefana opiera się na założeniu, że można pominąć jedną z faz materiału. Zwykle osiąga się to zakładając, że faza ma temperaturę zmiany fazy, a zatem wszelkie odchylenia od niej prowadzą do zmiany fazy. Jest to matematycznie wygodne przybliżenie, które upraszcza analizę, jednocześnie demonstrując podstawowe idee stojące za procesem. Kolejnym standardowym uproszczeniem jest praca w bezwymiarowym , tak że temperatura interfejsie może być ustawiona na zero, a wartości pola dalekiego na lub $}$${\ Displaystyle -1}$ .

$nieskończony$ jednowymiarowy blok lodu początkowo w ${\ Displaystyle x \ w [0; + \ infty)}$ ; . Najbardziej znana postać problemu Stefana polega na topnieniu przez narzuconą stałą temperaturę na lewej granicy, pozostawiając region ${\ Displaystyle [0; s (t)]}$ zajmowane przez wodę. Stopiona głębokość, oznaczona przez ${\ Displaystyle s (t)}$ jest nieznaną funkcją czasu. Problem Stefana jest zdefiniowany przez

• Równanie ciepła: ${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe u} {\ częściowe t}} = {\ Frac {\ częściowe ^ {2} u} {\ częściowe x ^ {2}}}, \ quad \ forall (x ,t)\w [0;s(t)]\razy [0;+\infty ]}$
• Stała temperatura, powyżej temperatury topnienia, na lewej granicy: ${\ Displaystyle u (0, t) = 1, \ quad \ forall t> 0}$
• Interfejs w temperaturze topnienia jest ustawiony na ${\ displaystyle u \ lewo (s (t), t \ prawej) = 0}$
• Warunek Stefana: $)} gdzie jest liczbą Stefana,$${\ Displaystyle \ beta {\ Frac {\ operatorname {d}}} {\ operatorname {d} t}} s ($$\ prawo$ stosunkiem utajonego do określonego ciepła jawnego (gdzie specyficzna wskazuje, że jest podzielona przez masę). Zauważ, że ta definicja wynika naturalnie z braku wymiarowania i jest używana w wielu tekstach, jednak może być również zdefiniowana jako odwrotność tego .
• Początkowy rozkład temperatury: ${\ Displaystyle u (x, 0) = 0 \; \ forall x \ geq 0}$
• Początkowa głębokość stopionej bryły lodu: ${\ Displaystyle s (0) = 0}$

Rozwiązanie Neumanna, otrzymane przy użyciu zmiennych samopodobnych, wskazuje, że położenie granicy jest określone przez ${\ textstyle s (t) = 2 \ lambda {\ sqrt {t}}}$ gdzie ${\ Displaystyle \ lambda}$ spełnia transcendentalne równanie

$${\ Displaystyle \ beta \ lambda = {\ Frac {1} {\ sqrt {\ pi}}} {\ Frac {\ operatorname {e} ^ {- \ lambda ^ {2}}} {{\ text {erf} }(\lambda )}}.}$$

Temperatura w cieczy jest wtedy dana przez

$${\ Displaystyle T = 1- {\ Frac {{\ tekst {erf}} \ lewo ({\ Frac {x} {2 {\ sqrt {t}}}} \ prawej)} {{\ tekst {erf}} (\lambda )}}.}$$

Aplikacje

Oprócz modelowania topnienia ciał stałych, problem Stefana jest również używany jako model asymptotycznego zachowania się (w czasie) bardziej złożonych problemów. Na przykład Pego używa dopasowanych rozszerzeń asymptotycznych, aby udowodnić, że rozwiązania Cahna-Hilliarda dla problemów separacji faz zachowują się jak rozwiązania nieliniowego problemu Stefana w pośredniej skali czasu. Ponadto rozwiązanie równania Cahna-Hilliarda dla mieszaniny binarnej jest rozsądnie porównywalne z rozwiązaniem problemu Stefana. W tym porównaniu problem Stefana został rozwiązany przy użyciu metody śledzenia przodu, ruchomej siatki z jednorodnymi warunkami brzegowymi Neumanna na zewnętrznej granicy. Problemy Stefana można również zastosować do opisu przemian fazowych innych niż ciało stałe-ciecz lub płyn-ciecz.

