Powierzchnia Peano

Model powierzchni Peano z kolekcji Dresden

W matematyce powierzchnia Peano jest wykresem funkcji dwóch zmiennych

${\ Displaystyle f (x, y) = (2x ^ {2} -y) (yx ^ {2}).}$

Został zaproponowany przez Giuseppe Peano w 1899 roku jako kontrprzykład dla domniemanego kryterium istnienia maksimów i minimów funkcji dwóch zmiennych.

Powierzchnia została nazwana powierzchnią Peano ( niem . Peanosche Fläche ) przez Georga Scheffersa w jego książce Lehrbuch der darstellenden Geometrie z 1920 roku . Nazywano go również siodłem Peano .

Nieruchomości

Powierzchnia Peano i jej krzywe poziomów dla poziomu 0 (parabole, zielony i fioletowy)

Funkcja ${\ Displaystyle f (x, y) = (2x ^ {2} -y) (yx ^ {2})},$$której$$}$ { \ Displaystyle i wartości ujemne w innych miejscach (patrz diagram). Na początku trójwymiarowy punkt na powierzchni $, który$ odpowiada punktowi przecięcia dwóch parabol, punkt Sama powierzchnia ma dodatnią krzywiznę Gaussa w niektórych częściach i ujemną krzywiznę w innych, oddzielone inną parabolą, co sugeruje, że jej mapa Gaussa ma wierzchołek Whitneya .

Przecięcie powierzchni Peano z płaszczyzną pionową. Krzywa przecięcia ma lokalne maksimum na początku, po prawej stronie obrazu, i globalne maksimum po lewej stronie obrazu, opadając płytko między tymi dwoma punktami.

$,$ ma lokalnego maksimum w początku, jej przecięcie z dowolną pionową płaszczyzną przechodzącą przez początek (płaszczyzna o równaniu $ma$ która lokalne maksimum w początku, właściwość opisaną przez Earle'a Raymonda Hedricka „paradoksalną”. Innymi $słowy$ , jeśli punkt zaczyna się w początku się od początku wzdłuż dowolnej linii prostej, wartość ${\ Displaystyle (2x ^ {2} -y) (yx ^ {2})}$ zmniejszy się na początku ruchu. $lokalnym$ jednak nie $)$ maksimum funkcji, ponieważ poruszanie się po paraboli takiej jak spowoduje wzrost wartości funkcji

Powierzchnia Peano jest powierzchnią kwarcową .

Jako kontrprzykład

W 1886 roku Joseph Alfred Serret opublikował podręcznik z proponowanymi kryteriami dla skrajnych punktów powierzchni podanymi przez ${\ Displaystyle z = f (x_ {0} + h, y_ {0} + k)}$

${\ displaystyle d ^ {3} f} ($ minimum ma miejsce, gdy dla wartości ${$ k $\ displaystyle k}$ dla których ${\ Displaystyle d ^ {2} f}$ i $wyraz)$ znikają, (piąty ma stale znak - lub znak +

Tutaj zakłada się, że człony liniowe znikają, a szereg Taylora ma $postać$ z ${\ Displaystyle z = f (x_ {0}, y_ {0}) + Q (h, k) + C (h, k) + F (h, k)$ gdzie ${\ Displaystyle Q (h, k)}$ jest kwadratową formą jak ${\ Displaystyle ah ^ {2} + bhk + ck ^ {2}}$ , ${\ Displaystyle C (h, k)}$ jest formą sześcienną z wyrazami sześciennymi w ${\ displaystyle h}$ i ${\ displaystyle k}$ i ${\ Displaystyle F (h, k)}$ jest formą kwartalną z jednorodnym wielomianem kwartalnym w $displaystyle$ k $k}$ . Serret proponuje, że jeśli $, k) =$ stały znak dla wszystkich punktów, w których $($ wtedy istnieje lokalne maksimum lub minimum powierzchni w punkcie ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ .

W swoich notatkach z 1884 r. do włoskiego podręcznika rachunku różniczkowego Angelo Genocchiego , Calcolo differentziale e principii di calcolo integrale , Peano przedstawił już różne poprawne warunki, aby funkcja osiągnęła lokalne minimum lub lokalne maksimum. W niemieckim tłumaczeniu tego samego podręcznika z 1899 r. Podał tę powierzchnię jako kontrprzykład stanu Serreta. w punkcie ${\ Displaystyle (0,0,0)}$ , warunki Serreta są spełnione, ale ten punkt jest punktem siodłowym, a nie lokalnym maksimum. Stan pokrewny Serret's został również skrytykowany przez Ludwiga Scheeffera , który wykorzystał powierzchnię Peano jako kontrprzykład w publikacji z 1890 r., Przypisanej Peano.

modele

Modele powierzchni Peano znajdują się w Göttingen Collection of Mathematical Models and Instruments na Uniwersytecie w Getyndze oraz w kolekcji modeli matematycznych TU Dresden (w dwóch różnych modelach). Model z Getyngi był pierwszym nowym modelem dodanym do kolekcji po I wojnie światowej i jednym z ostatnich dodanych do całej kolekcji.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Peano Surface” . MathWorld .