Problem z Signorinim

Problem Signoriniego jest problemem elastostatyki w zakresie sprężystości liniowej : polega na znalezieniu konfiguracji równowagi sprężystej anizotropowego , niejednorodnego ciała sprężystego , spoczywającego na sztywnej , pozbawionej tarcia powierzchni i podlegającego jedynie siłom masowym . Nazwa została ukuta przez Gaetano Fichera na cześć jego nauczyciela, Antonio Signoriniego : oryginalna nazwa wymyślona przez niego jest problem z niejednoznacznością warunki brzegowe .

Historia

Klasyczny problem Signoriniego: jaka będzie konfiguracja równowagi pomarańczowego, kulistego, sprężystego ciała spoczywającego na niebieskiej, sztywnej, pozbawionej tarcia płaszczyźnie ?

• -"Il mio discepolo Fichera mi ha dato una grande soddisfazione"
• – „Ma Lei ne ha avute tante, Professore, durante la Sua vita” , rispose il Dottor Aprile, ma Signorini rispose di nuovo:
• - "Ma questa è la più grande." E queste furono le sue ostateczne zwolnienie warunkowe.

— Gaetano Fichera , ( Fichera 1995 , s. 49)

Problem ten postawił Antonio Signorini podczas kursu prowadzonego w Istituto Nazionale di Alta Matematica w 1959 r., opublikowanego później w formie artykułu ( Signorini 1959 ), będącego rozwinięciem wcześniejszego krótkiego wykładu, jaki dał w notatce opublikowanej w 1933 r. Signorini (1959 , s. 128) sam nazwał to problemem z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi , ponieważ istnieją dwa alternatywne zestawy warunków brzegowych , które rozwiązanie musi spełniać w dowolnym punkcie styku . Sformułowanie problemu obejmuje nie tylko równości , ale także nierówności i nie wiadomo a priori , który z dwóch zestawów warunków brzegowych jest spełniony w każdym punkcie . Signorini poprosił o określenie, czy problem jest dobrze postawiony , czy nie w sensie fizycznym, tj. czy jego rozwiązanie istnieje i jest unikalne, czy nie: wyraźnie zaprosił młodych analityków do zbadania problemu.

Gaetano Fichera i Mauro Picone , a Fichera zaczął badać problem: ponieważ nie znalazł odniesień do podobnych problemów w teorii problemów brzegowych , postanowił podejść do niego wychodząc od pierwszych zasad , a konkretnie od zasady pracy wirtualnej .

Podczas badań Fichery nad problemem Signorini zaczął cierpieć na poważne problemy zdrowotne: mimo to pragnął poznać odpowiedź na swoje pytanie przed śmiercią. Picone, związany silną przyjaźnią z Signorinim, zaczął ścigać Ficherę, aby znaleźć rozwiązanie: sam Fichera, również związany podobnymi uczuciami z Signorinim, postrzegał ostatnie miesiące 1962 roku jako dni niepokojące. Wreszcie w pierwszych dniach stycznia 1963 roku Fichera był w stanie podać kompletny dowód na istnienie unikalnego rozwiązania problemu z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi, który nazwał „problemem Signoriniego” na cześć swojego nauczyciela. Wstępne ogłoszenie badawcze, później opublikowane jako (
Fichera 1963 ), został spisany i przesłany do Signoriniego dokładnie na tydzień przed jego śmiercią. Signorini wyraził wielką satysfakcję, widząc rozwiązanie swojego pytania. Kilka dni później Signorini odbył z lekarzem rodzinnym , Damiano Aprile, cytowaną powyżej rozmowę.

Rozwiązanie problemu Signoriniego zbiega się z narodzinami pola nierówności wariacyjnych .

