Kwarcowa powierzchnia

W matematyce , zwłaszcza w geometrii algebraicznej , powierzchnia kwarcowa jest powierzchnią określoną równaniem stopnia 4.

Mówiąc dokładniej, istnieją dwa blisko spokrewnione typy powierzchni kwarcu: afiniczna i rzutowa. Afiniczna zbiorem rozwiązań równania postaci

${\ Displaystyle f (x, y, z) = 0 \}$

gdzie f jest wielomianem stopnia 4, takim jak ${\ Displaystyle f (x, y, z) = x ^ {4 }+y^{4}+xyz+z^{2}-1}$ . Jest to powierzchnia w przestrzeni afinicznej A ³ .

Z drugiej strony rzutowa powierzchnia kwarcowa jest powierzchnią w przestrzeni rzutowej P ³ o tej samej postaci, ale teraz f jest jednorodnym wielomianem 4 zmiennych stopnia 4, więc na przykład ${\ Displaystyle f (x, y, z, w) = x ^ {4} + y ^ {4} + xyzw + z ^ {2} w ^ {2} -w ^ {4}}$ .

Jeśli polem podstawowym jest $lub$$powierzchni$ o mówi się, że jest rzeczywista lub złożona . Należy uważać, aby odróżnić algebraiczne $powierzchnie$ Riemanna $.$ które w rzeczywistości są krzywymi kwartowymi na , i powierzchniami kwartowymi Na przykład quartic Kleina jest liczbą rzeczywistą powierzchnia podana jako krzywa kwarcowa nad ${\ displaystyle \ mathbb {C}}$ . Jeśli z drugiej strony pole bazowe jest skończone, to mówi się, że jest to arytmetyczna powierzchnia kwartalna .

Specjalne powierzchnie kwarcowe

• cyklidy Dupina
• Kwartał Fermata, określony przez x ⁴ + y ⁴ + z ⁴ + w ⁴ = 0 (przykład powierzchni K3).
• Mówiąc bardziej ogólnie, niektóre powierzchnie K3 są przykładami powierzchni kwarcowych.
• Powierzchnia Kummera
• Powierzchnia Plückera
• Powierzchnia Weddla

Zobacz też

• Powierzchnia kwadratowa (połączenie dwóch powierzchni kwadratowych jest szczególnym przypadkiem powierzchni kwarcowej)
• Powierzchnia sześcienna (połączenie powierzchni sześciennej i płaszczyzny to kolejny szczególny rodzaj powierzchni kwarcowej)

•    Hudson, RWHT (1990), powierzchnia kwarcowa Kummera , Cambridge Mathematical Library, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-39790-2 , MR 1097176
•   Jessop, CM (1916), powierzchnie kwarcowe z punktami osobliwymi , Cornell University Library, ISBN 978-1-4297-0393-2