Problem Stefana ma również bogatą teorię odwrotną; w takich problemach głębokość spotkania (lub krzywa lub hiperpowierzchnia ) s jest znanym układem odniesienia, a problemem jest znalezienie u lub f .

Zaawansowane formy problemu Stefana

Klasyczny problem Stefana dotyczy materiałów stacjonarnych o stałych właściwościach termofizycznych (zwykle niezależnie od fazy), stałej temperaturze przemiany fazowej oraz, w powyższym przykładzie, chwilowej zmianie temperatury początkowej na wyraźną wartość na granicy. W praktyce właściwości termiczne mogą się różnić, a szczególnie zawsze, gdy zmienia się faza. Skok gęstości przy zmianie fazy indukuje płynny ruch: wypadkowa energia kinetyczna nie figuruje w standardowym bilansie energetycznym. W przypadku chwilowego przełącznika temperatury początkowa prędkość płynu jest nieskończona, co skutkuje początkową nieskończoną energią kinetyczną. W rzeczywistości warstwa cieczy jest często w ruchu, co wymaga adwekcji lub konwekcji w równaniu ciepła . Temperatura topnienia może zmieniać się w zależności od rozmiaru, krzywizny lub prędkości interfejsu. Niemożliwe jest natychmiastowe przełączanie temperatur, a następnie trudne jest utrzymanie dokładnie ustalonej temperatury granicznej. Co więcej, w nanoskali temperatura może nawet nie być zgodna z prawem Fouriera.

Wiele z tych problemów zostało rozwiązanych w ostatnich latach w różnych zastosowaniach fizycznych. W przypadku krzepnięcia przechłodzonych stopów analizę, w której temperatura przemiany fazowej zależy od prędkości międzyfazowej, można znaleźć w Font i in . Modeluje się krzepnięcie w nanoskali ze zmienną temperaturą przemiany fazowej i efektami energii / gęstości. Zbadano krzepnięcie z przepływem w kanale w kontekście lawy i mikrokanalików lub ze swobodną powierzchnią w kontekście zamarzania wody nad warstwą lodu . Ogólny model obejmujący różne właściwości w każdej fazie, zmienną temperaturę przemiany fazowej i równania ciepła oparte na prawie Fouriera lub równaniu Guyera-Krumhansla jest analizowany w.

Zobacz też

• Problem swobodnej granicy
• Olga Olejnik
• Szoszana Kamin
• Równanie Stefana

Notatki

odniesienia historyczne

•    Vuik, C. (1993), „Kilka historycznych notatek o problemie Stefana”, Nieuw Archief voor Wiskunde , 4e serie, 11 (2): 157–167, Bibcode : 1993STIN...9332397V , MR 1239620 , Zbl 0801.35002 . Ciekawy artykuł historyczny na temat początków teorii; wersja preprint (w formacie PDF ) jest dostępna tutaj [1] .