Formalne przedstawienie problemu

Treść tej sekcji i następnych podrozdziałów jest ściśle zgodna z traktowaniem Gaetano Fichery w Fichera 1963 , Fichera 1964b , a także Fichera 1995 : jego wyprowadzenie problemu różni się od wyprowadzenia Signoriniego tym, że nie bierze on pod uwagę tylko ciał nieściśliwych i płaska powierzchnia spoczynkowa , tak jak robi to Signorini. Problem polega na znalezieniu wektora przemieszczenia z konfiguracji naturalnej $}})\right)} anizotropowego niejednorodnego$${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ pogrubiony symbol {u}} ({\ pogrubiony symbol {x}}) = \ lewo (u_ {1} ({\ pogrubiony symbol {x}}),u_{2}({\boldsymbol {x}}),u_{3}({\boldsymbol {$ x ciała sprężystego należącego do podzbioru ${\ displaystyle A}$ trójwymiarowej przestrzeni euklidesowej , której granicą jest ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ częściowy A}$$i$ którego normalną wewnętrzną jest wektor spoczywający na sztywnej, tarcia powierzchni , której powierzchnia styku (lub bardziej ogólnie zestaw kontaktowy ) wynosi ${\ Displaystyle \ Sigma}$ i podlega tylko siłom własnego ciała ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ pogrubiony symbol {f}} ({\ pogrubiony symbol {x}}) = \ lewo (f_ {1} ({\ pogrubiony symbol {x}}), f_{2}({\boldsymbol {x}}),f_{3}({\boldsymbol {x}})\right)}$ i siły powierzchniowe ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {g}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (g_ {1} ({\ boldsymbol {x}}), g_ {2} ({\ boldsymbol {x} }), g_ {3} ({\ boldsymbol {x}}) \ prawej)}$ nałożone na wolną (tj. nie stykającą się z powierzchnią spoczynkową) powierzchnię ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ częściowe A \ setminus \ Sigma }$ : zbiór i powierzchnia styku charakteryzują naturalną $.$ ciała i są znane $a$ Dlatego ciało musi spełniać równania równowagi ogólnej

${\ Displaystyle \ qquad {\ Frac {\ częściowe \ sigma _ {ik}} {\ częściowe x_ {k}}} -f_ {i }=0\qquad {\text{dla}}i=1,2,3}$

napisane przy użyciu notacji Einsteina , jak wszystkie w poniższym opracowaniu, zwykłe warunki brzegowe na ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ częściowe A \ setminus \ Sigma}$

${\ Displaystyle \ qquad \ sigma _ {ik} n_ {k} -g_ {i} = 0 \ qquad {\ tekst {dla}} i = 1,2,3}$

i następujące dwa zestawy warunków brzegowych na , gdzie $\$$Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ sigma}} = {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\$ to tensor naprężenia Cauchy'ego . Oczywiście siły ciała i siły powierzchniowe nie mogą być podane w dowolny sposób, ale muszą spełniać warunek, aby ciało osiągnęło konfigurację równowagi: warunek ten zostanie wydedukowany i przeanalizowany w następnym opracowaniu.

Niejednoznaczne warunki brzegowe

τ ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ tau}} = (\ tau _ {1}, \ tau _ {2}, \ tau _ {3})$ jest dowolnym wektorem stycznym do zbioru kontaktowego , to niejednoznaczny warunek brzegowy w każdym punkcie tego zbioru jest wyrażony przez następujące dwa systemy nierówności ${\ displaystyle \ Sigma}$

          ${\ Displaystyle \ quad {\ rozpocząć {przypadki} u_ {i} n_ {i} & = 0 \\\ sigma _ { ik}n_{i}n_{k}&\geq 0\\\sigma _{ik}n_{i}\tau _{k}&=0\end{przypadki}}}$ lub ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {przypadki} u_ {i} n_ {i} &> 0 \\\ sigma _ {ik} n_ {i} n_ {k} & = 0 \\\ sigma _ {ik} n_{i}\tau _{k}&=0\end{przypadki}}}$

Przeanalizujmy ich znaczenie:

• Każdy zestaw warunków składa się z trzech relacji , równości lub nierówności , a wszystkie drugie elementy są funkcją zerową .
• Ilości na pierwszym elemencie każdej pierwszej relacji są proporcjonalne do normy składowej wektora przemieszczenia skierowanej wzdłuż wektora normalnego . n { \ $}$ n
• członie każdej drugiej relacji są proporcjonalne do normy składowej wektora napięcia skierowanej wzdłuż wektora normalnego, ${\ displaystyle n}$
• relacji są proporcjonalne do normy składowej wektora napięcia wzdłuż dowolnego wektora $stycznego$ w danym punkcie do zbioru styków ${\ displaystyle \ Sigma$ .
• Ilości na pierwszym elemencie każdej z trzech relacji są dodatnie , jeśli mają ten sam zwrot wektora , do którego są proporcjonalne , podczas gdy są ujemne , jeśli nie, dlatego stałe proporcjonalności są odpowiednio $scriptstyle + 1}$ \ i ${\ displaystyle \ scriptstyle -1}$ .

Znając te fakty, zestaw warunków (3) odnosi się do punktów na granicy ciała, które nie opuszczają zestawu kontaktowego w konfiguracji równowagi , ponieważ zgodnie z pierwszą zależnością wektor przemieszczenia ${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle u}$ nie ma żadnych składowych skierowanych jako wektor normalny ${\ displaystyle n}$ , podczas gdy zgodnie z drugą zależnością wektor napięcia może mieć składową skierowaną jako wektor normalny $mającą$ ten sam sens . W analogiczny sposób zbiór warunków (4) odnosi się do punktów brzegowych ciała, które opuszczają ten zbiór w konfiguracji równowagi, ponieważ wektor przemieszczenia $\ displaystyle u}$ składową skierowaną jako wektor normalny $displaystyle n}$${$ , podczas gdy wektor napięcia nie ma składowych skierowanych jako wektor normalny ${\ displaystyle n}$ . Dla obu zestawów warunków wektor napięcia nie ma składowej stycznej do kontaktowego , zgodnie z hipotezą , że ciało spoczywa na sztywnej, pozbawionej tarcia powierzchni.

Każdy system wyraża jednostronne ograniczenie w tym sensie, że wyraża fizyczną niemożność penetracji ciała elastycznego w powierzchnię, na której spoczywa: niejednoznaczność polega nie tylko na nieznanych wartościach niezerowych, które muszą być spełnione na zbiorze kontaktowym , ale także w tym, że nie wiadomo a priori, czy punkt należący do tego zbioru spełnia układ warunków brzegowych (3) lub (4) . Zbiór punktów, w których warunek (3) jest spełniony, nazywany jest obszarem podparcia elastycznego ciała na , podczas gdy jego dopełnienie względem $\ Sigma}$ jest nazywane obszarem separacji $displaystyle$ .

Powyższe sformułowanie jest ogólne , ponieważ tensor naprężenia Cauchy'ego , czyli równanie konstytutywne ciała sprężystego, nie zostało wyrażone wprost: jest równie ważne przy założeniu hipotezy o sprężystości liniowej lub hipotezach o sprężystości nieliniowej . Jednakże, jak wynika z poniższych opracowań, problem jest z natury nieliniowy , dlatego założenie liniowego tensora naprężeń nie upraszcza problemu .

Postać tensora naprężeń w sformułowaniu Signoriniego i Fichery

Postać przyjęta przez Signoriniego i Fichera dla energii potencjalnej sprężystości jest następująca (podobnie jak w poprzednich opracowaniach przyjęto notację Einsteina )

${\ Displaystyle W ({\ boldsymbol {\ varepsilon}}) = a_ {ik, jh} ({\ pogrubiony symbol {x}}) \varepsilon _{ik}\varepsilon _{jh}}$

Gdzie

• $\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {a}} ({\ boldsymbol {x}}) = \ lewo (a_ {ik, jh} ({\ boldsymbol {x}})\right)}$ to tensor elastyczności
• ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ boldsymbol {\ varepsilon}} ({\ boldsymbol {u}}) = \ lewo (\ varepsilon _ {ik} ({\ boldsymbol {u}}) \right)=\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {\częściowe u_{i}}{\częściowe x_{k}}}+{\frac {\częściowe u_{k }}{\partial x_{i}}}\right)\right)}$ to nieskończenie mały tensor odkształcenia

Tensor naprężenia Cauchy'ego ma zatem następującą postać

${\ Displaystyle \ sigma _ {ik} = - {\ Frac {\ częściowe W} {\ częściowe \ varepsilon _ {ik}} }\qquad {\text{dla}}i,k=1,2,3}$

i jest liniowy względem składowych nieskończenie małego tensora odkształcenia; jednak nie jest jednorodny ani izotropowy .

Rozwiązanie problemu

Jeśli chodzi o część dotyczącą formalnego sformułowania problemu Signoriniego, treść tej sekcji i zawartych w niej podrozdziałów jest ściśle zgodna z traktowaniem Gaetano Fichery w Fichera 1963 , Fichera 1964b , Fichera 1972 , a także Fichera 1995 : oczywiście ekspozycja skupia się na podstawowe kroki dowodu istnienia i jednoznaczności dla rozwiązania problemu (1) , (2) , (3) , (4) i (5) , a nie szczegóły techniczne.

Energia potencjalna

Pierwszym krokiem analizy Fichery, a także pierwszym krokiem analizy Antonio Signoriniego w Signorini 1959 jest analiza energii potencjalnej , czyli następującego funkcjonału :

$\ Displaystyle I ({\ pogrubiony symbol {u}}) = \int _{A}W({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {\varepsilon }})\mathrm {d} x-\int _{A}u_{i}f_{i}\mathrm {d } x-\int _{\częściowe A\setminus \Sigma }u_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma }$

gdzie $.$ do zbioru dopuszczalnych przemieszczeń, tj zbioru wektorów przemieszczeń spełniających układ $\ displaystyle u}$ brzegowych (3) u { (4) . Znaczenie każdego z trzech terminów jest następujące