Referencje naukowe i ogólne

• Cannon, John Rozier (1984), Jednowymiarowe równanie ciepła , Encyklopedia matematyki i jej zastosowań, tom. 23 (wyd. 1), Reading – Menlo Park – Londyn – Don Mills – Sydney – Tokio / Cambridge – Nowy Jork – New Rochelle – Melbourne – Sydney : Addison-Wesley Publishing Company / Cambridge University Press , s. XXV + 483, ISBN     978-0-521-30243-2 , MR 0747979 , Zbl 0567.35001 . Zawiera obszerną bibliografię, z której 460 pozycji dotyczy Stefana i innych problemów z wolnymi granicami , zaktualizowaną do 1982 r.
•     Kirsch, Andreas (1996), Wprowadzenie do teorii matematycznej problemów odwrotnych , seria Applied Mathematical Sciences, tom. 120, Berlin – Heidelberg – Nowy Jork: Springer Verlag , s. x+282, ISBN 0-387-94530-X , MR 1479408 , Zbl 0865.35004
•     Meirmanov, Anvarbek M. (1992), Problem Stefana , De Gruyter Expositions in Mathematics, tom. 3, Berlin – Nowy Jork: Walter de Gruyter , s. x+245, doi : 10.1515/9783110846720 , ISBN 3-11-011479-8 , MR 1154310 , Zbl 0751.35052 . – przez De Gruyter (wymagana subskrypcja) Ważna monografia jednego z czołowych autorów w tej dziedzinie, opisująca jego dowód na istnienie klasycznego rozwiązania wielowymiarowego problemu Stefana i badająca jego historyczny rozwój.
•    Oleinik, OA (1960), „Metoda rozwiązania ogólnego problemu Stefana”, Doklady Akademii Nauk SSSR (po rosyjsku), 135 : 1050–1057, MR 0125341 , Zbl 0131.09202 . Artykuł zawierający dowód Olgi Oleinik na istnienie i jednoznaczność uogólnionego rozwiązania trójwymiarowego problemu Stefana, oparty na wcześniejszych badaniach jej uczennicy SL Kamenomostskiej .
•   Kamenomostskaya, SL (1958), „O problemie Stefana”, Nauchnye Doklady Vysshey Shkoly, Fiziko-Matematicheskie Nauki (po rosyjsku), 1 (1): 60–62, Zbl 0143.13901 . Wcześniejsza relacja z badań autora nad problemem Stefana.
•    Kamenomostskaya, SL (1961), „O problemie Stefana” , Matematicheskii Sbornik (po rosyjsku), 53 (95) (4): 489–514, MR 0141895 , Zbl 0102.09301 . W artykule autorka udowadnia istnienie i jednoznaczność uogólnionego rozwiązania trójwymiarowego problemu Stefana, ulepszonego później przez jej mistrza Olgę Oleinik.
•   Rodrigues, JF (1989), „Powrót do problemu Stefana”, modele matematyczne dla problemów ze zmianą fazy , Birkäuser, s. 129–190, ISBN 0-8176-2309-4
•     Rubinstein, LI (1971), Problem Stefana , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 27, Providence, RI : Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , s. VIII+419, ISBN 0-8218-1577-6 , MR 0351348 , Zbl 0219.35043 . Obszerne odniesienie, napisane przez jednego z czołowych autorów teorii, aktualizowane do lat 1962–1963 i zawierające bibliografię 201 pozycji.
•     Tarzia, Domingo Alberto (lipiec 2000), „Bibliografia dotycząca problemów z swobodną granicą dla równania dyfuzji ciepła. Stefan i problemy pokrewne”, MAT. Serie A: Conferencias, Seminarios y Trabajos de Matemática , 2 : 1–297, doi : 10.26422/MAT.A.2000.2.tar , ISSN 1515-4904 , MR 1802028 , Zbl 0963.35207 . Imponująca osobista bibliografia autora dotycząca poruszających się i swobodnych problemów brzegowych (M–FBP) dla równania dyfuzji ciepła (H–DE), zawierająca około 5900 odniesień do prac, pojawiła się w około 884 różnego rodzaju publikacjach. Jej zadeklarowanym celem jest próba przedstawienia wyczerpującego opisu istniejącej zachodniej literatury matematyczno-fizyczno-inżynierskiej dotyczącej tej dziedziny badań. Zebrano prawie cały materiał na ten temat, opublikowany po historycznym i pierwszym artykule Lamé-Clapeyrona (1831). Źródła obejmują czasopisma naukowe, materiały z sympozjów lub konferencji, raporty techniczne i książki.

Linki zewnętrzne

• Vasil'ev, FP (2001) [1994], „Stan Stefana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994], „Problem Stefana” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Vasil'ev, FP (2001) [1994], „Problem Stefana, odwrotny” , Encyklopedia matematyki , EMS Press