• pierwszy to całkowita energia potencjalna sprężystości ciała sprężystego
• druga to całkowita energia potencjalna spowodowana siłami ciała , na przykład siłą grawitacji
• trzecia to energia potencjalna spowodowana siłami powierzchniowymi , na przykład siłami wywieranymi przez ciśnienie atmosferyczne

Signorini (1959 , s. 129–133 $rozwiązaniem$ był w stanie udowodnić, że dopuszczalne przemieszczenie $jest$ całkę , z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi . (1) $,$ funkcja 2 ) , (3) , (4) i (5) , pod warunkiem że jest to obsługiwana w zamknięciu ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ bar {A}}}$ zestawu ${\ Displaystyle A}$ : jednak Gaetano Fichera podał klasę kontrprzykładów w ( Fichera 1964b , s. 619–620), pokazując, że ogólnie dopuszczalne przemieszczenia nie są gładkimi funkcjami tej klasy. Dlatego Fichera próbuje zminimalizować funkcjonał (6) w szerszej przestrzeni funkcji : robiąc to, najpierw oblicza pierwszą wariację (lub pochodną funkcyjną ) danego funkcjonału w sąsiedztwie poszukiwanego minimalizującego dopuszczalnego przemieszczenia ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ boldsymbol {u}} \ in {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma}}$ , a następnie wymaga tego być większe lub równe zeru

${\ Displaystyle \ lewo. {\ Frac {\ operatorname {d}} {\ operatorname {d} t}} ja ({\ pogrubiony symbol {u}} + t {\ pogrubiony symbol {v}}) \ prawo\vert _{t=0}=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm { d} x-\int _{A}v_{i}f_{i}\mathrm {d} x-\int _{\częściowe A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i }g_{i}\mathrm {d} \sigma \geq 0\qquad \forall {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma}}$

Definiowanie następujących funkcjonałów

${\ Displaystyle B ({\ pogrubiony symbol {u}}, {\ pogrubiony symbol {v}} )=-\int _{A}\sigma _{ik}({\boldsymbol {u}})\varepsilon _{ik}({\boldsymbol {v}})\mathrm {d} x\qquad {\boldsymbol {u}},{\boldsymbol {v}}\w {\mathcal {U}}_{\Sigma}}$

I

$\ Displaystyle F ({\ boldsymbol {v}}) = \ int _ {A} v_ {i}f_{i}\mathrm {d} x+\int _{\częściowe A\setminus \Sigma }\!\!\!\!\!v_{i}g_{i}\mathrm {d} \sigma \qquad {\boldsymbol {v}}\in {\mathcal {U}}_{\Sigma}}$

poprzednią nierówność można zapisać jako

${\ Displaystyle B ({\ pogrubiony symbol {u}}, {\ pogrubiony symbol {v}}) -F ({\ pogrubiony symbol {v}}) \ geq 0 \ qquad \ forall {\ boldsymbol {v}} \ w {\ mathcal {U}} _ {\ Sigma }}$

Ta nierówność jest nierównością wariacyjną dla problemu Signoriniego .

Zobacz też

• Elastyczność liniowa
• Nierówność wariacyjna

Notatki

odniesienia historyczne

•    Antman, Stuart (1983), „Wpływ elastyczności na analizę: współczesne osiągnięcia” , Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 9 (3): 267–291, doi : 10.1090 / S0273-0979-1983-15185-6 , MR 0714990 , Zbl 0533.73001 .
• Duvaut, Georges (1971), „Problèmes unilatéraux en mécanique des milieux continus” (PDF) , Actes du Congrès international des mathématiciens, 1970 , ICM Proceedings , tom. Mathématiques appliquées (E), Histoire et Enseignement (F) - tom 3, Paryż : Gauthier-Villars, s. 71–78 . Krótka ankieta badawcza opisująca dziedzinę nierówności wariacyjnych.
•    Fichera, Gaetano (1972), „Zagadnienia brzegowe elastyczności z jednostronnymi ograniczeniami”, w: Flügge, Siegfried ; Truesdell, Clifford A. (red.), Festkörpermechanik/Mechanics of Solids , Handbuch der Physik (Encyklopedia fizyki), tom. VIa / 2 (miękka okładka 1984, wyd.), Berlin – Heidelberg – Nowy Jork: Springer-Verlag , s. 391–424, ISBN 0-387-13161-2 , Zbl 0277.73001 . Wpis encyklopedyczny o problemach z ograniczeniami jednostronnymi (klasa problemów brzegowych, do których należy problem Signoriniego) pisał dla Handbuch der Physik na zaproszenie Clifforda Truesdella .
• Fichera, Gaetano (1995), „La nascita della teoria delle disequazioni variazionali ricordata dopo trent'anni”, Incontro scienceo italo-spagnolo. Roma, 21 października 1993 , Atti dei Convegni Lincei (po włosku), tom. 114, Rzym : Accademia Nazionale dei Lincei , s. 47–53 . Przypomniane trzydzieści lat później narodziny teorii nierówności wariacyjnych (tytuł pracy w tłumaczeniu na język angielski) to praca historyczna opisująca początki teorii nierówności wariacyjnych z punktu widzenia jej twórcy.
• Fichera, Gaetano (2002), Opere storiche biografiche, divulgative [ Dzieła historyczne, biograficzne, divulgative ] (w języku włoskim), Napoli : Giannini, s. 491 . Tom gromadzący prawie wszystkie prace Gaetano Fichera z zakresu historii matematyki i dywulsji naukowych.
•       Fichera, Gaetano (2004), Opere scelte [ Prace wybrane ], Firenze : Edizioni Cremonese (rozprowadzane przez Unione Matematica Italiana ), s. XXIX+432 (t. 1), s. VI+570 (t. 2), s. VI + 583 (tom 3), zarchiwizowane od oryginału w dniu 2009-12-28 , ISBN 88-7083-811-0 (tom 1), ISBN 88-7083-812-9 (tom 2), ISBN 88 -7083-813-7 (tom 3). Trzy tomy zawierające najważniejsze prace matematyczne Gaetano Fichery, wraz ze szkicem biograficznym Olga A.Oleinik .
• Signorini, Antonio (1991), Opere scelte [ Wybrane prace ], Firenze : Edizioni Cremonese (rozprowadzane przez Unione Matematica Italiana ), s. XXXI + 695, zarchiwizowane od oryginału w dniu 28.12.2009 . Tom gromadzący najważniejsze dzieła Antonio Signoriniego ze wstępem i komentarzem Giuseppe Grioli.

Prace badawcze

•     Andersson, John (2016), „Optymalna regularność problemu Signoriniego i jego swobodnej granicy”, Inventiones Mathematicae , 1 (1): 1–82, arXiv : 1310,2511 , Bibcode : 2016InMat.204....1A , doi : 10,1007 /s00222-015-0608-6 , MR 3480553 , S2CID 118934322 , Zbl 1339.35345 .
•    Fichera, Gaetano (1963), „Sul problema elastostatico di Signorini con ambigue condizioni al contorno” [O problemie elastostatycznym Signoriniego z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi], Rendiconti della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 ( w języku włoskim), 34 (2): 138–142, MR 0176661 , Zbl 0128.18305 . Krótka notatka naukowa zapowiadająca i opisująca (bez dowodów) rozwiązanie problemu Signoriniego.
•   Fichera, Gaetano (1964a), „Problemi elastostatici con vincoli unilaterali: il problema di Signorini con ambigue condizioni al contorno” [Problemy elastostatyczne z jednostronnymi ograniczeniami: problem Signoriniego z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi], Memorie della Accademia Nazionale dei Lincei, Classe di Scienze Fisiche, Matematiche e Naturali , 8 (w języku włoskim), 7 (2): 91–140, Zbl 0146.21204 . Pierwsza praca, w której udowodniono twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności dla problemu Signoriniego.
• Fichera, Gaetano (1964b), „Problemy elastostatyczne z jednostronnymi ograniczeniami: problem Signoriniego z niejednoznacznymi warunkami brzegowymi”, Seminari dell'istituto Nazionale di Alta Matematica 1962–1963 , Rzym : Edizioni Cremonese, s. 613–679 . Angielskie tłumaczenie poprzedniego artykułu.
•     Petrosyan, Arszak; Shahgholian, Henrik; Uraltseva, Nina (2012), Regularność swobodnych granic w problemach typu przeszkodowego , Studia podyplomowe z matematyki, tom. 136, Providence, RI : American Mathematical Society , s. x+221, ISBN 978-0-8218-8794-3 , MR 2962060 , Zbl 1254.35001 .
•   Signorini, Antonio (1959), „Questioni di elasticità non linearizzata e semilinearizzata” [Tematy nieliniowej i półliniowej elastyczności], Rendiconti di Matematica e delle sue Applicazioni , 5 (w języku włoskim), 18 : 95–139, Zbl 0091.38006 .

Linki zewnętrzne

• Barbu, V. (2001) [1994], „Problem Signorini” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Alessio Figalli, O globalnych jednorodnych rozwiązaniach problemu Signoriniego ,